專(zhuān)轉(zhuǎn)本高數(shù) 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)

機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束1第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2【例】【例】xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù).)0(1ln xxxxln是是x1在在區(qū)區(qū)間間),0(內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù).1.【定義】【定義】如如果果在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù))(xF的的 即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱(chēng)稱(chēng)為為)(xf 導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間 I內(nèi)內(nèi)的的 原原函函數(shù)數(shù).一、原函數(shù)與不定積分的概念機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束3【原函數(shù)存在定理】：【原函數(shù)存在定理】：簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù) (存在性存在性).其證明將在其證明將在下一章中討下一章中討論論【問(wèn)題】【問(wèn)題】(1)原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？【例】【例】xxcossin xCxcossin （為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？).()(都都有有使使),(內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間那那么么內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),在在區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)xfxFIxxFIIxf ,)(【問(wèn)題】【問(wèn)題】滿(mǎn)足何種條件的函數(shù)有原函數(shù)？滿(mǎn)足何種條件的函數(shù)有原函數(shù)？機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束4【關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明】【關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明】（1）若）若 ，則對(duì)于任意常數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF)(都是都是)(xf的原函數(shù)的原函數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf則則0)()(CxGxF （為某個(gè)常數(shù)）為某個(gè)常數(shù)）0C【證】【證】)()()()(xGxFxGxF 0)()(xfxf由由P129 定理可知定理可知0)()(CxGxF （為某個(gè)常數(shù)）為某個(gè)常數(shù)）0C機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束5任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)2.【不定積分的定義】【不定積分的定義】在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意 常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù) 稱(chēng)稱(chēng)為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的 不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束6【例【例1】求求.5dxx【解】【解】,656xx .665Cxdxx 【解】【解】【例【例2】求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束7【例【例3】設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.【解】【解】設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過(guò)點(diǎn)（由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）,1 C所求曲線方程為所求曲線方程為.12 xy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束8函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱(chēng)稱(chēng)為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF【結(jié)論】【結(jié)論】微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的的.3.【不定積分的幾何意義】【不定積分的幾何意義】CxF)(4.【不定積分與微分的關(guān)系】【不定積分與微分的關(guān)系】Flash動(dòng)畫(huà)演示動(dòng)畫(huà)演示機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束9【實(shí)例】【實(shí)例】xx 11.11Cxdxx 【啟示】【啟示】能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？【結(jié)論】【結(jié)論】既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1(二、基本積分表機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束10【基本積分表【基本積分表 】kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù));););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)3(Cxxdx【說(shuō)明】【說(shuō)明】,0 x,ln Cxxdx )ln(,0 xx,1)(1xxx ,)ln(Cxxdx,|ln Cxxdx、兩式合并兩式合并機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束11 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8(xdx2sec;tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束12 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsh)14(;chCx xdxch)15(;shCx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束13【例【例4】求積分求積分.2dxxx【解】【解】dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2 2）Cxdxx 11 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束14 dxxgxf)()(;)()(dxxgdxxf【證】【證】dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（2 2）此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況三、不定積分的性質(zhì)右端含有積分號(hào)，故有任意常數(shù)右端含有積分號(hào)，故有任意常數(shù)【注注】（1）即和的積分等于積分的和；即和的積分等于積分的和；1.【可加性可加性】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束15 dxxkf)(.)(dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k(思考：為什么思考：為什么？)0 k【特別注意】【特別注意】dxxgxf)()(dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()(2.【數(shù)乘性數(shù)乘性】【注注】可加性和數(shù)乘性統(tǒng)稱(chēng)可加性和數(shù)乘性統(tǒng)稱(chēng)線性性質(zhì)線性性質(zhì).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束16【例【例5】求積分求積分【解】【解】.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 性質(zhì)（性質(zhì)（1）逐項(xiàng)積分）逐項(xiàng)積分機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束17【例【例6】求積分求積分【解】【解】.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束18【例【例7】求積分求積分【解】【解】.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束19又如教材又如教材【例【例13】dxxx241 求求積積分分【解】【解】dxxx241 dxxx24111 dxxx)111(22Cxxx arctan33變形化為和式變形化為和式機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束20【例【例8】求積分求積分【解】【解】.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 【說(shuō)明】【說(shuō)明】以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分公式等變形，才能使用基本積分公式.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束21又如又如(1)(1)xdx2tan先三角恒等變換先三角恒等變換1sectan22 xx再逐項(xiàng)積分再逐項(xiàng)積分 dxx2sin )2(2先三角恒等變換先三角恒等變換)cos1(212sin2xx 再逐項(xiàng)積分再逐項(xiàng)積分 dxxx2cos2sin1 )3(22 dxx2)2sin(1 xdx2csc4Cx cot4等等等等機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束22【解】【解】,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx ,5)0(y,6 C所求曲線方程為所求曲線方程為.6costan xxy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束23基本積分表基本積分表(1)(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxF 不定積分的概念：不定積分的概念：CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束24【思考題】【思考題】符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 0,10,00,1sgn)(xxxxxf在在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？?jī)?nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？),(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束25【思考題解答】【思考題解答】不存在不存在.假設(shè)有原函數(shù)假設(shè)有原函數(shù))(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x處處不不可可微微，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤所以所以 在在 內(nèi)不存在原函數(shù)內(nèi)不存在原函數(shù).),()(xf結(jié)論結(jié)論每一個(gè)含有每一個(gè)含有第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)(可去型或可去型或跳躍型間斷點(diǎn)跳躍型間斷點(diǎn))的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù).