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International Journal of Infrared and Millimeter Waves, Vol. 13, No. 9, 1992 QUASI-OPTICAL MIRRORS MADE BY A CONVENTIONAL MILLING MACHINE Daniel Boucher, Jean Burie, Robin Bocquet, and Weidong Chen Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne Universitd des Sciences et Technologies de Lille 59655 Villeneuve d'Ascq, France Received June 1, 1992 Introduction In the submillimeter-wave or far-infrared domain, transmissive optics have significantly higher losses than reflective optics. It results from the relatively high absorption of dielectric materials and from the difficulty of manufacturing anti-reflection layers. For Gaussian beam transformation, metal reflector mirrors provide usually a better solution. Reflective focusing mirrors offer additional advantages of high power handling capability and broad band operation. N. R. ERICKSON presented some years ago a very elegant method needing only a conventional milling machine to cut off-axis mirrors \[1\]. This method has been exploited by a lot of workers in the far-infrared field and remains very popular. It allows the development of optical components at moderate cost and is free from the step effect inherently associated to numerical milling processes. In this paper, we present some modifications and corrections to the original ERICKSON's method. Applications to off-axis parabolic and ellipsoidal mirrors are examined in details. By a careful estimation of the error function and some modifications to the method, it is shown that diffraction-limited mirrors of larger size (i.e. of lower focal ratio) than expected in the original work can easily be manufactured. Realisation of the conic section Using ERICKSON's notations, the conical section generated by a milling machine is described by: r2(z)=(ztan0+S)2+{\[R2-(z/cosO)2\]l/2+d} 2 ( 1 ) 1395 0195-9271/92/0900-1395506.50/0 9 1992 Plenum Publishing Corporation 1396 Boucher et al. Fig. I represents the milling machine configuration . The mill head is tipped from usual vertical axis by an angle (90~ The axis of the rotary table is defined as the Z axis; the distance between the plane of the cutter and the rotary table axis is measured as S in the Z=0 plane; d is the distance between the vertical plane containing the mill axis and the axis of the rotary table arm, and R is the radius of the cutter orbit. In any case the focal point is located at Z=0 on the z axis. Z z=o ~< 90 ~ '"..