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1、滾動小專項(四) 函數(shù)的圖像與性質
類型1 一次函數(shù)的圖像和性質
1．(·灤南一模)一次函數(shù)y＝kx－(2－b)的圖像如圖所示、則k和b的取值范疇是( B )
A．k＞0、b＞2 B．k＞0、b＜2
C．k＜0、b＞2 D．k＜0、b＜2
2．(·寧德)已知點A(－2、y1)和點B(1、y2)是如圖所示的一次函數(shù)y＝2x＋b圖像上的兩點、則y1與y2的大小關系是( A )
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1 ＝y(tǒng)2
2、 D．y1≥y2
3．兩條直線y＝ax＋b與y＝bx＋a在同始終角坐標系中的圖像位置也許是( A )
4．(·河北考試闡明)如圖、已知點A坐標為(5、0)、直線y＝x＋b(b＞0)與y軸交于點B、連接AB、∠α＝75°、則b＝( B )
A．3 B. C．4 D.
5．(·荊州)若點M(k－1、k＋1)有關y軸的對稱點在第四象限內、則一次函數(shù)y＝(k－1)x＋k的圖像不通過第一象限．
6．(·永州)已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像通過兩點A(0、1)、
3、B(2、0)、則當x≥2 時、y≤0.
7．(·株洲)已知直線y＝2x＋3－a與x軸的交點在A(2、0)、B(3、0)之間(涉及A、B兩點)、則a的取值范疇是7≤a≤9．
8．已知一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖像過點(0、2)、且與兩坐標軸圍成的三角形面積為2、則此一次函數(shù)的解析式為y＝x＋2或y＝－x＋2．
9．如圖、過點(0、－2)的直線l1：y1＝kx＋b(k≠0)與直線l2：y2＝x＋1交于點P(2、m)．
(1)寫出使得y1＜y2的x的取值范疇；
(2)求點P的坐標和直線l1的解析式．
解：(1)當x＜2時、y1＜y2.
(2)把P(2、m)代入y2＝x＋1、得
4、m＝2＋1＝3.∴P(2、3)．
把P(2、3)和(0、－2)分別代入y1＝kx＋b、得
解得
∴直線l1的解析式為y1＝x－2.
10．(·益陽)如圖、直線l上有一點P1(2、1)、將點P1先向右平移1個單位、再向上平移2個單位得到像點P2、點P2正好在直線l上．
(1)寫出點P2的坐標；
(2)求直線l所示的一次函數(shù)的體現(xiàn)式；
(3)若將點P2先向右平移3個單位、再向上平移6個單位得到像點P3.請判斷點P3與否在直線l上、并闡明理由．
解：(1)P2(3、3)．
(2)設直線l所示的一次函數(shù)的體現(xiàn)式為y＝kx＋b(k≠0)、∵點P1(2、1)、P2(3、3)在直
5、線l上、
∴解得
∴直線l所示的一次函數(shù)的體現(xiàn)式為y＝2x－3.
(3)點P3在直線l上．由題意知點P3的坐標為(6、9)、∵2×6－3＝9、∴點P3在直線l上．
類型2 一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合
11．(·唐山路南區(qū)三模)反比例函數(shù)y＝和正比例函數(shù)y＝mx的部分圖像如圖所示．由此可以得到方程＝mx的實數(shù)根為( B )
A．x＝1 B．x1＝1、x2＝－1
C．x＝2 D．x1＝1、x2＝－2
12．(·秦皇島盧龍一模)如圖、已知一次函數(shù)y＝x＋1
6、的圖像與反比例函數(shù)y＝的圖像在第一象限相交于點A、與x軸相交于點C、AB⊥x軸于點B、△AOB的面積為1、則AC的長為2(保存根號)．
13．(·河北考試闡明)如圖、在直角坐標系中、Rt△ABC位于第一象限、兩條直角邊BC、BA分別平行于x軸、y軸、點A的坐標為(1、1)、AB＝2、BC＝4.
(1)求點C的坐標和AC邊所在直線的解析式；
(2)若反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖像通過點B、求m的值；
(3)若反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖像與AC邊有公共點、請直接寫出m的取值范疇．
解：(1)∵點A的坐標為(1、1)、AB＝2、BA平行于y軸、∴點B的坐標為(1、3)．
又∵B
7、C＝4、BC平行于x軸、∴點C的坐標為(5、3)．
設AC邊所在直線的解析式為y＝kx＋b、
∴解得
∴AC邊所在直線的解析式為y＝x＋.
(2)∵點B(1、3)在反比例函數(shù)y＝的圖像上、∴m＝3.
(3)1≤m≤15.
14．(·樂亭一模)如圖、在平面直角坐標系中、直線y＝x－2與y軸相交于點A、與反比例函數(shù)在第一象限內的圖像相交于點B(m、2)．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)若將直線y＝x－2向上平移4個單位后與反比例函數(shù)圖像在第一象限內交于點C、求△ABC的面積；
(3)若將直線y＝x－2向上平移后與反比例函數(shù)圖像在第
8、一象限內交于點C、且△ABC的面積為18、求平移后的直線的函數(shù)關系式．
解：(1)將B(m、2)代入直線y＝x－2中、得m－2＝2、解得m＝4.∴B(4、2)．
設反比例函數(shù)解析式為y＝、則k＝2×4＝8.
∴反比例函數(shù)解析式為y＝.
(2)將直線y＝x－2向上平移4個單位后的直線解析式為y＝x＋2.
