2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊(cè)) 第5節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 學(xué)案

第5節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 1.通過對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪amn(a>0,且a≠1,m,n為正整數(shù),且n>1)、實(shí)數(shù)指數(shù)冪ax(a>0,且a≠1,x∈R)含義的認(rèn)識(shí),了解指數(shù)冪的拓展過程,掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì). 2.通過具體實(shí)例,了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念. 3.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn). 1.根式 n次方根 概念 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N* 性質(zhì) 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),a的n次方根用符號(hào)na表示 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),正數(shù)a的n次方根用符號(hào)±na表示;負(fù)數(shù)沒有偶次方根 0的任何次方根都是0,記作 n0=0 根式 概念 式子 na 叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù) 性質(zhì) 當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí),(na)n=a 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),nan=a 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),nan=|a|=a,a≥0,-a,a<0 2.有理數(shù)指數(shù)冪 概念 正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:amn=nam a>0,m,n∈N*,n>1 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a-mn=1amn=1nam 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 運(yùn)算 性質(zhì) ar·as=ar+s a>0,b>0, r,s∈Q (ar)s=ars (ab)r=arbr 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中,要求底數(shù)都大于0,否則不能用性質(zhì)來 運(yùn)算. 3.指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì) y=ax(a>0,且a≠1) 圖象 0<a<1 a>1 圖象特征 在x軸上方,過定點(diǎn)(0,1) 當(dāng)x逐漸增大時(shí),圖象逐漸下降 當(dāng)x逐漸增大時(shí),圖象逐漸上升 性 質(zhì) 定義域 R 值域 (0,+∞) 單調(diào)性 遞減 遞增 函數(shù)變 化規(guī)律 當(dāng)x=0時(shí),y=1 當(dāng)x<0時(shí),y>1;當(dāng)x>0時(shí),0<y<1 當(dāng)x<0時(shí),0<y<1;當(dāng)x>0時(shí),y>1 形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù),不是指數(shù)函數(shù). 1.指數(shù)函數(shù)圖象的對(duì)稱規(guī)律 函數(shù)y=ax的圖象與y=a-x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,y=ax的圖象與y=-ax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,y=ax的圖象與y=-a-x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱. 2.底數(shù)對(duì)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)值的影響如圖(a1>a2>a3>a4),不論是a>1,還是0<a<1,在第一象限內(nèi)底數(shù)越大,函數(shù)圖象越高. 1.(必修第一冊(cè)P114例1改編)指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(2,4),則f(3)的值為(　B　) A.4 B.8 C.16 D.1 解析:設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)=ax(a>0,a≠1),又由函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,4),則a2=4,解得a=2,即f(x)=2x,所以f(3)=23=8.故選B. 2.(必修第一冊(cè)P115練習(xí)T3改編)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來是a件,在今后m年內(nèi),計(jì)劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加p%,則該產(chǎn)品的產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式為(　B　) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N) C.y=a(1+xp%)(0<x<m) D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N) 解析:設(shè)年產(chǎn)量經(jīng)過x年增加到y(tǒng)件,則第一年為y=a(1+p%),第二年為y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年為y=a(1+p%)(1+p%)·(1+p%)= a(1+p%)3,…,則y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).