三角函數(shù) (2)

三角函數(shù) 1、任意角的概念與弧度制、任意角的三角函數(shù) 2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 3、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 4、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 5、兩角和與差的正弦、余弦及正切公式 6、簡單的三角恒等變換 7、正弦定理和余弦定理和解三角形 1．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．5 解析：選D.由23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0， 解得cos A＝±. ∵A是銳角，∴cos A＝. 又a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴49＝b2＋36－2×b×6×， ∴b＝5或b＝－. 又∵b>0，∴b＝5. 2．若sin ＝，則cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選C.cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝. 3．函數(shù)y＝sin 2x＋2sin2x的最小正周期T為________． 解析：由于y＝sin 2x＋2sin2x＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin＋，∴T＝＝π. 答案：π 4．已知sin 2α＝，則cos2(α＋)＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A.∵sin 2α＝，∴cos2(α＋)＝＝＝＝. 5．將函數(shù)y＝sin(2x ＋φ)的圖象沿x軸向左平移 個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能取值為(　　) A. B. C．0 D．－ 解析：選B.y＝sin(2x＋φ)y＝sin[2(x＋)＋φ]＝sin(2x＋＋φ)． 當(dāng)φ＝時，y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，為奇函數(shù)； 當(dāng)φ＝時，y＝sin(2x＋)＝cos 2x，為偶函數(shù)； 當(dāng)φ＝0時，y＝sin(2x＋)，為非奇非偶函數(shù)； 當(dāng)φ＝－時，y＝sin 2x，為奇函數(shù)．故選B. 6．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選C.把條件中的式子兩邊平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sin αcos α＝，所以＝，所以＝，即3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，所以tan 2α＝＝－. 7.設(shè)f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若對任意實數(shù)x都有|f(x)|≤a，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由于f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin，則|f(x)|＝2≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，則a≥2. 答案：[2，＋∞) 8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，則∠B＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin C·sin Bcos A＝sin B，又因為sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，所以sin(A＋C)＝sin B＝.因為a>b，所以∠B＝. 9．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 解析：選B.∵bcos C＋ccos B ＝b·＋c· ＝ ＝＝a＝asin A，∴sin A＝1. ∵A∈(0，π)，∴A＝，即△ABC是直角三角形． 10． 4cos 50°－tan 40°＝(　　) A. B. C. D．2－1 解析：選C.4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－ ＝＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝＝·＝. 11．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，則角C＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因為b＋c＝2a， 所以a＝b，c＝b， 所以cos C＝＝ ＝－.因為C∈(0，π)，所以C＝. 12．設(shè)當(dāng)x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos θ＝________. 解析：y＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)， 設(shè)＝cos α，＝sin α， 則y＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)． ∵x∈R，∴x－α∈R，∴ymax＝. 又∵x＝θ時，f(x)取得最大值， ∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝. 又sin2θ＋cos2θ＝1， ∴即cos θ＝－. 答案：－ 13．函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的圖象向右平移個單位后，與函數(shù)y＝sin(2x＋)的圖象重合，則φ＝________. 解析：y＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)＝cos[2(x－)＋φ]的圖象，整理得y＝cos(2x－π＋φ)． ∵其圖象與y＝sin(2x＋)的圖象重合， ∴φ－π＝－＋2kπ， ∴φ＝＋π－＋2kπ， 即φ＝＋2kπ. 又∵－π≤φ<π，∴φ＝. 答案： 14.設(shè)θ為第二象限角，若tan(θ＋)＝，則sin θ＋cos θ＝________. 解析：∵tan(θ＋)＝， ∴＝，解得tan θ＝－. ∴(sin θ＋cos θ)2＝ ＝＝＝. ∵θ為第二象限角，tan θ＝－， ∴2kπ＋<θ<2kπ＋π， ∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－. 答案：－ 1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (1)求B； (2)若sin Asin C＝，求C. 解：(1)因為(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac， 所以a2＋c2－b2＝－ac. 由余弦定理得cos B＝＝－， 因此B＝120°. (2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A＋C)＋2sin Asin C＝＋2×＝， 故A－C＝30°或A－C＝－30°， 因此C＝15°或C＝45°. 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值； (2)求f(x)在區(qū)間[π，]上的最大值和最小值． 解：(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－·－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx ＝－sin(2ωx－)． 因為圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，又ω>0，所以＝4×. 因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin(2x－)． 當(dāng)π≤x≤時，≤2x－≤. 所以－≤sin(2x－)≤1. 因此－1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間[π，]上的最大值和最小值分別為，－1. 3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)， 故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B. 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac. 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos. 又a2＋c2≥2ac， 故ac≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時，等號成立． 因此△ABC面積的最大值為＋1. 4．設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈[0，]． (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 解：(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈[0，]，從而sin x＝，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋， 當(dāng)x＝∈[0，]時，sin(2x－)取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)， 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝， 所以ac＝9，解得a＝3，c＝3. (2)在△ABC中，sin B＝＝， 由正弦定理得sin A＝＝. 