2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題06 三角恒等變換與解三角形練習(xí) 理

06　三角恒等變換與解三角形 1.已知cos2α2sinα-π4=52,則tan α+1tanα=(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-18　 B.-8 C.18　 D.8 　　解析?　因?yàn)閏os2α2sinα-π4=cos2α-sin2αsinα-cosα=-(cos α+sin α)=52, 所以sin αcos α=18, 而tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=8,故選D. 　　答案?　D 2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,其中b>a且2asin(A+B)=3c,則角A等于(　　). A.π3 B.π3或2π3 C.π6 D.π6或5π6 　　解析?　由誘導(dǎo)公式可得sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 利用正弦定理可得2sin AsinC=3sin C,解得sin A=32, 即A=π3或A=2π3, 又b>a,所以A=π3,故選A. 　　答案?　A 3.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若a,b,c成等比數(shù)列,且a2-ab=c2-ac,則cos C的值為(　　). A.12 B.-12 C.32 D.-32 　　解析?　由a,b,c成等比數(shù)列得b2=ac, 代入a2-ab=c2-ac,得a2+b2-c2=ab, 則cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,故選A. 　　答案?　A 4.一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱,為了測量噴水柱的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的A處測得水柱頂端的仰角為45°,沿A向北偏東30°方向前進(jìn)100 m后到達(dá)B處,在B處測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度為　　　　.  解析?　如圖所示,DC⊥平面ABC,AB=100 m,∠DBC=30°,∠DAC=45°,∠CAB=60°.設(shè)CD=h m,則AC=h m, 同理可得BC=3h m. 在△ABC中,BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos 60°, 則(3h)2=h2+1002-2×h×100×12, 化為h2+50h-5000=0,解得h=50, 因此水柱的高度是50 m. 答案?　50 m 能力1 ?　能熟練進(jìn)行三角恒等變換和求值 　　【例1】　(1)設(shè)α∈0,π2,β∈0,π2,且tan α=1+sinβcosβ,則(　　). A.3α-β=π2　　　　B.3α+β=π2 C.2α-β=π2 D.2α+β=π2 (2)已知cosα+π4=210,α∈0,π2,cos β=13,β∈(0,π),則cos(α-2β)的值為　　　　.  解析?　(1)由tan α=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,即sin αcos β=cos α+sin βcos α, 所以sin(α-β)=cos α. 又cos α=sinπ2-α, 所以sin(α-β)=sinπ2-α. 因?yàn)棣痢?,π2,β∈0,π2, 所以-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2. 所以α-β=π2-α,所以2α-β=π2. (2)因?yàn)棣痢?,π2,所以α+π4∈π4,3π4. 因?yàn)閏osα+π4=210,所以sinα+π4=7210, 所以sin α=sinα+π4-π4 =sinα+π4cosπ4-cosα+π4sinπ4 =7210×22-210×22=35, 所以cos α=45. 因?yàn)閏os β=13,β∈(0,π),所以sin β=223, 所以sin 2β=429,cos 2β=-79, 所以cos(α-2β)=cos αcos 2β+sin αsin 2β=45×-79+35×429=122-2845. 答案?　(1)C　(2)122-2845 三角恒等變換中的“四大策略”: (1)常值代換:特別是“1”的代換,如1=sin2θ+cos2θ=tan 45°. (2)項(xiàng)的分拆與角的配湊:sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等. (3)降冪與升冪:正用和逆用二倍角公式. (4)弦、切互化:切化弦,弦化切,減少函數(shù)種類. 已知α∈π2,π,且sin α=13. (1)求sin 2α的值; (2)若sin(α+β)=-35,β∈0,π2,求sin β的值. 解析?　(1)∵α∈π2,π,且sin α=13, ∴cos α=-223, 故sin 2α=2sin αcos α=-429. (2)∵α∈π2,π,β∈0,π2, ∴α+β∈π2,3π2. 由sin(α+β)=-35得cos(α+β)=-45, 故sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =-35×-223--45×13 =4+6215. 