2023屆高考一輪復習導與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊) 第5節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 學案

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1、 第5節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 1.通過對有理數(shù)指數(shù)冪amn(a>0,且a≠1,m,n為正整數(shù),且n>1)、實數(shù)指數(shù)冪ax(a>0,且a≠1,x∈R)含義的認識,了解指數(shù)冪的拓展過程,掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì). 2.通過具體實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念. 3.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點. 1.根式 n次方根 概念 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N* 性質(zhì) 當n是奇數(shù)時,a的n次方根用符號na表示 當n是偶數(shù)時,正數(shù)a的n次方根用符號±na表示;負數(shù)沒有偶次方根

2、0的任何次方根都是0,記作 n0=0 根式 概念 式子 na 叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù) 性質(zhì) 當n為任意正整數(shù)時,(na)n=a 當n為奇數(shù)時,nan=a 當n為偶數(shù)時,nan=|a|=a,a≥0,-a,a<0 2.有理數(shù)指數(shù)冪 概念 正分數(shù)指數(shù)冪:amn=nam a>0,m,n∈N*,n>1 負分數(shù)指數(shù)冪:a-mn=1amn=1nam 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義 運算 性質(zhì) ar·as=ar+s a>0,b>0, r,s∈Q (ar)s=ars (ab)r=arbr 有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中,要求底數(shù)都

3、大于0,否則不能用性質(zhì)來 運算. 3.指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì) y=ax(a>0,且a≠1) 圖象 01 圖象特征 在x軸上方,過定點(0,1) 當x逐漸增大時,圖象逐漸下降 當x逐漸增大時,圖象逐漸上升 性 質(zhì) 定義域 R 值域 (0,+∞) 單調(diào)性 遞減 遞增 函數(shù)變 化規(guī)律 當x=0時,y=1 當x<0時,y>1;當x>0時,00時,y>1 形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù),不是指數(shù)函數(shù). 1.指數(shù)

4、函數(shù)圖象的對稱規(guī)律 函數(shù)y=ax的圖象與y=a-x的圖象關于y軸對稱,y=ax的圖象與y=-ax的圖象關于x軸對稱,y=ax的圖象與y=-a-x的圖象關于坐標原點對稱. 2.底數(shù)對函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)值的影響如圖(a1>a2>a3>a4),不論是a>1,還是00,a≠1),又由函數(shù)的圖象過點(2,4),則a2=4,解得a=2,即f(x

5、)=2x,所以f(3)=23=8.故選B. 2.(必修第一冊P115練習T3改編)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來是a件,在今后m年內(nèi),計劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加p%,則該產(chǎn)品的產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式為(　B　) A.y=a(1+p%)x(0

6、y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).故選B. 3.已知0m可知應選C. 4.(235)0+2-2×(214)?-12-(0.01)12等于(　A　) A.1615 B.31730 C.-856 D.0 解析:(235)0+2-2×(214)?-12-(0.01)12=1+14×23-110=1615.故選A. 5.寫出一個在定義域R上滿足f(x+y)=f(x)f(y),且是增函數(shù)的一個函數(shù):　　　　　　.? 解析:滿足性質(zhì)f(x+

7、y)=f(x)f(y)的函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù),要使指數(shù)函數(shù)是增函數(shù),則只需要底數(shù)a>1即可. 答案:f(x)=2x(答案不唯一,只要是底數(shù)a>1的指數(shù)函數(shù)即可) 指數(shù)冪的運算 1.當a>0時,-ax3等于(　C　) A.xax B.x-ax C.-x-ax D.-xax 解析:由-ax3成立可知-ax3≥0,結合a>0得x3≤0,即x≤0,因此-ax3=-ax·x2=-ax·x2=-ax·|x|=-x-ax.故選C. 2.已知函數(shù)f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,則f(0)+f(1)+f(2)的值是(　C　) A.14 B.13 C.12 D.11 解析:由題意

8、,函數(shù)f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,可得a+1a=3,又f(2)=a2+ a-2=(a+1a)2-2=7,f(0)=1+1=2,所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12.故選C. 3.化簡a23ba-12·3b÷(a-1b-1ba)?-23的值為　　　　.? 解析:原式=a23·b12a-12·b13÷(a-1b-12b·a12)?-23 =a23·b12a-12·b13÷(a-1-12b-12-1)?-23 =a23+12b12-13÷(a-32b-32)?-23 =a76b16÷(ab) =a76-1b16-1 =a16b-56 答案:a16b-56