~ mill axis cutter ~rr~ piece to cut side view rotary table arm rotarg table axis mill axis projection | i 1" top view Fig. I Schematic of the milling machine setup Equation (1) is double valued, but as will be seen below only "-d" corresponds to a true conical function. The z series expansion around zero point is: r2(z)=\[S2+(R-d)2\]+(2Stane)z+\[(d/Rcos2e)-l\]z2+ (d/4 R3cos4O)z4+(d/8 R5cos6O)z6+ .... + e21n2{\[k25/16(Rcose)2(k-1)\]-1}z2 k (2) where e2=d/(Rcos2e) and k=2, 3 ..... n. This series can be compared with the general expression of conical functions expressed in the focal representation \[2\]: Quasi.Oplical Mirrors 1397 r2(z)=e2h2+(2e2h)z+(e2-1)z 2 (3) This expression confirms the previously mentionned observation done by ERICKSON relative to the sign of d. In (3), e is the so called excentricity parameter, the value of which is: e=l for a parabola el for a hyperbola and h fixes the position of the conic curve directrix. It clearly appears that a surface of revolution can be cutted with an accuracy limited by the sum E of higher order terms in the development function, i.e.: oo E= ~/_,En (4) n=2 where En=e21n2{\[n25/16( Rcos0)2(n-1 )\]-1 }z 2 n The convergence of this error function can be easily demonstrated for z
3. losses (%) 2. 1.5. .5. 0 0 2 ! i 4 6 f/D Fig. IV Variation in mirror off-axis losses with f/D 1402 Boucher et aL Conclusion A modified method for machining off-axis mirrors has been described. By a careful choice of machine parameters, revolution surface can be generated with a sufficient accuracy for ;L>15 llm. A large set of spherical, paraboloidal and ellipsoidal mirrors, whose focal lengths are comprised between 50 mm and 900 mm, have been machined using the method. Focal ratio improving the uppest limit expected by ERICKSON have been manufactured. These optical devices have essentially been used in the development of our far-infrared heterodyne spectrometer. Due to the rather low source power achievable in these kind of intruments the greatest care has to be taken in the design of optical lines. The whole system will be described in a separate paper. It will be seen that powers losses in beam propagation have reached very low absolute levels, rarely exceeding 1 or 2%. R~f~rences \[1\] N.R. ERICKSON, "Off-axis mirror made using a conventional milling machine", Appl. Opt., 18, 956-957, 1979 \[2\] G. GIRARD and A. LENTIN, "G~om~trie/M~canique", Hachette, 1964 \[3\] P.F. GOLDSMITH, "Quasi-optical techniques at millimeter and submillimeter wavelengths", Infrared and millimeter waves, 6, ch.5, 1982 \[4\] J. RUZE, "Antenna tolerance theory-A review", IEEE Prec., 54, 633-640, 1966 \[ 5 \] J.A. MURPHY, "Distortion of a simple Gaussian beam on reflection from off-axis ellipsoidal mirrors", Int. J. Infrared and Millimeter Waves, 8, 1165-1187, 1987 \[ 6 \] J. LESURF, "Millimetre-Wave Optics, Devices & Systems", Adam Hilger, Bristol and New York, 1990 用常規(guī)銑床制造準(zhǔn)光鏡