故選B. 3.已知0<m<n<1,則指數(shù)函數(shù)①y=mx;②y=nx的圖象是(　C　) 解析:由0<m<n<1可知兩曲線應(yīng)為遞減的曲線,故排除A,B,再由n>m可知應(yīng)選C. 4.(235)0+2-2×(214) -12-(0.01)12等于(　A　) A.1615 B.31730 C.-856 D.0 解析:(235)0+2-2×(214) -12-(0.01)12=1+14×23-110=1615.故選A. 5.寫出一個(gè)在定義域R上滿足f(x+y)=f(x)f(y),且是增函數(shù)的一個(gè)函數(shù):　　　　　　.  解析:滿足性質(zhì)f(x+y)=f(x)f(y)的函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù),要使指數(shù)函數(shù)是增函數(shù),則只需要底數(shù)a>1即可. 答案:f(x)=2x(答案不唯一,只要是底數(shù)a>1的指數(shù)函數(shù)即可) 指數(shù)冪的運(yùn)算 1.當(dāng)a>0時(shí),-ax3等于(　C　) A.xax B.x-ax C.-x-ax D.-xax 解析:由-ax3成立可知-ax3≥0,結(jié)合a>0得x3≤0,即x≤0,因此-ax3=-ax·x2=-ax·x2=-ax·|x|=-x-ax.故選C. 2.已知函數(shù)f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,則f(0)+f(1)+f(2)的值是(　C　) A.14 B.13 C.12 D.11 解析:由題意,函數(shù)f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,可得a+1a=3,又f(2)=a2+ a-2=(a+1a)2-2=7,f(0)=1+1=2,所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12.故選C. 3.化簡a23ba-12·3b÷(a-1b-1ba) -23的值為　　　　.  解析:原式=a23·b12a-12·b13÷(a-1b-12b·a12) -23 =a23·b12a-12·b13÷(a-1-12b-12-1) -23 =a23+12b12-13÷(a-32b-32) -23 =a76b16÷(ab) =a76-1b16-1 =a16b-56 答案:a16b-56 4.計(jì)算:(-278) -23+0.002-12-10(5-2)-1+π0=　　　　.  解析:原式=(-32)-2+50012-10(5+2)(5-2)(5+2)+1=49+105-105-20+1=-1679. 答案:-1679 1.根式的化簡問題要注意指數(shù)冪中當(dāng)指數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),可把底數(shù)變?yōu)槠涞箶?shù),從而指數(shù)化為正數(shù). 2.指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則 (1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的,無括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算. (2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù). (3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào);底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù). (4)若是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答. 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的圖象如圖①所示,求實(shí)數(shù)a,b的取值范圍; (2)若f(x)的圖象如圖②所示,|f(x)|=m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求m的取值范圍. 解:(1)由f(x)=ax+b為減函數(shù)可得0<a<1,又f(0)=1+b<0,解得b<-1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1),實(shí)數(shù)b的取值范圍為(-∞,-1). (2)題圖②中f(0)=1+b=-2,所以b=-3,函數(shù)y=|f(x)|的圖象如圖 所示. 由圖象可知使|f(x)|=m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則m=0或m≥3,所以m的取值范圍為{0}∪[3,+∞). [典例遷移1] 若函數(shù)y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、第三、第四象限,一定有(　　) A.0<a<1,且b<0 B.a>1,且b>0 C.0<a<1,且b>0 D.a>1,且b<0 解析:由題意作出函數(shù)y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的大致圖象如圖所示,由圖可知函數(shù)是一個(gè)減函數(shù),則0<a<1; 圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上(縱截距小于零),即a0+b-1<0,可得b<0, 所以0<a<1,且b<0.故選A. [典例遷移2] 若函數(shù)y=(12)|1-x|+m的圖象與x軸有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.(-∞,-1] B.[-1,0) C.[1,+∞) D.(0,1] 解析:y=(12)|1-x|+m的圖象與x軸有公共點(diǎn),即函數(shù)y=(12)|1-x|與y=-m的圖象有公共點(diǎn),y=(12)|1-x|的圖象如圖所示, 可知0<-m≤1?-1≤m<0.故選B. [典例遷移3] 若函數(shù)f(x)=|2x-2|的圖象與直線y=b有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　　　　. 解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖象(y=|2x-2|的圖象是由函數(shù)y=2x的圖象向下平移2個(gè)單位長度后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的),如圖所示, 由圖象可知當(dāng)0<b<2時(shí),兩函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是(0,2). 