能力2 ?　正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用 　　【例2】　已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且3cacosB=tan A+tanB. (1)求角A的大小; (2)設(shè)D為AC邊上的一點(diǎn),且BD=5,DC=3,a=7,求c的值. 解析?　(1)在△ABC中,∵3cacosB=tan A+tanB, ∴3sinCsinAcosB=sinAcosA+sinBcosB, 即 3sinCsinAcosB=sinAcosB+sinBcosAcosAcosB, ∴3sinA=1cosA,則 tan A=3,∴A=π3. (2)∵BD=5,DC=3,a=7, 由余弦定理可得cos∠BDC=25+9-492×3×5=-12, ∴∠BDC=2π3, 又A=π3, ∴△ABD為等邊三角形,∴c=5. 　　在解三角形中,利用已知條件進(jìn)行化簡變形,常用的方法是借助正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化,減少變量的數(shù)量,在邊化角的運(yùn)算中注意切化弦思想及三角恒等變換的應(yīng)用. 已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ba+c=1-sinAsinC+sinB. (1)求角C的大小; (2)若S△ABC=23,a+b=6,求邊c. 解析?　(1)ba+c=1-sinAsinC+sinB =sinC+sinB-sinAsinC+sinB. 由正弦定理得ba+c=c+b-ac+b, 化簡得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=12. ∵C∈(0,π),∴C=π3. (2)由(1)知C=π3, 又S△ABC=12absin C=12ab·32=23,∴ab=8. 由余弦定理得c2=a2+b2-2ab·12=(a+b)2-3ab=12, ∴c=23. 能力3 ?　會解三角形與三角函數(shù)的綜合問題 　　【例3】　在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,且4S=3(a2+b2-c2). (1)求角C的大小; (2)若f(x)=4sin xcosx+π6+1,且當(dāng)x=A時,f(x)取得最大值b,試求S的值. 解析?　(1)由已知得4×12absin C=3(a2+b2-c2)=23abcos C,即tan C=3. 因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3. (2)f(x)=4sin x32cosx-12sinx+1 =23sin xcosx-2sin2x+1 =3sin 2x+cos 2x =2sin2x+π6. 當(dāng)2x+π6=2kπ+π2(k∈Z),即x=kπ+π6(k∈Z)時,f(x)max=2. 因?yàn)锳∈(0,π),所以A=π6,b=2, 故B=π-A-C=π2,a=bsinA=1,c=bsinC=3, 所以S=12acsin B=32. 　　求解有關(guān)解三角形與三角函數(shù)的綜合問題,要注意三角形內(nèi)角的范圍,一般是先定角,再定范圍,最后利用三角函數(shù)的單調(diào)性和倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+π6+sin2x-cos2x. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若角A滿足f(A)=1,a=3,△ABC的面積為32,求b+c的值. 解析?　(1)f(x)=32sin 2x+12cos 2x-cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-π6. 令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z, 得-π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-π6+kπ,π3+kπ,k∈Z. (2)由題意知f(A)=sin2A-π6=1, ∵0<A<π,∴-π6<2A-π6<11π6, ∴2A-π6=π2,解得A=π3. ∵S=12bcsin A=32,∴bc=2. 又b2+c2-2bccosπ3=3, 化簡得(b+c)2-3bc=3, 則(b+c)2=9,∴b+c=3. 能力4 ?　熟練解決三角形中的幾何計算問題 　　【例4】　如圖,在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=4,b=2,sin 2C=sin B,D,E均為線段BC上的點(diǎn),且BD=CD,∠BAE=∠CAE. (1)求線段AD的長; (2)求△ADE的面積. 解析?　(1)由sin 2C=sin B得cos C=sinB2sinC=b2c. 因?yàn)閏=4,b=2,所以cos C=b2c=14. 由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=a2+4-164a=14,所以a=4,即BC=4. 