2020高考數學刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復數 考點測試34 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃 文(含解析)
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2020高考數學刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復數 考點測試34 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃 文(含解析)
考點測試34 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃
高考概覽
考綱研讀
1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組
2.了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組
3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決
一、基礎小題
1.不等式y(tǒng)(x+y-2)≥0在平面直角坐標系中表示的區(qū)域(用陰影部分表示)是( )
答案 C
解析 由y(x+y-2)≥0,得或
所以不等式y(tǒng)(x+y-2)≥0在平面直角坐標系中表示的區(qū)域是C項.
2.已知點A(-3,-1)與點B(4,-6)在直線3x-2y-a=0的兩側,則實數a的取值范圍是( )
A.(-24,7)
B.(-7,24)
C.(-∞,-24)∪(7,+∞)
D.(-∞,-7)∪(24,+∞)
答案 B
解析 (-9+2-a)(12+12-a)<0,所以-7<a<24.故選B.
3.若實數x,y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是( )
A.3 B. C.2 D.2
答案 C
解析 因為直線x-y=-1與x+y=1互相垂直,所以如圖所示的可行域為直角三角形,易得A(0,1),B(1,0),C(2,3),故|AB|=,|AC|=2,所以其面積為×|AB|×|AC|=2.
4.若變量x,y滿足約束條件則3x+2y的最大值是( )
A.0 B.2 C.5 D.6
答案 C
解析 作不等式組的可行域,如圖:
令z=3x+2y,則y=-x+表示一系列平行于y=-x的直線,并且表示該直線的縱截距.顯然,把直線y=-x平移至點A處,z最大.由得A(1,1).所以zmax=3x+2y=3+2=5.故選C.
5.已知點(a,b)是平面區(qū)域內的任意一點,則3a-b的最小值為( )
A.-3 B.-2 C.-1 D.0
答案 B
解析 根據題意可知(a,b)在如圖陰影中,設z=3a-b.則b=3a-z,所以-z可以理解為y=3x+t中的縱截距t.因而當y=3x+t過點(0,2)時,t最大為2.即-z最大為2,所以z最小為-2.
6.若x,y滿足約束條件則z=x+3y的取值范圍是( )
A.(-∞,2] B.[2,3]
C.[3,+∞) D.[2,+∞)
答案 D
解析 作不等式組表示的平面區(qū)域,如圖.
平移直線x+3y=0到點A時,z取得最小值,
由解得點A,,所以zmin=+=2,無最大值.故選D.
7.在如圖所示的平面區(qū)域內有A(5,3),B(1,1),C(1,5)三點,若使目標函數z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,則實數a的值是( )
A. B.
C.2 D.
答案 B
解析 由題意知,當z=ax+y與直線AC重合時最優(yōu)解有無窮多個.因為kAC=-,所以-a=-,即a=.故選B.
8.已知實數x,y滿足約束條件則|y-x|的最大值是( )
A.2 B. C.4 D.3
答案 D
解析
畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖),計算得A(1,2),B(4,1),當直線z=x-y過點A時zmin=-1,過點B時zmax=3,則-1≤x-y≤3,則|y-x|≤3.
9.不等式組所表示的平面區(qū)域內的整點個數為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
解析 由不等式2x+y<6,得y<6-2x,且x>0,y>0,則當x=1時,0<y<4,則y=1,2,3,此時整點有(1,1),(1,2),(1,3);當x=2時,0<y<2,則y=1,此時整點有(2,1);當x=3時,y無解.故平面區(qū)域內的整點個數為4.故選C.
10.某蔬菜收購點租用車輛,將100噸新鮮黃瓜運往某市銷售,可供租用的卡車和農用車分別為10輛和20輛.若每輛卡車載重8噸,運費960元,每輛農用車載重2.5噸,運費360元,則蔬菜收購點運完全部黃瓜支出的最低運費為( )
A.11280元 B.12480元
C.10280元 D.11480元
答案 B
解析 設租用的卡車和農用車分別為x輛和y輛,運完全部黃瓜支出的運費為z元,則目標函數z=960x+360y,此不等式組表示的可行域是△ABC(其中A(10,8),B(10,20),C(6.25,20))內橫坐標和縱坐標均為整數的點.當直線l:z=960x+360y經過點A(10,8)時,運費最低,且其最低運費zmin=960×10+360×8=12480(元),選B.
11.設不等式組表示的平面區(qū)域為D,若在區(qū)域D上存在函數y=logax(a>1)的圖象上的點,則實數a的取值范圍是( )
A.(3,+∞) B.(1,3)
C.[3,+∞) D.(1,3]
答案 C
解析 作不等式組表示的平面區(qū)域D,如圖中陰影部分所示.