答案:(0,2) [典例遷移4] 若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　　　　.  解析:畫出曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖象如圖所示. 由圖象得|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-1,1]. 答案:[-1,1] 1.指數(shù)型函數(shù)的圖象:(1)函數(shù)y=ax+b(a>0,且a≠1)的圖象,可由指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|個(gè)單位長度而得到.(2)函數(shù)y=ax+b的圖象,可由指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位長度而得到.(3)函數(shù)y=a|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,當(dāng)x≥0時(shí),其圖象與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象相同;當(dāng)x<0時(shí),其圖象與x≥0時(shí)的圖象關(guān)于y軸 對(duì)稱. 2.涉及與指數(shù)函數(shù)以及與指數(shù)型函數(shù)有關(guān)的方程、不等式問題常通過數(shù)形結(jié)合思想求解. 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 　指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 下列各式比較大小正確的是(　　) A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62 C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1 解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=1.7x在R上是增函數(shù),2.5<3,所以1.72.5<1.73,故A錯(cuò)誤; 因?yàn)閥=0.6x在R上是減函數(shù),-1<2,所以0.6-1>0.62,故B正確; 因?yàn)?0.8)-1=1.25,所以問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小.因?yàn)閥=1.25x在R上是增函數(shù),0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,故C錯(cuò)誤; 因?yàn)?.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1,故D錯(cuò)誤.故選B. 比較冪的大小的方法 (1)同底數(shù)冪比較大小時(shí)構(gòu)造指數(shù)函數(shù),根據(jù)其單調(diào)性比較. (2)指數(shù)相同底數(shù)不同時(shí)分別畫出以兩冪底數(shù)為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象,當(dāng)x取相同冪指數(shù)時(shí)可觀察出函數(shù)值的大小. (3)底數(shù)、指數(shù)都不相同時(shí),取與其中一底數(shù)相同與另一指數(shù)相同的冪與兩數(shù)比較,或借助“1”與兩數(shù)比較. 　利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解指數(shù)不等式 若x滿足不等式2x2+1≤(14)x-2,則函數(shù)y=2x的值域是(　　) A.[18,2) B.[18,2] C.(-∞,18] D.[2,+∞) 解析:將2x2+1≤(14)x-2化為x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函數(shù)y=2x的值域是[18,2].故選B. 指數(shù)不等式的常見類型及求解方法 (1)af(x)>ag(x)或af(x)<ag(x)型. 解法:af(x)>ag(x)?a>1,f(x)>g(x)或0<a<1,f(x)<g(x). af(x)<ag(x)?a>1,f(x)<g(x)或0<a<1,f(x)>g(x). (2)形如ax>b的不等式,注意將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式,再借助于函數(shù)y=ax的單調(diào)性求解. 　與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 若函數(shù)f(x)=(13) ax2+2x+3的值域是(0,19],則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　.  解析:令g(x)=ax2+2x+3,則f(x)=(13)g(x), 由于f(x)有最大值19,所以g(x)應(yīng)有最小值2, 因此必有a>0,12a-44a=2,解得a=1, 即當(dāng)f(x)有最大值19時(shí),a的值為1. 這時(shí)g(x)=x2+2x+3,f(x)=(13) x2+2x+3. 由于g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1), 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 對(duì)于形如y=af(x)的函數(shù)的單調(diào)性,它的單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)區(qū)間有關(guān):若a>1,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間;若0<a<1,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞減(增)區(qū)間. 　指數(shù)型函數(shù)的值域 如果函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,則實(shí)數(shù)a的值為　　　　.  