Daniel Boucher, Jean Burie, Robin Bocquet, and Weidong Chen
龔仁華譯
摘 要：這里描述了一種加工鏡子的改進方法，仔細(xì)的選擇機器的參數(shù)和運行的表面參數(shù)可以生產(chǎn)出具有足夠的λ>15的精度。大量的焦距在50毫米到900毫米之間的球形,拋物線形及橢圓形鏡子是使用這種方法加工的。埃里克森已經(jīng)研究出來了怎么把焦距比提到最高的方法。而這些光學(xué)儀器,基本上是用于研制我們的遠(yuǎn)紅外光譜儀。使用相當(dāng)?shù)偷脑磩恿涂梢栽谶@類儀器上完成最精確的光線設(shè)計。整個系統(tǒng)將被描述成為一個獨立的部分，人們將看到,光束傳播時的功率損耗已經(jīng)達(dá)到非常低的絕對水平,基本上不會超過1 - 2%。
關(guān)鍵詞：銑床：離軸角
1.介紹
在亞毫米波或者是遠(yuǎn)紅外領(lǐng)域，光線的傳遞比光線的反射的損耗要高出很多。主要是由于傳播的介質(zhì)材料具有較高的吸收作用和制造增透層要求較高。從高斯光束轉(zhuǎn)換方面來說，使用金屬反射鏡通常是一個很好的解決辦法。反射聚焦鏡在大功率處理的能力和寬頻帶操作上有額外的優(yōu)勢。
N.R·埃里克森在若干年前提出了一個很科學(xué)解決方法，他只用一臺傳統(tǒng)銑床來加工離軸鏡。這種方法已經(jīng)被許多工人在遠(yuǎn)紅外領(lǐng)域中使用，至今仍然很受歡迎。它使光學(xué)器件的生產(chǎn)成本適中,而且不影響銑削過程中相關(guān)步驟中固有的數(shù)值。在本文中,我們應(yīng)用拋物線原理和橢圓球面鏡檢查的細(xì)節(jié)對原來N.R·埃里克森的方法提出了一些調(diào)整和改進。通過仔細(xì)估算誤差函數(shù)再加以修改得到的結(jié)果表明：大尺寸衍射限制的鏡子(即焦距比小的鏡子)可以比原來工作預(yù)期的更容易制造。
2.完成圓錐曲線
使用N.R·埃里克森的方法,確定圓錐曲線銑床的制造的表達(dá)式：
r(z)=(ztanθ+S)+{[R-(z/cosθ)]±d} ( 1 )
下圖表示銑床的配置。銑頭與常規(guī)垂直軸的夾角為（90°－θ）?；剞D(zhuǎn)臺的軸線被稱為Z軸，在Z=0的平面上，平面上測得的S長度就是刀具和回轉(zhuǎn)臺軸線的距離。d的長度就是在垂直面上銑削軸線與回轉(zhuǎn)臺手臂的軸線之間的距離，R表示刀具切削軌道的半徑。在任何情況下焦點都位于Z軸上的Z=0點。
俯視圖
光軸投影
旋轉(zhuǎn)臺軸線
旋轉(zhuǎn)臺手臂
部分切削
刀具
側(cè)視視圖
光軸
圖Ⅰ：銑床機構(gòu)原理圖
方程(1)得到的是雙重值,但我們可以看到下面只有“-d” 對應(yīng)一個真正的圓錐形函數(shù)。z級數(shù)展開大概為零，那么我們要解決的問就是：
r(z)=[S+(R-d)]+(2Stane)z+[(d/Rcose)-l]z+(d/4 Rcosθ)z+(d/8 Rcosθ)z+ ....+ e1n2{[k(Rcose)] }z ( 2 )
其中e=d/(Rcosθ)，K=1,2,3…..n
下面這個函數(shù)可以與在（2）表達(dá)式中圓錐函數(shù)的一般表達(dá)式相比較：
r(z)=eh+(2eh)z+(e-1)z ( 3 )
這個表達(dá)式用來證實前面提到由N.R·埃里克森得出的關(guān)于d的表達(dá)式的觀點。
在(3)中，e就是所謂偏心距參數(shù),它的作用為：
e=1的時候是拋物線
e<1的時候是橢圓
e>1的時候是雙曲線
h確定圓錐曲線準(zhǔn)線的位置。
式中清楚地表明一個旋轉(zhuǎn)曲面可以被分為一個確定的數(shù)和發(fā)散函數(shù)高次項的總和E。即：
E= （ 4 ）
其中En=e1n2{[n( Rcosθ)]}z
誤差函數(shù)的收斂性就可以很容易地表示為z < Rcoseθ。因此適當(dāng)?shù)倪x擇參數(shù)R,e、D(鏡子尺寸)可以減少加工中的誤差問題。
方程(2)可以用來表示機械參數(shù)中所有的圓錐曲線。可以用三個同步的非線性方程解決。
e=d/(Rcos2θ) ( 5 )
h=Stanθ/e ( 6 )
eh=S+(R-d) ( 7 )
這可以說明這個方法并不只適用于一種解決方案。
為了確定E函數(shù)的臨界值也可以添加一些額外的約束。在簡單考慮的基礎(chǔ)上可以獲得一個理論上的估計值。
對于衍射限制的聚焦鏡，表面粗糙度的均方值的不得超過λ/ 50。最大的表面誤差要求小于λ/17，這樣才能更好的達(dá)到其理想的性能。雖然這個問題不同于目前所說這種情況,表面誤差并不是隨機分布的，在衍射限制的條件下，可以用等效限制的方法來進行合理的運算。其中最大誤差用△r來表示。
△r =∣r(true conic curve)-r(actual generated curve)∣ ( 8 )
屈服于
△r= E/2r = Ez/2r 其中 E=d/(4Rcosθ) ( 9 )
根據(jù)衍射限制的條件我們可以得到：
△r< k/17 或者 E < 2λf/D （10）
其中D是指鏡子的直徑。
(5),(6),(7)和(9)給出了四個方程式，結(jié)合機械參數(shù)和鏡子的參數(shù)可以得出：
4Eh=[( 1 +tanθ-e)tanθ/(1 +tanθ)(tanθ-e) ] ( 11)
S=eh/tanθ (12)
R=e/(2coseθE) (12)
d=Recosθ (14)
這個問題就可以被精確地解決了。
由給定的方程式可以確定Eo，e和h，θ的值。同樣也可以得到S，R和d的值。
方程(13)可以看出，R的值是越大越好。但是在實際情況下它的數(shù)值是有限制的,它受到機械本身和機械振動的約束。一般在我們使用的機械系統(tǒng)中R = 100毫米是一個最大的值。
在這方面還有另外一點需要留意。我們注意到在當(dāng)Z=0的時候會獲得一個無效的廓形誤差,相應(yīng)的,對于一個拋物線,就是90°的離軸鏡。