設y＝x＋2交y軸于點M、則M(0、2)、連接BM、則S△ABC＝S△ABM＝AM×4＝×4×4＝8.
(3)設平移后的直線y＝x＋b交y軸于點N、則點N坐標為(0、b)、連接BN、則
S△ABC＝S△ABN＝AN×4＝18、∴AN＝9.
∴b－(－2)＝9、即b＝7.
∴
9、平移后直線解析式為y＝x＋7.
15．(·石家莊二模)如圖、已知A(－4、)、B(－1、2)是一次函數(shù)y＝kx＋b與反比例函數(shù)y＝(m＜0)圖像的兩個交點、AC⊥x軸于點C、BD⊥y軸于點D.
(1)根據(jù)圖像直接回答：在第二象限內、當x取何值時、一次函數(shù)的值不小于反比例函數(shù)的值？
(2)求一次函數(shù)y＝kx＋b的解析式及m的值；
(3)P是線段AB上的一點、連接PC、PD、若△PCA和△PDB面積相等、求點P坐標．
解：(1)由圖像得當－4＜x＜－1時、一次函數(shù)的值不小于反比例函數(shù)的值．
(2)設一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b、將A(－4、)、B(－1、2)代入、則
解得
10、
∴一次函數(shù)的解析式為y＝x＋.
∵反比例函數(shù)y＝的圖像過點(－1、2)、
∴m＝－1×2＝－2.
(3)設P(x、x＋)．
由△PCA和△PDB面積相等、得××(x＋4)＝×|－1|×(2－x－)、解得x＝－.
則x＋＝、
∴P點坐標是(－、)．
類型3 二次函數(shù)的圖像與性質
16．(·樂亭一模)在同一平面直角坐標系中、函數(shù)y＝ax2＋bx與y＝bx＋a的圖像也許是( C )
A B C D
17．(·煙臺)如圖、已知頂點為(－3、－6)的拋物線y＝ax2＋bx＋c通
11、過點(－1、－4)、則下列結論中錯誤的是( C )
A．b2＞4ac
B．a(chǎn)x2＋bx＋c≥－6
C．若點(－2、m)、(－5、n)在拋物線上、則m＞n
D．有關x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的兩根為－5和－1
18．(·濱州)已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋3.
(1)用配措施求其函數(shù)的頂點C的坐標、并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減而增減的狀況；
(2)求函數(shù)圖像與x軸的交點A、B的坐標及△ABC的面積．
解：(1)y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－1＝(x－2)2－1.
∴其函數(shù)的頂點C的坐標為(2、－1)．
∵開口向上、∴當x≤2時、y隨x的增大而減小
12、；
當x>2時、y隨x的增大而增大．
(2)令y＝0、則x2－4x＋3＝0、解得x1＝1、x2＝3.
∴當點A在點B左側時、A(1、0)、B(3、0)；
當點A在點B右側時、A(3、0)、B(1、0)．
∴AB＝|1－3|＝2.
過點C作CD⊥x軸于點D、則
S△ABC＝AB·CD
＝×2×1
＝1.
19．(·唐山開平區(qū)一模改編)在平面直角坐標系xOy中、拋物線y＝mx2－2mx－2(m≠0)與y軸交于點A、其對稱軸與x軸交于點B.
(1)求點A、B的坐標；
(2)如果拋物線與x軸只有唯一的公共點、請擬定m的取值或取值范疇．
解：(1)當x＝0時、y＝－
13、2.∴A(0、－2)．
∵對稱軸為直線x＝－＝1、∴B(1、0)．
(2)拋物線與x軸只有一種公共點、
∴b2－4ac＝(－2m)2－4·m·(－2)＝4m2＋8m＝0.解得m1＝0、m2＝－2.
又∵m≠0、∴m＝－2.
20．(·滄州模擬)如圖、二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖像通過點A(4、0)、B(－4、－4)、且與y軸交于點C.
(1)試求此二次函數(shù)的解析式；
(2)試證明：∠BAO＝∠CAO(其中O是原點)；
(3)若P是線段AB上的一種動點(不與A、B重疊)、過P作y軸的平行線、分別交此二次函數(shù)圖像及x軸于Q、H兩點、試問：與否存在這樣的點P、使PH＝2QH？
14、若存在、祈求出點P的坐標；若不存在、請闡明理由．
解：(1)∵點A(4、0)與B(－4、－4)在二次函數(shù)圖像上、
∴
解得
∴二次函數(shù)解析式為y＝－x2＋x＋2.
(2)證明：過點B作BD⊥x軸于點D、由(1)、得C(0、2)、
則在Rt△AOC中、tan∠CAO＝＝＝；
在Rt△ABD中、tan∠BAD＝＝＝.
∵tan∠CAO＝tan∠BAD、∴∠CAO＝∠BAO.
(3)由點A(4、0)與B(－4、－4)、可得直線AB的解析式為y＝x－2.
設P(x、x－2)(－4＜x＜4)、則Q(x、－x2＋x＋2)．
∴PH＝|x－2|＝2－x、QH＝|－x2＋x＋2|.
∴2－x＝2|－x2＋x＋2|.
當2－x＝－x2＋x＋4時、
解得x1＝－1、x2＝4(舍去)．∴P(－1、－)；
當2－x＝x2－x－4時、
解得x1＝－3、x2＝4(舍去)．∴P(－3、－)．
綜上所述、存在滿足條件的點P、它的坐標是(－1、－)或(－3、－)．
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