解析:當(dāng)a>1時(shí),y=a2x+2ax-1在[-1,1]上是增函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),y=a2x+2ax-1在[-1,1]上是減函數(shù),由題意a>1,a2+2a-1=14,或 0<a<1,a-2+2a-1-1=14,解得a=3或13. 答案:3或13 本例是關(guān)于ax(a>0,a≠1)的二次函數(shù)問題,一般可利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題,要注意換元后新元的取值范圍.注意到本例中y=a2x與y=2ax的單調(diào)性相同,直接用單調(diào)性求解更加簡單. [針對(duì)訓(xùn)練] 1.函數(shù)f(x)=3-x2+4x+3的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-3,2) D.(2,7) 解析:由于函數(shù)t=-x2+4x+3的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,2),而y=3t是關(guān)于t的增函數(shù),所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,2).故選A. 2.當(dāng)x≤1時(shí),函數(shù)y=4x-2x+1+2的值域?yàn)?　　) A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.[1,2) D.[1,2] 解析:y=4x-2x+1+2=(2x)2-2·2x+2=(2x-1)2+1.設(shè)t=2x,因?yàn)閤≤1,所以0<t≤2,則函數(shù)等價(jià)為y=(t-1)2+1.因?yàn)?<t≤2,所以1≤y≤2,即函數(shù)的值域?yàn)閇1,2].故選D. 3.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,則(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 解析:由0.2<0.6,0.4<1,并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.40.2>0.40.6,即b>c.因?yàn)閍=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.綜上,a>b>c.故選A. 4.已知函數(shù)f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-1)>f(-2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.  解析:因?yàn)閒(x)=a-x=(1a)x,且f(-1)>f(-2),所以函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增,所以1a>1,解得0<a<1. 答案:(0,1) 對(duì)于給定的函數(shù)f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,且a≠1),下列五個(gè)命題,屬于真命題的是　　　　(填序號(hào)).  ①函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; ②函數(shù)f(x)在R上不具有單調(diào)性; ③函數(shù)f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱; ④當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(|x|)的最大值是0; ⑤當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(|x|)的最大值是0. 解析:因?yàn)閒(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,①是真命題;當(dāng)a>1時(shí),f(x)在R上為增函數(shù),當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在R上為減函數(shù),②是假命題;y=f(|x|)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,③是真命題;當(dāng)0<a<1時(shí),y=f(|x|)在(-∞,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)上為減函數(shù),所以當(dāng)x=0時(shí),y=f(|x|)的最大值為0,④是真命題;當(dāng)a>1時(shí),f(|x|)在(-∞,0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為增函數(shù),所以當(dāng)x=0時(shí),y=f(|x|)的最小值為0,⑤是假命題.綜上,真命題是① ③④. 答案:①③④ 當(dāng)x>2時(shí),函數(shù)y=4ax-1(a>0,且a≠1)的圖象恒在函數(shù)y=3x-4的圖象下方,則a的取值范圍為　　　　.  解析:由題意得,當(dāng)x>2時(shí),不等式4ax-1<3x-4恒成立,即ax-1<34x-1,令f(x)=ax-1,g(x)=34x-1,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象, 當(dāng)a>1時(shí),如圖所示, 由圖可知,?x∈R,ax-1>34x-1恒成立,故不滿足題意; 當(dāng)0<a<1時(shí),如圖所示, 由圖可知,要滿足?x>2,ax-1<34x-1恒成立,需f(2)≤g(2),即a2-1≤34× 2-1,解得a≤12,故0<a≤12.綜上可知a的取值范圍是(0,12]. 答案:(0,12] 已知函數(shù)f(x)=a(12)|x|+2的圖象如圖所示過原點(diǎn),且無限接近直線y=2但又不與y=2相交. (1)求該函數(shù)f(x)的解析式; (2)方程f2(x)-2mf(x)+1=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍. 解:(1)因?yàn)閒(x)的圖象過原點(diǎn)(0,0), 所以f(0)=0, 所以f(0)=a(12)|0|+2=0,解得a=-2, 所以f(x)=-2·(12)|x|+2. 解:(2)令t=f(x)∈[0,2), 則g(t)=t2-2mt+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根t1,t2∈(0,2), 得0<m<2,Δ=4m2-4>0,g(2)=5-4m>0?0<m<2,m<-1或m>1,m<54. 