9、4.計算:(-278)?-23+0.002-12-10(5-2)-1+π0=　　　　.? 解析:原式=(-32)-2+50012-10(5+2)(5-2)(5+2)+1=49+105-105-20+1=-1679. 答案:-1679 1.根式的化簡問題要注意指數(shù)冪中當指數(shù)為負數(shù)時,可把底數(shù)變?yōu)槠涞箶?shù),從而指數(shù)化為正數(shù). 2.指數(shù)冪運算的一般原則 (1)有括號的先算括號里的,無括號的先算指數(shù)運算. (2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù). (3)底數(shù)是負數(shù),先確定符號;底數(shù)是小數(shù),先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù)的,先化成假分數(shù). (4)若是根式,應化為分數(shù)指數(shù)冪,盡可能用冪

10、的形式表示,運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答. 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的圖象如圖①所示,求實數(shù)a,b的取值范圍; (2)若f(x)的圖象如圖②所示,|f(x)|=m有且僅有一個實數(shù)解,求m的取值范圍. 解:(1)由f(x)=ax+b為減函數(shù)可得0

11、或m≥3,所以m的取值范圍為{0}∪[3,+∞). [典例遷移1] 若函數(shù)y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、第三、第四象限,一定有(　　) A.01,且b>0 C.00 D.a>1,且b<0 解析:由題意作出函數(shù)y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的大致圖象如圖所示,由圖可知函數(shù)是一個減函數(shù),則0

12、(　　) A.(-∞,-1] B.[-1,0) C.[1,+∞) D.(0,1] 解析:y=(12)|1-x|+m的圖象與x軸有公共點,即函數(shù)y=(12)|1-x|與y=-m的圖象有公共點,y=(12)|1-x|的圖象如圖所示, 可知0<-m≤1?-1≤m<0.故選B. [典例遷移3] 若函數(shù)f(x)=|2x-2|的圖象與直線y=b有兩個不同的交點,則實數(shù)b的取值范圍是　　　　. 解析:在同一平面直角坐標系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖象(y=|2x-2|的圖象是由函數(shù)y=2x的圖象向下平移2個單位長度后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的),如圖所示,

13、 由圖象可知當00,且a≠1)的圖象,可由指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|個單位長度而得到.(2)函數(shù)y=ax+b的圖象,可由

14、指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度而得到.(3)函數(shù)y=a|x|的圖象關于y軸對稱,當x≥0時,其圖象與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象相同;當x<0時,其圖象與x≥0時的圖象關于y軸 對稱. 2.涉及與指數(shù)函數(shù)以及與指數(shù)型函數(shù)有關的方程、不等式問題常通過數(shù)形結合思想求解. 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用 　指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 下列各式比較大小正確的是(　　) A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62 C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1 解析:因為函數(shù)y=1.7x在R上是

15、增函數(shù),2.5<3,所以1.72.5<1.73,故A錯誤; 因為y=0.6x在R上是減函數(shù),-1<2,所以0.6-1>0.62,故B正確; 因為(0.8)-1=1.25,所以問題轉化為比較1.250.1與1.250.2的大小.因為y=1.25x在R上是增函數(shù),0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,故C錯誤; 因為1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1,故D錯誤.故選B. 比較冪的大小的方法 (1)同底數(shù)冪比較大小時構造指數(shù)函數(shù),根據(jù)其單調(diào)性比較. (2)指數(shù)相同底數(shù)不同時分別畫出以兩冪底數(shù)為底數(shù)的指

16、數(shù)函數(shù)圖象,當x取相同冪指數(shù)時可觀察出函數(shù)值的大小. (3)底數(shù)、指數(shù)都不相同時,取與其中一底數(shù)相同與另一指數(shù)相同的冪與兩數(shù)比較,或借助“1”與兩數(shù)比較. 　利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解指數(shù)不等式 若x滿足不等式2x2+1≤(14)x-2,則函數(shù)y=2x的值域是(　　) A.[18,2) B.[18,2] C.(-∞,18] D.[2,+∞) 解析:將2x2+1≤(14)x-2化為x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函數(shù)y=2x的值域是[18,2].故選B. 指數(shù)不等式的常見類型及求解方法 (1)af(x)>ag(x