因為a＝c，所以A為銳角． 所以cos A＝＝. 因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝. 6．在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是 a，b，c，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大?。? (2)若△ABC的面積S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值． 解：(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得 2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0. 解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)． 因為0<A<π，所以A＝. (2)由S＝bcsin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20. 又b＝5，所以c＝4. 由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21， 故a＝. 又由正弦定理得，sin Bsin C＝sin A·sin A＝·sin2A＝×＝. 7．已知函數(shù)f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解：(1)f(x)＝－sin 2x·cos－cos 2x·sin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因為f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，又f(0)＝－2，f＝2，f＝2，故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為－2. 8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影． 解：(1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 則cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－. 又0<A<π，則sin A＝. (2)由正弦定理，有＝， 所以sin B＝＝. 由題意知a>b，則A>B，故B＝. 根據(jù)余弦定理，有 (4)2＝52＋c2－2×5c×， 解得c＝1或c＝－7(負(fù)值舍去)． 故向量在方向上的投影為||cos B＝. 9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc. (1)求A； (2)設(shè)a＝，S為△ABC的面積，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此時B的值． 解：(1)由余弦定理得cos A＝＝＝－. 又因為0<A<π，所以A＝. (2)由(1)得sin A＝.又由正弦定理及a＝得 S＝absin C＝··asin C＝3sin Bsin C， 因此，S＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C)＝3cos(B－C)． 所以，當(dāng)B＝C，即B＝＝時，S＋3cos Bcos C取最大值3. 10． 設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x＋sin(x＋)． (1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合； (2)不畫圖，說明函數(shù)y＝f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到． 解：(1)因為f(x)＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝sin(x＋)， 所以當(dāng)x＋＝2kπ－(k∈Z)，即x＝2kπ－(k∈Z)時，f(x)取得最小值－. 此時x的取值集合為{x|x＝2kπ－，k∈Z}． (2)先將y＝sin x的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)，得y＝sin x的圖象；再將y＝sin x的圖象上所有的點向左平移個單位，得y＝f(x)的圖象 11．已知函數(shù)f(x)＝sin(x－)＋cos(x－)，g(x)＝2sin2. (1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合． 解：f(x)＝sin(x－)＋cos(x－) ＝sin x－cos x＋cos x＋sin x ＝sin x， g(x)＝2sin2＝1－cos x. (1)由f(α)＝得sin α＝. 又α是第一象限角，所以cos α>0. 從而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝. (2)f(x)≥g(x)等價于sin x≥1－cos x， 即sin x＋cos x≥1，于是sin(x＋)≥， 從而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z. 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大??； (2)若a＋c＝1，求b的取值范圍． 解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0. 因為sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0. 又cos B≠0，所以tan B＝. 又0<B<π，所以B＝. (2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B. 因為a＋c＝1，cos B＝，有b2＝32＋. 又0<a<1，于是有≤b2<1，即有≤b<1. 選做題： 1.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，則tan θ＝________. [解析]　法一：因為sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝－. 由根與系數(shù)的關(guān)系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的兩根，所以x1＝，x2＝－. 又sin θcos θ＝－＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0. 所以sin θ＝，cos θ＝－. 所以tan θ＝＝－. 法二：同法一，得sin θcos θ＝－， 所以＝－. 齊次化切，得＝－， 即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝－. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝＞0，sin θcos θ＝－＜0.所以θ∈(，)，所以tan θ＝－. [答案]?。? 2．已知α，β∈(0，)，且sin α＝，tan(α－β)＝－. (1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． 解：(1)∵α，β∈，從而－＜α－β＜. 又∵tan(α－β)＝－＜0， ∴－＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝. ∵α為銳角，且sin α＝，∴cos α＝. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋× ＝. 3．已知α∈，且sin＋cos ＝. (1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值． 解：(1)因為sin ＋cos ＝， 兩邊同時平方，得sin α＝. 又＜α＜π，所以cos α＝－. (2)因為＜α＜π，＜β＜π. 所以－π＜－β＜－， 故－＜α－β＜. 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－×＋× ＝－. 4．求值：－sin 10°. 解：原式＝－sin 10° ＝－sin 10°· ＝－sin 10°· ＝－2cos 10°＝ ＝ ＝ ＝＝. 5．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2 ，BC邊上的中線AM的長為. (1)求角A和角B的大?。? (2)求△ABC的面積． 解：(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc， 得a2－b2－c2＝－bc， ∴cos A＝＝， 又0＜A＜π，∴A＝. 由sin Asin B＝cos2 ，得sin B＝， 即sin B＝1＋cos C， 則cos C＜0，即C為鈍角， ∴B為銳角，且B＋C＝， 則sin(－C)＝1＋cos C，化簡得cos(C＋)＝－1， 解得C＝，∴B＝. (2)由(1)知，a＝b，由余弦定理得AM2＝b2＋()2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2， 故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝. 11