綜上m的取值范圍為(1,54). 已知f(x)=2x-a2x+1(a∈R)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱. (1)求a的值; (2)若存在x∈[0,1],使不等式f(x)+2x-b2x+1<0成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍. 解:(1)由題意知f(x)是R上的奇函數(shù), 所以f(0)=0,得a=1. 此時(shí),f(x)=2x-12x+1, 因?yàn)閒(-x)=2-x-12-x+1=(2-x-1)·2x(2-x+1)·2x=1-2x2x+1=-f(x), 所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 解:(2)設(shè)h(x)=2x-12x+1+2x-b2x+1 =(2x)2+2x+1-1-b2x+1, 由題設(shè)知存在x∈[0,1],使h(x)<0成立, 即存在x∈[0,1],使不等式4x+2x+1-1-b<0成立,即存在x∈[0,1],使b>4x+2x+1-1成立, 令u(x)=4x+2x+1-1,x∈[0,1],因?yàn)閥=4x,y=2x+1在[0,1]上是增函數(shù),所以u(píng)(x)在[0,1]上是增函數(shù),所以u(píng)(x)min=u(0)=2,所以b>2. 知識(shí)點(diǎn)、方法 基礎(chǔ)鞏固練 綜合運(yùn)用練 應(yīng)用創(chuàng)新練 根式與指數(shù)冪運(yùn)算 4,5,8 指數(shù)函數(shù)的圖象 2,3 13,15 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 1,6,9 12 17 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 7,10 11,14 16 1.已知函數(shù)f(x)=2x-b(2≤x≤4,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,1),則f(x)的值域?yàn)?　C　) A.[4,16] B.[2,10] C.[12,2] D.[12,+∞) 解析:將(3,1)代入函數(shù)解析式得23-b=1,3-b=0,b=3,所以f(x)=2x-3,在區(qū)間[2,4]上為增函數(shù),故值域?yàn)閇f(2),f(4)]=[12,2].故選C. 2.函數(shù)f(x)=ax-2+3(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P,點(diǎn)P又在冪函數(shù)g(x)的圖象上,則g(3)的值為(　C　) A.4 B.8 C.9 D.16 解析:因?yàn)閒(x)=ax-2+3,令x-2=0得x=2,所以f(2)=a0+3=4,所以f(x)的圖象恒過點(diǎn)P(2,4). 設(shè)g(x)=xα(α∈R),把P(2,4)代入g(x)=xα得2α=4,所以α=2,所以g(x)=x2,所以g(3)=32=9.故選C. 3.已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)內(nèi)的值域是(1,a2),則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是(　B　) 解析:函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在(0,2)內(nèi)的值域是(1,a2),因此指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),所以有a>1,由底數(shù)大于1指數(shù)函數(shù)的圖象上升,且在x軸上方可知B正確.故選B. 4.已知函數(shù)f(x)=2x2-2ax+1,滿足f(3+x)=f(3-x),則4a-12等于(　D　) A.92 B.9 C.18 D.72 解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(3+x)=f(3-x),所以圖象的對(duì)稱軸為直線x=2a4=3,即2a=12, 所以4a-12=4a4=1222=72.故選D. 5.函數(shù)y=4x+4-x+2x-2-x的最小值為(　D　) A.12 B.1 C.2 D.74 解析:令2x-2-x=t,則t2=4x+4-x-2, 故原函數(shù)化為y=t2+t+2=(t+12)2+74,當(dāng)t=-12時(shí),取得最小值為74.故選D. 6.下列不等式正確的是(　D　) A.3-23<3-4<32 B.32<(13) 13<33 C.2.60<(12)2.6<22.6 D.(12)2.6<2.60<22.6 解析:因?yàn)閥=3x是增函數(shù),所以3-4<3-23<32,(13) 13=3-13<32<33,故排除A,B;因?yàn)閥=2x是增函數(shù),所以(12)2.6=2-2.6<20=2.60<22.6.故選D. 7.(多選題)對(duì)函數(shù)f(x)=(12) x2+1判斷正確的是(　BD　) A.單調(diào)遞增區(qū)間(0,+∞) B.單調(diào)遞增區(qū)間(-∞,0) C.值域[12,+∞) D.值域(0,12] 解析:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,g(t)=(12)t在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,而h(x)=x2+1在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x) =(12) x2+1的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0).h(x)=x2+1的值域?yàn)閇1,+∞),而f(x)=(12) x2+1在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,故f(x)=(12) x2+1的值域?yàn)?0,12].故選BD. 8.(32×3)6-4×(1649) -12+(-2 021)0=　　　　.  解析:(32×3)6-4×(1649) -12+(-2 021)0=(213)6×(312)6-4×[(47)2] -12+1=22×33-4×74+1=102. 答案:102 9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①f(x)單調(diào)遞減;②f(0)=1,請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的指數(shù)型函數(shù):f(x)=　　　　.  