由解得點A(3,1).由a>1,對數函數的圖象經過可行域,此時滿足loga3≤1,解得a≥3,所以實數a的取值范圍是[3,+∞),故選C.
12.已知實數x,y滿足則w=x2+y2-4x-4y+8的最小值為________.
答案
解析
目標函數w=x2+y2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,其幾何意義是點(2,2)與可行域內的點的距離的平方.由實數x,y所滿足的不等式組作出可行域如圖中陰影部分所示,由圖可知,點(2,2)到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內點的距離的最小值,又=,所以wmin=.
二、高考小題
13.(2018·天津高考)設變量x,y滿足約束條件則目標函數z=3x+5y的最大值為( )
A.6 B.19 C.21 D.45
答案 C
解析
由變量x,y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示).作出基本直線l0:3x+5y=0,平移直線l0,當直線經過點A(2,3)時,z取最大值,即zmax=3×2+5×3=21.故選C.
14.(2018·全國卷Ⅱ)若x,y滿足約束條件
則z=x+y的最大值為________.
答案 9
解析 不等式組表示的可行域是以A(5,4),B(1,2),C(5,0)為頂點的三角形區(qū)域,如圖所示,由圖可知目標函數z=x+y的最大值在頂點A處取得,即當x=5,y=4時,zmax=9.
15.(2018·全國卷Ⅰ)若x,y滿足約束條件
則z=3x+2y的最大值為________.
答案 6
解析 根據題中所給的約束條件,畫出其對應的可行域,如圖所示:
由z=3x+2y可得y=-x+z,畫出直線y=-x,將其上下移動,結合的幾何意義,可知當直線過點B時,z取得最大值,由解得B(2,0),此時zmax=3×2+0=6.
16.(2018·全國卷Ⅲ)若變量x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值是________.
答案 3
解析 作出可行域如圖陰影部分.
由圖可知目標函數在直線x-2y+4=0與x=2的交點(2,3)處取得最大值3.
17.(2018·浙江高考)若x,y滿足約束條件則z=x+3y的最小值是________,最大值是________.
答案?。? 8
解析 由約束條件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)為頂點的三角形區(qū)域(含邊界),如圖.當直線y=-x+過點C(4,-2)時,z=x+3y取得最小值-2,過點B(2,2)時,z=x+3y取得最大值8.
18.(2018·北京高考)若x,y滿足x+1≤y≤2x,則2y-x的最小值是________.
答案 3
解析 由x+1≤y≤2x作出可行域,如圖中陰影部分所示.設z=2y-x,則y=x+z,當直線y=x+z過A(1,2)時,z取得最小值3.
三、模擬小題
19.(2018·山西太原模擬)已知實數x,y滿足
則z=2x-2y-1的取值范圍是( )
A.,5 B.[0,5]
C.,5 D.-,5
答案 D
解析 作出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,可知2×-2×-1≤z<2×2-2×(-1)-1,即z的取值范圍是-,5.
20.(2018·南昌一模)設不等式組表示的平面區(qū)域為M,若直線y=kx經過區(qū)域M內的點,則實數k的取值范圍為( )
A.,2 B.,
C.,2 D.,2
答案 C
解析 作不等式組表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示:
由得A(1,2),由得B(2,1),平面區(qū)域M即為圖中陰影部分△ABC,直線y=kx經過區(qū)域M內的點A時,k=2,直線y=kx經過區(qū)域M內的點B時,k=,故≤k≤2,故選C.
21.(2018·長沙統(tǒng)考)已知x,y滿足約束條件若z=ax+y的最大值為4,則a=( )
A.2 B. C.-2 D.-
答案 A
解析
作不等式組表示的平面區(qū)域如圖.當直線l:y=-ax+z經過△AOB區(qū)域時,l在y軸上的最大截距為4,則點B(2,0)為最優(yōu)解,所以z=2a=4,即a=2,故選A.
22.(2018·太原模擬)已知不等式ax-2by≤2在平面區(qū)域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,則動點P(a,b)所形成平面區(qū)域的面積為( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 A
解析 作平面區(qū)域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1},如圖1所示.該平面區(qū)域表示正方形ABCD內部(含邊界).令z=ax-2by,因為ax-2by≤2恒成立,則函數z=ax-2by在該平面區(qū)域要求的條件下,zmax=2恒成立.當直線ax-2by-z=0過點A(-1,1)或B(1,1)或C(1,-1)或D(-1,-1)時,有
再作該不等式組表示的可行域,即菱形EFGH內部(含邊界).如圖2所示.其中H(-2,0),F(2,0),E(0,1),G(0,-1),所以動點P(a,b)所形成平面區(qū)域的面積為×4×2=4.故選A.