在△ACD中,CD=2,AC=2, 所以AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos C=6, 所以AD=6. (2)因?yàn)锳E是∠BAC的平分線, 所以S△ABES△ACE=12AB·AE·sin∠BAE12AC·AE·sin∠CAE=ABAC=2. 又S△ABES△ACE=BEEC,所以BEEC=2, 所以EC=13BC=43,DE=2-43=23. 因?yàn)閏os C=14,所以sin C=1-cos2C=154, 所以S△ADE=S△ACD-S△ACE=12×2×2×154-12×2×43×154=156. 　　求三角形的中線或角平分線長度,常借助中線與角平分線把一個三角形分為兩個三角形,分析兩個三角形的邊角關(guān)系,利用正弦定理或余弦定理求解,此外利用平面向量法也可以求解. 在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a, b,c,已知b(1+2cos C)=2acos C+ccosA. (1)證明:a=2b. (2)若△ABC的面積S=4sin C,D為線段AB的中點(diǎn),CD=6,求c. 解析?　(1)因?yàn)閎(1+2cos C)=2acos C+ccosA, 所以sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+sinCcosA, 所以sin(A+C)+2sin BcosC=2sin AcosC+cosAsinC, 所以2sin BcosC=sin AcosC. 又0<C<π2,所以2sin B=sin A,即a=2b. (2)因?yàn)镾=12·2b·b·sinC=4sin C, 所以b=2,a=4. 在△ADC中,cos∠ADC=CD2+AD2-AC22CD·AD, 在△BDC中,cos∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·CD, 又∠ADC+∠BDC=π, 所以cos∠ADC+cos∠BDC=0, 由CD2+AD2-AC22CD·AD+BD2+CD2-BC22BD·CD=0,代入數(shù)據(jù)得6+c24-46c+c24+6-166c=0,得c=4. 一、選擇題 1.若α∈(0,π),且2cos α+3sin α=2,則tanα2=(　　). A.32　　　B.1　　　C.233　　　D.3 解析?　由2cos α+3sin α=2得21-2sin2α2+23sinα2cosα2=2, 化簡可得23sinα2cosα2=4sin2α2. 因?yàn)棣痢?0,π),所以α2∈0,π2,所以sinα2≠0, 所以23cosα2=4sinα2,即tanα2=32,故選A. 答案?　A 2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足b2+c2=a2+bc,bc=8,則△ABC的面積等于(　　). A.23 B.4 C.43 D.8 解析?　因?yàn)閎2+c2=a2+bc, 所以cos A=b2+c2-a22bc=12,即A=π3, 則△ABC的面積S=12bcsin A=23, 故選A. 答案?　A 3.已知直線3x-y+1=0的傾斜角為α,則12sin 2α+cos2α=(　　). A.25 B.-15 C.14 D.-120 解析?　由題意知tan α=3,所以12sin 2αcos+2α=sinαcosα+cos2αcos2α+sin2α=tanα+11+tan2α=410=25,故選A. 答案?　A 4.若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2bsin 2A=3asin B,且c=2b,則ab等于(　　). A.32 B.43 C.2 D.3 解析?　由2bsin 2A=3asin B, 得4sin BsinAcosA=3sin AsinB, 所以cos A=34. 又c=2b,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×34=2b2,得ab=2,故選C. 答案?　C 5.已知θ為第三象限角,tanθ-π4=13,則sin θ-cos θ=(　　). A.-355 B.-55　　 C.355 D.55 解析?　由tanθ-π4=13, 得tan θ=tanθ-π4+π4=13+11-13=2. 由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式, 得sinθcosθ=2,sin2θ+cos2θ=1,解得cos2θ=15,sin2θ=45. 因?yàn)棣葹榈谌笙藿? 所以sin θ=-255,cos θ=-55, 則sin θ-cos θ=-55,故選B. 答案?　B 6.某人要利用無人機(jī)測量河流的寬度,如圖,從A處測得正前方河流的兩岸B,C的俯角分別為75°, 30°,此時的高是60米,則河流的寬度BC等于(　　). A.2403米 B.180(2-1)米 C.120(3-1)米 D.30(3+1)米 解析?　如圖所示,∠DAB=15°,因?yàn)閠an 15°=tan(45°-30°)=tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=2-3, 在Rt△ADB中,AD=60米,所以DB=ADtan 15°=60×2-3=(120-603)米. 在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60米,所以DC=ADtan 60°=603米,所以BC=DC-DB=603-(120-603)=120(3-1)米, 所以河流的寬度BC等于120(3-1)米,故選C. 答案?　