17、)或af(x)ag(x)?a>1,f(x)>g(x)或01,f(x)g(x). (2)形如ax>b的不等式,注意將b轉化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式,再借助于函數(shù)y=ax的單調(diào)性求解. 　與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調(diào)性 若函數(shù)f(x)=(13) ax2+2x+3的值域是(0,19],則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　.? 解析:令g(x)=ax2+2x+3,則f(x)=(13)g(x), 由于f(x)有最大值19,所以g(x)應有最小值2, 因此必

18、有a>0,12a-44a=2,解得a=1, 即當f(x)有最大值19時,a的值為1. 這時g(x)=x2+2x+3,f(x)=(13)?x2+2x+3. 由于g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1), 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 對于形如y=af(x)的函數(shù)的單調(diào)性,它的單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)區(qū)間有關:若a>1,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間;若00,

19、且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,則實數(shù)a的值為　　　　.? 解析:當a>1時,y=a2x+2ax-1在[-1,1]上是增函數(shù);當01,a2+2a-1=14,或 00,a≠1)的二次函數(shù)問題,一般可利用換元法轉化為二次函數(shù)問題,要注意換元后新元的取值范圍.注意到本例中y=a2x與y=2ax的單調(diào)性相同,直接用單調(diào)性求解更加簡單. [針對訓練] 1.函數(shù)f(x)=3-x2+4x+3的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)

20、 A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-3,2) D.(2,7) 解析:由于函數(shù)t=-x2+4x+3的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,2),而y=3t是關于t的增函數(shù),所以根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,2).故選A. 2.當x≤1時,函數(shù)y=4x-2x+1+2的值域為(　　) A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.[1,2) D.[1,2] 解析:y=4x-2x+1+2=(2x)2-2·2x+2=(2x-1)2+1.設t=2x,因為x≤1,所以0

21、D. 3.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,則(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 解析:由0.2<0.6,0.4<1,并結合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.40.2>0.40.6,即b>c.因為a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.綜上,a>b>c.故選A. 4.已知函數(shù)f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-1)>f(-2),則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 解析:因為f(x)=a-x=(1a)x,且f(-1)>f(-2),所以函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增,所以1a>1,解得0

22、 對于給定的函數(shù)f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,且a≠1),下列五個命題,屬于真命題的是　　　　(填序號).? ①函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱; ②函數(shù)f(x)在R上不具有單調(diào)性; ③函數(shù)f(|x|)的圖象關于y軸對稱; ④當01時,函數(shù)f(|x|)的最大值是0. 解析:因為f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),所以f(x)的圖象關于原點對稱,①是真命題;當a>1時,f(x)在R上為增函數(shù),當0

23、1時,y=f(|x|)在(-∞,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)上為減函數(shù),所以當x=0時,y=f(|x|)的最大值為0,④是真命題;當a>1時,f(|x|)在(-∞,0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為增函數(shù),所以當x=0時,y=f(|x|)的最小值為0,⑤是假命題.綜上,真命題是① ③④. 答案:①③④ 當x>2時,函數(shù)y=4ax-1(a>0,且a≠1)的圖象恒在函數(shù)y=3x-4的圖象下方,則a的取值范圍為　　　　.? 解析:由題意得,當x>2時,不等式4ax-1<3x-4恒成立,即ax-1<34x-1,令f(x)=ax-1,g(x)=34x-1,在同一平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的

24、圖象, 當a>1時,如圖所示, 由圖可知,?x∈R,ax-1>34x-1恒成立,故不滿足題意; 當02,ax-1<34x-1恒成立,需f(2)≤g(2),即a2-1≤34× 2-1,解得a≤12,故0

25、0,0), 所以f(0)=0, 所以f(0)=a(12)|0|+2=0,解得a=-2, 所以f(x)=-2·(12)|x|+2. 解:(2)令t=f(x)∈[0,2), 則g(t)=t2-2mt+1=0有兩個不等實根t1,t2∈(0,2), 得00,g(2)=5-4m>0?01,m<54. 綜上m的取值范圍為(1,54). 已知f(x)=2x-a2x+1(a∈R)的圖象關于坐標原點對稱. (1)求a的值; (2)若存在x∈[0,1],使不等式f(x)+2x-b2x+1<0成立,求實數(shù)b的取值范圍. 解:(1)由題意知f(

