（通用版）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 規(guī)范解答集訓(xùn)2 數(shù)列 理

規(guī)范解答集訓(xùn)(二)　數(shù)列 (建議用時：40分鐘) 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：a1an＝S1＋Sn. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若an＞0，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，試問當(dāng)n為何值時，Tn取得最小值？并求出最小值． [解](1)因?yàn)閍1an＝S1＋Sn， ① 所以當(dāng)n＝1時，a＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2， 當(dāng)n≥2時，a1an－1＝S1＋Sn－1， ② 由①－②得，a1(an－an－1)＝an. 若a1＝0，則an＝0，此時數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝0. 若a1＝2，則2(an－an－1)＝an，化簡得an＝2an－1(n≥2)， 此時數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 故an＝2n. 綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝0或an＝2n. (2)因?yàn)閍n＞0，故an＝2n. 設(shè)bn＝log2，則bn＝n－5，顯然{bn}是等差數(shù)列， 由n－5≥0解得n≥5，所以當(dāng)n＝4或n＝5時，Tn取最小值， 所以Tn的最小值為T4＝T5＝－10. 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè){bn－an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解](1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1， ① ∴當(dāng)n＝1時，a2＝2a1＋1＝3. 當(dāng)n≥2時，an＝2Sn－1＋1， ② ①－②得：an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，且a2＝3a1. 故{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an＝3n－1. (2)由題意bn－an＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以bn＝3n－1＋2n－1. 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(30＋31＋…＋3n－1)＋(1＋3＋…＋2n－1)＝＋＝＋n2. 3．已知數(shù)列{an}滿足：an≠1，an＋1＝2－(n∈N*)，數(shù)列{bn}中，bn＝，且b1，b2，b4成等比數(shù)列． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)若Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. [解](1)bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1， ∴數(shù)列{bn}是公差為1的等差數(shù)列． (2)由題意可得b＝b1b4，即(b1＋1)2＝b1(b1＋3)，所以b1＝1， ∴Sn＝，∴＝＝2， Tn＝2×＝2×＝. 4．(2019·濮陽5月模擬)已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＋bn＝2，等差數(shù)列{an}滿足b1a2＝3，b1＋a5＝7. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)證明：a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1＜3. [解](1)∵Sn＋bn＝2，∴當(dāng)n＝1時，b1＝S1＝2－b1， ∴b1＝1. 當(dāng)n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝2－bn－2＋bn－1， 整理得：bn＝bn－1. ∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， ∴bn＝. 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵b1a2＝3，b1＋a5＝7，∴ 解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×1＝n＋1. (2)證明：設(shè)Tn＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1＝2×＋3×＋…＋(n＋1)·， ∴Tn＝2×＋3×＋…＋(n＋1)·， 兩式相減可得： Tn＝1＋＋＋…＋－(n＋1)·＝1－(n＋1)·＋＝－， Tn＝3－.即a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1＝3－. ∵＞0，∴a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1＜3. - 3 -