蘇錫常鎮(zhèn)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案()

-蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)狀況調(diào)研（一） 數(shù)學(xué)Ⅰ試題 .3 一、填空題：本大題共14個(gè)小題，每題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上. 1.已知集合，，則集合 ． 2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則 ． 3.雙曲線的漸近線方程為 ． 4.某中學(xué)共有人，其中高二年級(jí)的人數(shù)為.現(xiàn)用分層抽樣的措施在全校抽取人，其中高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為，則 ． 5.將一顆質(zhì)地均勻的正四周體骰子（每個(gè)面上分別寫有數(shù)字，，，）先后拋擲次，觀測(cè)其朝下一面的數(shù)字，則兩次數(shù)字之和等于的概率為 ． 6.如圖是一種算法的流程圖，則輸出的值是 ． 7.若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則它的體積為 ． 8.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則 ． 9.已知，，且，則的最小值是 ． 10.設(shè)三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則 ． 11.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底）.若函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范疇為 ． 12.在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，已知，，，則 ． 13.已知直線：與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，圓：上有且僅有一種點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值集合為 ． 14.若二次函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范疇為 ． 二、解答題：本大題共6小題，合計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過(guò)程或演算環(huán)節(jié). 15.已知向量，. （1）若角的終邊過(guò)點(diǎn)，求的值； （2）若，求銳角的大小. 16.如圖，正三棱柱的高為，其底面邊長(zhǎng)為.已知點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上接近的三等分點(diǎn). 求證：（1）平面； （2）平面. 17.已知橢圓：通過(guò)點(diǎn)，，點(diǎn)是橢圓的下頂點(diǎn). （1）求橢圓的原則方程； （2）過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩直線，與直線分別相交于，兩點(diǎn)，已知，求直線的斜率. 18.如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑為，是圓心，且.在上有一座欣賞亭，其中.籌劃在上再建一座欣賞亭，記. （1）當(dāng)時(shí)，求的大??； （2）當(dāng)越大，游客在欣賞亭處的欣賞效果越佳，求游客在欣賞亭處的欣賞效果最佳時(shí)，角的正弦值. 19.已知函數(shù)，. （1）若，，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范疇； （2）若，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù). ①求實(shí)數(shù)的值； ②當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域. 20.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，且. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）對(duì)于正整數(shù)，，，已知，，成等差數(shù)列，求正整數(shù)，的值； （3）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和是，且滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，均有等式成立.求滿足等式的所有正整數(shù). -蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)狀況調(diào)研（一） 數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題） 21.【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做兩題，每題10分，合計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字闡明、證明過(guò)程或演算環(huán)節(jié). A. 選修4-1：幾何證明選講 如圖，是圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且滿足. （1）求證：； （2）若，求線段的長(zhǎng). B. 選修4-2：矩陣與變換 已知矩陣，，列向量. （1）求矩陣； （2）若，求，的值. C. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，已知圓通過(guò)點(diǎn)，圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，求圓的極坐標(biāo)方程. D. 選修4-5：不等式選講 已知，都是正數(shù)，且，求證：. 【必做題】第22題、第23題，每題10分，合計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字闡明、證明過(guò)程或演算環(huán)節(jié). 22.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，垂直于底面，，點(diǎn)為線段（不含端點(diǎn)）上一點(diǎn). （1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成角的正弦值； （2）已知二面角的正弦值為，求的值. 23.在具有個(gè)元素的集合中，若這個(gè)元素的一種排列（，，…，）滿足，則稱這個(gè)排列為集合的一種錯(cuò)位排列（例如：對(duì)于集合，排列是的一種錯(cuò)位排列；排列不是的一種錯(cuò)位排列）.