26、x)是R上的奇函數(shù), 所以f(0)=0,得a=1. 此時,f(x)=2x-12x+1, 因為f(-x)=2-x-12-x+1=(2-x-1)·2x(2-x+1)·2x=1-2x2x+1=-f(x), 所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 解:(2)設h(x)=2x-12x+1+2x-b2x+1 =(2x)2+2x+1-1-b2x+1, 由題設知存在x∈[0,1],使h(x)<0成立, 即存在x∈[0,1],使不等式4x+2x+1-1-b<0成立,即存在x∈[0,1],使b>4x+2x+1-1成立, 令u(x)=4x+2x+1-1,x∈[0,1],因為y=4x,y=2x+1在[0,1]上

27、是增函數(shù),所以u(x)在[0,1]上是增函數(shù),所以u(x)min=u(0)=2,所以b>2. 知識點、方法 基礎鞏固練 綜合運用練 應用創(chuàng)新練 根式與指數(shù)冪運算 4,5,8 指數(shù)函數(shù)的圖象 2,3 13,15 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 1,6,9 12 17 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用 7,10 11,14 16 1.已知函數(shù)f(x)=2x-b(2≤x≤4,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(3,1),則f(x)的值域為(　C　) A.[4,16] B.[2,10] C.[12,2] D.[12,+∞) 解析:將(3,1)代入函數(shù)解析式得23-b

28、=1,3-b=0,b=3,所以f(x)=2x-3,在區(qū)間[2,4]上為增函數(shù),故值域為[f(2),f(4)]=[12,2].故選C. 2.函數(shù)f(x)=ax-2+3(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點P,點P又在冪函數(shù)g(x)的圖象上,則g(3)的值為(　C　) A.4 B.8 C.9 D.16 解析:因為f(x)=ax-2+3,令x-2=0得x=2,所以f(2)=a0+3=4,所以f(x)的圖象恒過點P(2,4). 設g(x)=xα(α∈R),把P(2,4)代入g(x)=xα得2α=4,所以α=2,所以g(x)=x2,所以g(3)=32=9.故選C. 3.已知函數(shù)f(x)=ax(a>

29、0,且a≠1)在(0,2)內(nèi)的值域是(1,a2),則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是(　B　) 解析:函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)內(nèi)的值域是(1,a2),因此指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),所以有a>1,由底數(shù)大于1指數(shù)函數(shù)的圖象上升,且在x軸上方可知B正確.故選B. 4.已知函數(shù)f(x)=2x2-2ax+1,滿足f(3+x)=f(3-x),則4a-12等于(　D　) A.92 B.9 C.18 D.72 解析:因為函數(shù)f(x)滿足f(3+x)=f(3-x),所以圖象的對稱軸為直線x=2a4=3,即2a=12, 所以4a-12=4a4=1222=72.故選D.

30、5.函數(shù)y=4x+4-x+2x-2-x的最小值為(　D　) A.12 B.1 C.2 D.74 解析:令2x-2-x=t,則t2=4x+4-x-2, 故原函數(shù)化為y=t2+t+2=(t+12)2+74,當t=-12時,取得最小值為74.故選D. 6.下列不等式正確的是(　D　) A.3-23<3-4<32 B.32<(13)?13<33 C.2.60<(12)2.6<22.6 D.(12)2.6<2.60<22.6 解析:因為y=3x是增函數(shù),所以3-4<3-23<32,(13) 13=3-13<32<33,故排除A,B;因為y=2x是增函數(shù),所以(12)2.6=2-2

31、.6<20=2.60<22.6.故選D. 7.(多選題)對函數(shù)f(x)=(12) x2+1判斷正確的是(　BD　) A.單調(diào)遞增區(qū)間(0,+∞) B.單調(diào)遞增區(qū)間(-∞,0) C.值域[12,+∞) D.值域(0,12] 解析:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,g(t)=(12)t在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,而h(x)=x2+1在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x) =(12) x2+1的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0).h(x)=x2+1的值域為[1,+∞),而f(x)=(12)?x2+1在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,故f(x)=(12) x2+1的值域為(0,12].

