第64課時(shí) 多面體和球

課題：多面體和球 教學(xué)目的：理解多面體、凸多面體的概念 理解正多面體的概念，懂得歐拉公式和五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù) 要使學(xué)生理解兩點(diǎn)的球面距離，掌握球的表面積及球的體積公式、求球面面積、球的體積及兩點(diǎn)的球面距離. 球是最常用的幾何體.高考對(duì)球的考察重要在如下四個(gè)方面：球的截面的性質(zhì)；球的表面積和體積；球面上兩點(diǎn)間的球面距離；球與其她幾何體的組合體.并且多以選擇題和填空題的形式浮現(xiàn).第（）方面有時(shí)用綜合題進(jìn)行考察. 教學(xué)重點(diǎn)： （一） 重要知識(shí)及重要措施： 每個(gè)面都是有相似邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)均有相似棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體. 正多面體有且只有種.分別是正四周體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體. 簡樸多面體：考慮一種多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)持續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐环N球面.如圖：象這樣，表面通過持續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡樸多面體. 闡明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡樸多面體 五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)： 正多面體 頂點(diǎn)數(shù) 面數(shù) 棱數(shù) 正四周體 正六面體 正八面體 正十二面體 正二十面體 歐拉定理（歐拉公式）：簡樸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有關(guān)系式： 計(jì)算棱數(shù)常用措施： ； 各面多邊形邊數(shù)和的一半；頂點(diǎn)數(shù)與共頂點(diǎn)棱數(shù)積的一半. 球的概念： 與定點(diǎn)距離等于或不不小于定長的點(diǎn)的集合，叫做球體，簡稱球定點(diǎn)叫球心，定長叫球的半徑與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面.一種球或球面用表達(dá)它的球心的字母表達(dá)，例如球 球的截面：用一平面去截一種球，設(shè)是平面的垂線段，為垂足，且，所得的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，覺得半徑的一種圓，截面是一種圓面. 球面被通過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不通過球心的平面截得的圓叫做小圓 兩點(diǎn)的球面距離：球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是通過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，我們把這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離.(為球心角的弧度數(shù)). 球的表面積和體積公式：，. （二）典例分析： 問題1．（遼寧）棱長為的正方體，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的 八面體的體積為 已知一種正四周體和一種正八面體的棱長相等且為，把它們拼起來，使一種表面重疊，所得的多面體有多少個(gè)面？ 問題2．(天津）一種長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一種頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為，則此球的表面積為 (全國Ⅰ文)正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)都在同一種球面上，則該球的體積為 （江西文）四周體的外接球球心在上，且，， 在外接球面上兩點(diǎn)、間的球面距離是 （陜西）水平桌面上放有個(gè)半徑均為的球，且相鄰的球都相切(球心的連線構(gòu)成正方形).在這個(gè)球的上面放個(gè)半徑為的小球，它和下面?zhèn)€球正好都相切，則小球的球心到水平桌面的距離是 問題3． （四川）設(shè)球的半徑是，、、是球面上三點(diǎn)，已知到、兩點(diǎn)的球面距離都是，且二面角的大小為，則從點(diǎn)沿球面經(jīng)、兩點(diǎn)再回到點(diǎn)的最短距離是 問題4．三棱錐的兩條棱，其他各棱長均為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑和外接球半徑. 問題5．已知球的半徑為，在球內(nèi)作一種內(nèi)接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為什么值時(shí)，它的側(cè)面積最大?側(cè)面積的最大值是多少? （三）課后作業(yè)： 正方體、正多面體、凸多面體、簡樸多面體是什么關(guān)系？ 已知凸多面體每個(gè)面都是五邊形，每個(gè)頂點(diǎn)均有三條棱相交，試求該凸多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù). 一種廣告氣球被一束入射角為的平行光線照射，其投影是一種長半軸為的橢圓，則制作這個(gè)廣告氣球至少需要的面料是 在球面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，如果、、兩兩互相垂直，且，那么這個(gè)球面的面積是 北緯的圓把北半球面積分為兩部分，這兩部分面積的比為 已知過球面上、、三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半， 且，則球面面積是 正八面體的相鄰兩個(gè)面所成二面角的大小為 （四）走向高考： （陜西）一種正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一種大圓上，則該正三棱錐的體積是　 （遼寧）若一種底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一種平面上，則此球的體積為 （全國Ⅱ）一種正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一種直徑為的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為，那么該棱柱的表面積為 （湖南）長方體ABCD－A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是( ) A.2 B. C. D. （四川）已知正四棱柱的對(duì)角線的長為，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于 （海南）一種六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一種球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為 （山東）右圖是一種幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ） 俯視圖 正(主)視圖 側(cè)(左)視圖 2 3 2 2 A． B． C． D．