C 7.為了得到函數(shù)y=cos2x-sin2x+1的圖象,只需將函數(shù)y=(sin x+cosx)2的圖象(　　). A.向右平移π2個單位長度 B.向右平移π4個單位長度 C.向左平移π2個單位長度 D.向左平移π4個單位長度 解析?　由已知得ycos=2xsin-2x+1=cos 2x+1=sin2x+π2+1=sin2x+π4+1, y=(sin x+cosx)2=sin 2x+1, 所以要得到函數(shù)y=cos2x-sin2x+1的圖象,只需要將函數(shù)y=(sin x+cosx)2的圖象向左平移π4個單位長度,故選D. 答案?　D 8.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,且f(α)=1,α∈0,π3,則cos2α+5π6=(　　). A.13 B.±223 C.223 D.-223 解析?　由圖象可得A=3,T=2πω=47π12-π3=π,解得ω=2, 故f(x)=3sin(2x+φ), 代入點(diǎn)π3,-3可得3sin2π3+φ=-3, ∴sin2π3+φ=-1, 即有2π3+φ=-π2+2kπ(k∈Z), ∴φ=2kπ-7π6(k∈Z), 又∵0<φ<π,∴φ=5π6, 故f(x)=3sin2x+5π6. 又∵f(α)=3sin2α+5π6=1, ∴sin2α+5π6=13. ∵α∈0,π3,∴2α+5π6∈5π6,3π2, ∴cos2α+5π6=-1-sin22α+5π6=-223,故選D. 答案?　D 二、填空題 9.若α∈π2,π,且3cos 2α=sinπ4-α,則sin 2α的值為　　　　.  解析?　因?yàn)?cos 2α=sinπ4-α, 所以3cos 2α=22cos α-22sin α, 兩邊平方得9cos22α=12(1-sin 2α), 即18(1-sin22α)=1-sin 2α, 整理得(17+18sin 2α)(1-sin 2α)=0, 又α∈π2,π,所以sin 2α=-1718或sin 2α=1(舍去). 答案?　-1718 10.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,若bcosA+acosB=23b,且a2sin A=b2sin A+23S,則A=　　　　.  解析?　∵bcosA+acosB=23b, ∴sin BcosA+sinAcosB=23sin B, ∴sin(A+B)=23sin B, 即sin C=23sin B,則c=23b. ∵a2sin A=b2sin A+23S, ∴a2sin A=b2sin A+3bcsin A, 則a2=b2+3bc, 即a2=b2+6b2=7b2, ∴cos A=b2+c2-a22bc=b2+12b2-7b243b2=32, ∴A=30°. 答案?　30° 三、解答題 11.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知absinC=20sin B,a2+c2=41,且8cos B=1. (1)求b的值. (2)證明:△ABC的三個內(nèi)角中必有一個角的大小是另一個角的兩倍. 解析?　(1)∵absinC=20sin B, ∴abc=20b,即ac=20, 則b=a2+c2-2accosB=41-40×18=6. (2)∵ac=20,a2+c2=41, ∴a=4,c=5或a=5,c=4. 若a=4,c=5,則cos A=52+62-422×5×6=34,∵cos B=18,2×342-1=2cos2A-1=cos 2A,∴B=2A; 若a=5,c=4,同理可得B=2C. 故△ABC的三個內(nèi)角中必有一個角的大小是另一個角的兩倍. 12.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cosB-2cosA2a-b=cosCc. (1)求ab的值; (2)若角A是鈍角,且c=3,求b的取值范圍. 解析?　(1)由題意及正弦定理得sin CcosB-2sin CcosA=2sin AcosC-sin BcosC, ∴sin CcosB+sinBcosC=2(sin CcosA+sinAcosC). ∴sin(B+C)=2sin(A+C). ∵A+B+C=π,∴sin A=2sin B,∴ab=2. (2)由余弦定理得cos A=b2+9-a22b·3=b2+9-4b26b=9-3b26b<0,∴b>3.?、? ∵b+c>a,即b+3>2b,∴b<3.?、? 由①②得b的取值范圍是(3,3). 13.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2c-ba=cosBcosA. (1)求角A的正弦值; (2)若a=25,求△ABC面積的最大值. 解析?　(1)∵2c-ba=cosBcosA, ∴2c-bcos A=acosB. 由正弦定理得2sinC-sinBcos A=sin AcosB, 整理得2sin CcosA-sin BcosA=sin AcosB, ∴2sin CcosA=sin AcosB+sinBcosA=sin C. 在△ABC中,sin C≠0, ∴cos A=12,∴sin A=32. (2)由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12, ∵a=25. ∴b2+c2-20=bc≥2bc-20, ∴bc≤20,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,取等號. ∴△ABC的面積S=12bcsinA≤53, ∴△ABC面積的最大值為53. 14