32、故選BD. 8.(32×3)6-4×(1649) -12+(-2 021)0=　　　　.? 解析:(32×3)6-4×(1649) -12+(-2 021)0=(213)6×(312)6-4×[(47)2] -12+1=22×33-4×74+1=102. 答案:102 9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①f(x)單調(diào)遞減;②f(0)=1,請寫出一個滿足條件的指數(shù)型函數(shù):f(x)=　　　　.? 解析:由函數(shù)f(x)滿足:①f(x)單調(diào)遞減;②f(0)=1,則f(x)=2-x. 答案:2-x(答案不唯一) 10.已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為

33、8,最小值為m.若函數(shù)g(x)=(3-10m)x是增函數(shù),則a=　　　　.? 解析:根據(jù)題意,得3-10m>0,解得m<310. 當a>1時,函數(shù)f(x)=ax在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增,最大值為a2=8,解得a=22,最小值為m=a-1=122=24>310,不符合題意; 當0

34、b≥0 解析:令f(x)=ex-π-x,則f(x)在R上單調(diào)遞增,又ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.故選D. 12.已知函數(shù)f(x)=4x+a·2x在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為(　C　) A.[-4,+∞) B.(-∞,-4] C.[-8,+∞) D.(-∞,-8] 解析:設t=2x,則由x≥2可知t≥4,由t為增函數(shù)以及題意可知,函數(shù)y=t2+at在區(qū)間[4,+∞)上是增函數(shù),結合y=t2+at的單調(diào)遞增區(qū)間為(-a2,+∞)可知,-a2≤4,則a≥-8.故選C. 13.(多選題

35、)已知函數(shù)y=ax-b(a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,則下列結論正確的是(　ABD　) A.ab>1 B.a+b>1 C.ba>1 D.2b-a<1 解析:由圖象可得a>1,01,a+b>1,016-9·2x的解集為　　　　.? 解析:令t=2x,當x∈[-1,1]時,t∈[12,2], 則可將原函數(shù)轉化為y=t-t2=-(t-12)2+14, 當t=12時,ymax=14

36、;當t=2時,ymin=-2, 所以f(x)在[-1,1]上的值域為[-2,14]. 因為f(x)>16-9·2x,即2x-4x>16-9·2x, 所以4x-10·2x+16=(2x-2)(2x-8)<0, 解得2<2x<8,所以116-9·2x的解集為(1,3). 答案:[-2,14]　(1,3) 15.如圖,過原點O的直線與函數(shù)y=2x的圖象交于A,B兩點,過B作y軸的垂線交函數(shù)y=4x的圖象于點C,若AC平行于y軸,則點A的坐標為　　　　.? 解析:設A(n,2n),B(m,2m),則C(m2,2m),因為AC平行于y軸,所以n=m2,所以A

37、(m2,2n),B(m,2m),又因為A,B,O三點共線,所以kOA=kOB,所以2nm2=2mm,即n=m-1,又由n=m2,解得n=1,所以點A的坐標為(1,2). 答案:(1,2) 16.(多選題)(2021·百校聯(lián)盟高三聯(lián)考)設函數(shù)f(x)=2x-1+21-x,則(　BC　) A.f(x)在(0,+∞) 上單調(diào)遞增 B.f(x)的最小值是2 C.f(x)的圖象關于直線x=1對稱 D.f(x)的圖象關于點(1,0)對稱 解析:因為f(x)=2x-1+21-x,所以f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x),即f(x)=f(2-x),即

38、f(x)的圖象關于直線x=1對稱,故C正確; 因為函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱,故A,D錯誤; 因為2x-1>0,21-x>0,所以f(x)=2x-1+21-x≥22x-1·21-x=2,當且僅當2x-1= 21-x,即x=1時,取等號,故B正確.故選BC. 17.設f(x)=2x-1-2-x-1,當x∈R時,f(x2+2mx)+f(2)>0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　.? 解析:由函數(shù)f(x)=2x-1-2-x-1=12·(2x-2-x)=12[2x-(12)x], 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得函數(shù)f(x)是x∈R上的增函數(shù), 且滿足f(-x)=2-x-1-2x-1=-(2x-1-2-x-1)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù), 因為f(x2+2mx)+f(2)>0,即f(x2+2mx)>-f(2)=f(-2), 可得x2+2mx>-2恒成立,即x2+2mx+2>0在x∈R上恒成立, 則滿足(2m)2-4×2<0,即4m2<8, 解得-2