記集合的所有錯(cuò)位排列的個(gè)數(shù)為. （1）直接寫出，，，的值； （2）當(dāng)時(shí)，試用，表達(dá)，并闡明理由； （3）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：為奇數(shù). -蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)狀況調(diào)研（一） 數(shù)學(xué)Ⅰ試題參照答案 一、填空題 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答題 15.解：（1）由題意，， 因此 . （2）由于，因此，即，因此， 則，對(duì)銳角有，因此， 因此銳角. 16.證明：（1）連結(jié)，正三棱柱中，且，則四邊形是平行四邊形，由于點(diǎn)、分別是棱，的中點(diǎn)，因此且， 又正三棱柱中且，因此且，因此四邊形是平行四邊形，因此，又平面，平面， 因此平面； （2）正三棱柱中，平面， 平面，因此， 正中，是的中點(diǎn)，因此，又、平面，， 因此平面，又平面， 因此， 由題意，，，，，因此， 又，因此與相似，則， 因此， 則，又，，平面， 因此平面. 17.解：（1）由題意得，解得， 因此橢圓的原則方程為； （2）由題意知，直線，的斜率存在且不為零， 設(shè)直線：，與直線聯(lián)立方程有，得， 設(shè)直線：，同理， 由于，因此， ①，無(wú)實(shí)數(shù)解； ②，，，解得， 綜上可得，直線的斜率為. 18.解：（1）設(shè)，由題，中，，， 因此，在中，，， 由正弦定理得， 即，因此， 則，因此， 由于為銳角，因此，因此，得； （2）設(shè)，在中，，， 由正弦定理得，即， 因此， 從而，其中，， 因此， 記，，； 令，，存在唯一使得， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減， 因此當(dāng)時(shí)，最大，即最大， 又為銳角，從而最大，此時(shí). 答：欣賞效果達(dá)到最佳時(shí)，的正弦值為. 19.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)，，， ∵恒成立，∴恒成立，即. 令，則， 令，得，∴在上單調(diào)遞增， 令，得，∴在上單調(diào)遞減， ∴當(dāng)時(shí)，. ∴. （2）①當(dāng)時(shí)，，. 由題意，對(duì)恒成立， ∴，∴，即實(shí)數(shù)的值為. ②函數(shù)的定義域?yàn)? 當(dāng)，，時(shí)，. ，令，得. - + 極小值 ∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. 對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. ∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. 故函數(shù)的值域?yàn)? 20.解：（1）由得，兩式作差得，即. ，，因此，，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列， 因此； （2）由題意，即， 因此，其中，， 因此，， ，因此，，； （3）由得， ， ， ， 因此，即， 因此， 又由于，得，因此， 從而，， 當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)； 下面證明：對(duì)任意正整數(shù)均有， ， 當(dāng)時(shí)，，即， 因此當(dāng)時(shí)，遞減，因此對(duì)任意正整數(shù)均有； 綜上可得，滿足等式的正整數(shù)的值為和. -蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)狀況調(diào)研（一） 數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）參照答案 21.【選做題】 A. 選修4-1：幾何證明選講 證明：（1）連接，.由于是圓的直徑，因此，. 由于是圓的切線，因此， 又由于，因此， 于是，得到， 因此，從而. （2）解：由及得到，.由切割線定理，，因此. B. 選修4-2：矩陣與變換 解：（1）； （2）由，解得，又由于，因此，. C. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：在中，令，得， 因此圓的圓心的極坐標(biāo)為. 由于圓的半徑， 于是圓過(guò)極點(diǎn)，因此圓的極坐標(biāo)方程為. D. 選修4-5：不等式選講 證明：由于，都是正數(shù)， 因此，， ，又由于， 因此. 【必做題】 22.解：（1）覺(jué)得原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，則，，，，，； 因此，，， 設(shè)平面的法向量，則， 即，解得，因此平面的一種法向量， ， 則與平面所成角的正弦值為. （2）由（1）知平面的一種法向量為，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量，則，即，解得，因此平面的一種法向量， 由題意得， 因此，即， 由于，因此，則. 23. 解：（1），， ， ， （2）， 理由如下： 對(duì)的元素的一種錯(cuò)位排列（，，…，），若，分如下兩類： 若，這種排列是個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共有個(gè)； 若，這種錯(cuò)位排列就是將，，…，，，…，排列到第到第個(gè)位置上，不在第個(gè)位置，其她元素也不在原先的位置，這種排列相稱于個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共有個(gè)； 根據(jù)的不同的取值，由加法原理得到； （3）根據(jù)（2）的遞推關(guān)系及（1）的結(jié)論，均為自然數(shù)； 當(dāng)，且為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，從而為偶數(shù)， 又也是偶數(shù)， 故對(duì)任意正奇數(shù)，有均為偶數(shù). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（其中）為奇數(shù). 當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)； 假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即是奇數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，注意到為偶數(shù)，又是奇數(shù)，所覺(jué)得奇數(shù)，又為奇數(shù)，因此，即結(jié)論對(duì)也成立； 根據(jù)前面所述，對(duì)任意，均有為奇數(shù)。