解析:由函數(shù)f(x)滿足:①f(x)單調(diào)遞減;②f(0)=1,則f(x)=2-x. 答案:2-x(答案不唯一) 10.已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為8,最小值為m.若函數(shù)g(x)=(3-10m)x是增函數(shù),則a=　　　　.  解析:根據(jù)題意,得3-10m>0,解得m<310. 當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=ax在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增,最大值為a2=8,解得a=22,最小值為m=a-1=122=24>310,不符合題意; 當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)=ax在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞減,最大值為a-1=8,解得a=18,最小值為m=a2=164<310,滿足題意.綜上,a=18. 答案:18 11.若ea+πb≥e-b+π-a,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則有(　D　) A.a+b≤0 B.a-b≥0 C.a-b≤0 D.a+b≥0 解析:令f(x)=ex-π-x,則f(x)在R上單調(diào)遞增,又ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.故選D. 12.已知函數(shù)f(x)=4x+a·2x在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　C　) A.[-4,+∞) B.(-∞,-4] C.[-8,+∞) D.(-∞,-8] 解析:設(shè)t=2x,則由x≥2可知t≥4,由t為增函數(shù)以及題意可知,函數(shù)y=t2+at在區(qū)間[4,+∞)上是增函數(shù),結(jié)合y=t2+at的單調(diào)遞增區(qū)間為(-a2,+∞)可知,-a2≤4,則a≥-8.故選C. 13.(多選題)已知函數(shù)y=ax-b(a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(　ABD　) A.ab>1 B.a+b>1 C.ba>1 D.2b-a<1 解析:由圖象可得a>1,0<b<1,所以可得b-a<0,2b-a<1,ab>1,a+b>1,0<ba <1,因此只有C不正確.故選ABD. 14.已知函數(shù)f(x)=2x-4x,則函數(shù)y=f(x)在[-1,1]上的值域?yàn)椤　　?不等式f(x)>16-9·2x的解集為　　　　.  解析:令t=2x,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),t∈[12,2], 則可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=t-t2=-(t-12)2+14, 當(dāng)t=12時(shí),ymax=14;當(dāng)t=2時(shí),ymin=-2, 所以f(x)在[-1,1]上的值域?yàn)閇-2,14]. 因?yàn)閒(x)>16-9·2x,即2x-4x>16-9·2x, 所以4x-10·2x+16=(2x-2)(2x-8)<0, 解得2<2x<8,所以1<x<3,即不等式f(x)>16-9·2x的解集為(1,3). 答案:[-2,14]　(1,3) 15.如圖,過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=2x的圖象交于A,B兩點(diǎn),過B作y軸的垂線交函數(shù)y=4x的圖象于點(diǎn)C,若AC平行于y軸,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為　　　　.  解析:設(shè)A(n,2n),B(m,2m),則C(m2,2m),因?yàn)锳C平行于y軸,所以n=m2,所以A(m2,2n),B(m,2m),又因?yàn)锳,B,O三點(diǎn)共線,所以kOA=kOB,所以2nm2=2mm,即n=m-1,又由n=m2,解得n=1,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2). 答案:(1,2) 16.(多選題)(2021·百校聯(lián)盟高三聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=2x-1+21-x,則(　BC　) A.f(x)在(0,+∞) 上單調(diào)遞增 B.f(x)的最小值是2 C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱 解析:因?yàn)閒(x)=2x-1+21-x,所以f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x),即f(x)=f(2-x),即f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故C正確; 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故A,D錯(cuò)誤; 因?yàn)?x-1>0,21-x>0,所以f(x)=2x-1+21-x≥22x-1·21-x=2,當(dāng)且僅當(dāng)2x-1= 21-x,即x=1時(shí),取等號(hào),故B正確.故選BC. 17.設(shè)f(x)=2x-1-2-x-1,當(dāng)x∈R時(shí),f(x2+2mx)+f(2)>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　.  解析:由函數(shù)f(x)=2x-1-2-x-1=12·(2x-2-x)=12[2x-(12)x], 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得函數(shù)f(x)是x∈R上的增函數(shù), 且滿足f(-x)=2-x-1-2x-1=-(2x-1-2-x-1)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù), 因?yàn)閒(x2+2mx)+f(2)>0,即f(x2+2mx)>-f(2)=f(-2), 可得x2+2mx>-2恒成立,即x2+2mx+2>0在x∈R上恒成立, 則滿足(2m)2-4×2<0,即4m2<8, 解得-2<m<2, 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-2,2). 答案:(-2,2)