（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)與解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí) 理 新人教A版

第2講　三角恒等變換與解三角形 [A組　夯基保分專練] 一、選擇題 1．(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋1，則(　　) A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 解析：選B．f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin(2x＋)＋2，則f(x)的最小正周期為＝π，最大值為2＋2＝4.故選B． 2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，則＝(　　) A．6　　　　　　　　　　　 B．5 C．4 D．3 解析：選A．由題意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cos A＝＝＝－，得＝6.故選A． 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，則sin B為(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選A．由bsin B－asin A＝asin C， 且c＝2a，得b＝a， 因?yàn)閏os B＝＝＝， 所以sin B＝ ＝. 4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2＝c2＋ac－bc，則＝(　　) A． B． C． D． 解析：選B．由a，b，c成等比數(shù)列得b2＝ac，則有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，故A＝，對(duì)于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sin Asin C＝·sin C，由正弦定理得，＝＝＝.故選B． 5．(一題多解)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，則BC邊上的高等于(　　) A．1 B． C． D．2 解析：選A．法一：因?yàn)閠an∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，所以BC邊上的高h(yuǎn)＝＝＝1，故選A． 法二：因?yàn)閠an∠BAC＝－3，所以cos∠BAC＝－<0，則∠BAC為鈍角，因此BC邊上的高小于，故選A． 6.如圖，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cos A等于(　　) A． B． C． D． 解析：選C．依題意得，BD＝AD＝＝，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，＝，＝×＝，即＝，由此解得cos A＝. 二、填空題 7．若sin＝，則cos＝________． 解析：依題意得cos＝－cos＝－cos ＝2sin2－1＝2×－1＝－. 答案：－ 8．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，則c的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：由＝，得＝，所以c＝8cos A，因?yàn)?6＝b2＋c2－2bccos A，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b.因?yàn)閎∈(4，6)，所以32<c2<40，所以4<c<2. 答案：(4，2) 9．(一題多解)(2019·合肥市第一次質(zhì)檢測(cè))設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c成等比數(shù)列，cos(A－C)－cos B＝，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，若BD＝2，則△ACD面積的最大值為_(kāi)_______． 解析：法一：由題意知b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sin Asin C　①，又由已知，得cos(A－C)＋cos(A＋C)＝，可得cos Acos C＝?、?，②－①，得－sin2B＝－cos B，所以cos2B＋cos B－＝0，解得cos B＝或cos B＝－(舍去)，所以B＝60°，再由題得cos(A－C)＝1，則A－C＝0，即A＝C，則a＝c，所以△ABC為正三角形，則∠ACD＝120°，AC＝b，CD＝2－b，故S△ACD＝×b×(2－b)×≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2－b，即b＝1時(shí)取等號(hào)．故填. 法二：由題意知b2＝ac，且cos(A－C)＋cos(A＋C)＝，即cos Acos C＋sin Asin C＋cos Acos C－sin Asin C＝，即cos Acos C＝，由余弦定理得·＝，整理得b4－(a2－c2)2＝b4，所以a2－c2＝0，即a＝c，又b2＝ac，所以a＝b＝c，即△ABC為正三角形，所以S△ACD＝S△ABD－S△ABC＝×2×c×－c2＝－(c－1)2＋≤，當(dāng)c＝1時(shí)取等號(hào)，故填. 答案： 三、解答題 10．(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B． (1)求角B； (2)若b＝2，tan C＝，求△ABC的面積． 解：(1)因?yàn)閍2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B，所以由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋a2cos B， 又a≠0，所以2ccos B＝bcos A＋acos B，由正弦定理，得 2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C， 又C∈(0，π)，sin C>0，所以cos B＝. 