假如橢圓表面的無效誤差明顯的符合相同的值Z=0。我們將會在下面看到更多在這種情況下的詳細(xì)說明，這代表一個特定的離軸的情況。偏心距參數(shù)e用來確定離軸角。在90°離軸的情況下不能達(dá)到。
在他的原著中對于任何加工型材任何離軸的情況的可能性，N.R·埃里克森都做出了結(jié)論。這項結(jié)論并不適用需要達(dá)到最高的輪廓精度的情況。
3.軸偏離90°的拋物面鏡子
作為第一個例子,我們將討論拋物面鏡子，100毫米90°焦距的時候,長軸固定,有限衍射為2500千兆赫?？山邮艿姆逯靛e誤是k / 17,接近6微米。
對于拋物面：
e=1
h=f(1+cosφ)
其中f是鏡子的實際焦距，φ是離軸角。
對于f / 5拋物面約束(10)得到：
E<1.2510
由方程(11)可得, θ可以取47.5°。S，R，d的值就可以通過求解非線性方程(12)，(13)，(14)來確定，可以得到：
S=91.5mm，R=74.1mm,d=34.0mm
使用這些值可以得到一個誤差函數(shù)(8)的圖.II。這樣我們就可以得出結(jié)論：這個裝置在直徑20為毫米，對應(yīng)f / D = 5的時候?qū)⑦_(dá)到衍射極限。
△r(um)
Z(mm)
圖 II 100毫米拋物面鏡子焦距的誤差函數(shù)
4.橢球面鏡
從ABCD定律來看橢圓球面鏡子可以看作是一個簡單聚焦元件，其等效焦距f由下面得到：
f=f1f2/(f1+f2)
fl、f2分別是焦點和橢球面截面的中心點。(圖.III)。
焦點是總是位于鏡子截面的中心。所以對離軸角小于90°。偏心距由廈門可以得到：
e=sinφ/(1+cosφ)
這樣正如上文所言。fl-f2這對參數(shù)完全確定了離軸角φ的值。
參數(shù)可表示為：
f1=f(1+cosφ),h=f1/sinφ
E<2λf1/D
現(xiàn)在我討論橢圓球面鏡子的例子。相關(guān)的參數(shù)：等效焦距f= 100毫米,離軸角近似等于70°(即f1 = 134毫米)和f / 5，有限的衍射達(dá)到2500千兆赫,如：E< 1.6710。
求解非線性方程(11),(12),(13),(14)我們可以得到：
θ=35.9° R=43.6 mm, S=130.7 mm, d=14.3 mm
圖.III橢圓球面鏡子
對于有給定的焦距和相同有限的衍射條件的情況，一個橢圓球面鏡子比拋物面鏡子的R要短。這意味著，一個R = 100毫米f / 5的橢圓球面鏡子有限的衍射的波長將短于15微米或有限衍射在2500千兆赫時系統(tǒng)的衍射極限將為f / d = 2.9。
因此,在相同的機械約束的條件下,橢圓系統(tǒng)等效焦距的制造精度將高于拋物面形。在這兩種情況下,離軸角有一個特定值，90°在之前，φ = cos(fl / f2)在之后。
5球形鏡子
作為一個眾所周知的特例，當(dāng)d = 0時方程(1)就是一個球形鏡子。對機械參數(shù)的選擇可以用下面這種方法：
d=0, 0=0, S=(4f-R)
其中R是翼型刀的半徑，它的選取一般為2R>D。
6討論
性能受到扭曲影響的離軸鏡(Ld)或者受到正交偏振影響的離軸鏡(Lc):
Ld=ωmtan(φ/2)/8f
Lc=ωmtan(φ/2)/4f
其中ωm是鏡面的光束半徑,φ是鏡子離軸角。考慮到鏡子光圈和光線截斷的影像,要得到耦合效率約99%的一個基本高斯光束需要鏡面的直徑至少大于光束半徑的三倍。我們接下來可以得到：
Ld=tan(φ/2)/128(f/D)
Lc=tan(φ/2)/64(f/D)
對于由90°的離軸面鏡產(chǎn)生的基本高斯光束其離軸損失與焦距比的關(guān)系在下面的圖.IV中表示。這些損失在f / D>3的時候明顯可以忽略不計。
損失(%)
f/D
圖.IV鏡子離軸損失和f/ D的變化關(guān)系
7.結(jié)論
這里描述了一種加工鏡子的改進方法，仔細(xì)的選擇機器的參數(shù)和運行的表面參數(shù)可以生產(chǎn)出具有足夠的λ>15的精度。大量的焦距在50毫米到900毫米之間的球形,拋物線形及橢圓形鏡子是使用這種方法加工的。埃里克森已經(jīng)研究出來了怎么把焦距比提到最高的方法。而這些光學(xué)儀器,基本上是用于研制我們的遠(yuǎn)紅外光譜儀。使用相當(dāng)?shù)偷脑磩恿涂梢栽谶@類儀器完成最精確的光線設(shè)計。整個系統(tǒng)將被描述成為一個獨立的部分，人們將看到,光束傳播時的功率損耗已經(jīng)達(dá)到非常低的絕對水平,基本上不會超過1 - 2%。
8.參考文獻(xiàn)：
[1].N.R.ERICKSON, "Off-axis mirror made using a conventional milling machine", Appl. Opt.,18,956-957,1979
[2].G.GIRARD and A. LENTIN, "G~om~trie/M~canique", Hachette, 1964
[3].P.F.GOLDSMITH,"Quasi-optical techniques at millimeter and submillimeter wavelengths",Infrared and millimeter waves,6,ch.5,1982
[4].J.RUZE, "Antenna tolerance theory-A review",IEEE Prec.,54, 633-640,1966
[5].J.A.MURPHY,"Distortion of a simple Gaussian beam on reflection from off-axis ellipsoidal mirrors",Int.J.Infrared and Millimeter Waves,8,1165-1187,1987
[6].J.LESURF,"Millimetre-Wave Optics,Devices & Systems",Adam Hilger, Bristol and New York,1990
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