23.(2018·湖北八市聯考)已知x,y滿足若z=x+2y有最大值4,則實數m的值為( )
A.-4 B.-2 C.-1 D.1
答案 B
解析 可行域所表示區(qū)域為三條直線所封閉的三角形區(qū)域(含邊界),如圖陰影部分所示.依題意,有直線y=-x+的縱截距有最大值2,則結合圖形可知需滿足直線2x-y=m過點(0,2),從而m=2×0-2=-2,故選B.
24.(2018·河北石家莊質檢)在平面直角坐標系中,不等式組(r為常數)表示的平面區(qū)域的面積為π,若x,y滿足上述約束條件,則z=的最小值為( )
A.-1 B.-
C. D.-
答案 D
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,由題意知πr2=π,解得r=2.z==1+,易知表示可行域內的點(x,y)與點P(-3,2)的連線的斜率,由圖可知當點(x,y)與點P的連線與圓x2+y2=r2相切時斜率最?。O切線方程為y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0,則有=2,解得k=-或k=0(舍),所以zmin=1-=-.故選D.
25.(2018·河北石家莊質檢)設變量x,y滿足約束條件則的最大值為________.
答案 3
解析 題設中的約束條件如圖中陰影部分所表示的區(qū)域,則表示可行域內點P(x,y)與B(0,-1)的連線的斜率,由圖知,當P位于A(1,2)時,取得最大值=3.
26.(2018·福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子,需要木工和漆工兩個工種,已知生產一把椅子需要木工4個工作時,漆工2個工作時;生產一張桌子需要木工8個工作時,漆工1個工作時.生產一把椅子的利潤為1500元,生產一張桌子的利潤為2000元,該廠每個月木工最多完成8000個工作時,漆工最多完成1300個工作時,根據以上條件,該廠安排生產每個月所能獲得的最大利潤是________元.
答案 2100000
解析 依題意,設每個月生產x把椅子、y張桌子,那么利潤t=1500x+2000y.其中x,y滿足約束條件可行域如圖中陰影部分所示,對于不同的t值,t=1500x+2000y表示一組斜率為-的平行線,且t越大,相應的直線位置越高;t越小,相應的直線位置越低.依題意,要求t的最大值,需把直線t=1500x+2000y盡量地往上平移,又考慮到x,y的允許范圍,顯然當直線通過點B時,處在這組平行線的最高位置,此時t取最大值.由得點B(200,900),從而tmax=1500×200+2000×900=2100000(元),即生產200把椅子、900張桌子可獲得最大利潤2100000元.
一、高考大題
1.(2017·天津高考)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:
連續(xù)劇播放時長(分鐘)
廣告播放時長(分鐘)
收視人次(萬)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數不多于乙連續(xù)劇播放次數的2倍.分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數.
(1)用x,y列出滿足題目條件的數學關系式,并畫出相應的平面區(qū)域;
(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多?
解 (1)由已知,x,y滿足的數學關系式為
即
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖①中的陰影部分中的整數點.
(2)設總收視人次為z萬,則目標函數為z=60x+25y.
考慮z=60x+25y,將它變形為y=-x+,這是斜率為-,隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距,當取得最大值時,z的值就最大.
又因為x,y滿足約束條件,所以由圖②可知,當直線z=60x+25y經過可行域上的點M時,截距最大,即z最大.解方程組得則點M的坐標為(6,3).所以,電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時,才能使總收視人次最多.
二、模擬大題
2.(2018·廣東佛山月考)若x,y滿足約束條件
(1)求目標函數z=x-y+的最值;
(2)若目標函數z=ax+2y僅在點(1,0)處取得最小值,求a的取值范圍.
解 (1)作出可行域如圖,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).
平移初始直線x-y=0,過A(3,4)取最小值-2,過C(1,0)取最大值1.∴z的最大值為1,最小值為-2.
(2)直線ax+2y=z僅在點(1,0)處取得最小值,由圖象可知-1<-<2,解得-4<a<2.故所求a的取值范圍是(-4,2).
3.(2018·福建泉州質檢)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,并回答下列問題:
(1)指出x,y的取值范圍;
(2)平面區(qū)域內有多少個整點?
解 (1)不等式x-y+5≥0表示直線x-y+5=0上及右下方的點的集合.x+y≥0表示直線x+y=0上及右上方的點的集合,x≤3表示直線x=3上及左方的點的集合.
所以,不等式組
表示的平面區(qū)域如圖所示.
結合圖中可行域得
x∈,y∈[-3,8].
(2)由圖形及不等式組知
當x=3時,-3≤y≤8,有12個整點;
當x=2時,-2≤y≤7,有10個整點;
當x=1時,-1≤y≤6,有8個整點;
當x=0時,0≤y≤5,有6個整點;
當x=-1時,1≤y≤4,有4個整點;
當x=-2時,2≤y≤3,有2個整點.
所以平面區(qū)域內的整點共有2+4+6+8+10+12=42(個).
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