因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝. (2)由tan C＝，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝， 所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得a＝＝＝6， 所以△ABC的面積為absin C＝×6×2×＝6. 11．(2019·武漢模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A＝2B，cos B＝. (1)求sin C的值； (2)若角A的平分線AD的長(zhǎng)為，求b的值． 解：(1)由cos B＝及0<B<π，得sin B＝， 又A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝， cos A＝cos 2B＝2cos2B－1＝. 故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝. (2)由題意得，∠ADC＝B＋∠BAC＝∠BAC(如圖)，所以sin∠ADC＝. 在△ADC中，＝， 即＝，AC＝， 故b＝. 12．(2019·高考天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C． (1)求cos B的值； (2)求sin的值． 解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin C＝csin B，又由3csin B＝4asin C，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.又因?yàn)閎＋c＝2a，得到b＝a，c＝a.由余弦定理可得cos B＝＝＝－. (2)由(1)可得sin B＝＝， 從而sin 2B＝2sin Bcos B＝－，cos 2B＝cos2B－sin2B＝－， 故sin＝sin 2Bcos＋cos 2Bsin ＝－×－×＝－. [B組　大題增分專練] 1．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)． (1)求角C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)． 解：(1)由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)， 即a2＋b2－c2＝ab. 所以cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝. (2)由(1)知a2＋b2－c2＝ab，所以(a＋b)2－3ab＝c2＝7， 又S＝absin C＝ab＝， 所以ab＝6， 所以(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5. 所以△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝5＋. 2．(一題多解)(2019·福州模擬)如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝－. (1)求∠B的大小； (2)若AM＝，求△AMC的面積． 解：(1)由cos∠BAM＝， 得sin∠BAM＝， 由cos∠AMC＝－，得sin∠AMC＝. 又∠AMC＝∠BAM＋∠B， 所以cos∠B＝cos(∠AMC－∠BAM) ＝cos∠AMCcos∠BAM＋sin∠AMCsin∠BAM ＝－×＋×＝－， 又∠B∈(0，π)，所以∠B＝. (2)法一：由(1)知∠B＝， 在△ABM中，由正弦定理＝， 得BM＝＝＝. 因?yàn)镸是邊BC的中點(diǎn)， 所以MC＝. 故S△AMC＝AM·MC·sin∠AMC＝×××＝. 法二：由(1)知∠B＝， 在△ABM中，由正弦定理＝， 得BM＝＝＝. 因?yàn)镸是邊BC的中點(diǎn)，所以S△AMC＝S△ABM， 所以S△AMC＝S△ABM＝AM·BM·sin∠BMA＝×××＝. 3．(2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知2(c－acos B)＝b. (1)求角A； (2)若a＝2，求△ABC面積的取值范圍． 解：(1)由2(c－acos B)＝b及正弦定理得2(sin C－sin Acos B)＝sin B， 所以2sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin B，即2cos Asin B＝sin B， 因?yàn)閟in B≠0，所以cos A＝，又0<A<π，所以A＝. (2)因?yàn)閍＝2，由正弦定理得b＝4sin B，c＝4sin C， 所以S△ABC＝bcsin A＝bc， 所以S△ABC＝4sin Bsin C，因?yàn)镃＝π－(A＋B)＝－B，所以sin C＝sin， 所以S△ABC＝4sin Bsin＝4sin B， 即S△ABC＝2sin Bcos B＋2sin2B ＝sin 2B－cos 2B＋ ＝2sin＋. 因?yàn)?<B<，所以－<2B－<， 所以－<sin≤1， 所以0<S△ABC≤2＋. 即△ABC面積的取值范圍為(0，2＋]． 4．已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，AB邊上的高h(yuǎn)＝c. (1)若△ABC為銳角三角形，且cos A＝，求角C的正弦值； (2)若C＝，M＝，求M的值． 解：(1)作CD⊥AB，垂足為D， 因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，且cos A＝， 所以sin A＝，tan A＝， 所以AD＝，BD＝AB－AD＝， 所以BC＝＝＝， 由正弦定理得sin∠ACB＝＝＝. (2)因?yàn)镾△ABC＝c×c＝absin∠ACB＝ab， 所以c2＝ab， 又a2＋b2－c2＝2abcos∠ACB＝ab， 所以a2＋b2＝ab＋c2， 所以a2＋b2＋c2＝ab＋c2＝ab＋×ab＝2ab， 所以M＝＝＝2. - 9 -