光學(xué)答案第二章.doc

15 0 有光闌時(shí)，由公式 0 lr R = k = + R l r Rh 1 1 Rh (R+ r0 ) 2 2 解：根據(jù)題意 R = 1m = 1mm l = 500nm R hk 2 = 0.5mm R hk 1 r0 = 1m 當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí)，P 點(diǎn)為極大值； k 為偶數(shù)時(shí)，P 點(diǎn)為極小值。 （2）P 點(diǎn)最亮?xí)r，小孔的直徑為 2r1 = 2 r0l = 0.2828cm 3．波長為 500nm 的單色點(diǎn)光源離光闌 1m，光闌上有一個(gè)內(nèi)外半徑分別為 0.5mm 和 1mm 的透光圓環(huán)，接收點(diǎn) P 離光闌 1m，求 P 點(diǎn)的光強(qiáng) I 與沒有光闌時(shí)的光強(qiáng)度 I0 之比。 k r = 400 5 10 -5 k = 0.1414 kcm cm 代入，得 將r0 = 400cm, l = 5 10 -5 解 ：（ 1）根據(jù)上題結(jié)論 r k = kr0 r 2. 平行單色光從左向右垂直射到一個(gè)有圓形小孔的屏上，設(shè)此孔可以像照相機(jī)光圈那樣 改變大小。問：（1）小孔半徑滿足什么條件時(shí)，才能使得此小孔右側(cè)軸線上距小空孔中心 4m 的 P 點(diǎn)的光強(qiáng)分別得到極大值和極小值；（2）P 點(diǎn)最亮?xí)r，小孔直徑應(yīng)為多大？設(shè)此時(shí)的 波長為 500nm。 r = 0.067cm 將 cm 帶入上式，得 k = 1, r0 = 100cm, l = 4500 10 -8 項(xiàng)，則 略去 k2 l 2 r k = kr0l 4 k 0 0 0 r2 + r2 = r2 + kr l + k l 2 2 將上式兩邊平方，得 2 2 k 0 0 k 0 r - r r2 + r2 - r = kl = kl k k 0 而 解： 2 0 r2 = r2 + r2 rk = r + k l 1. 單色平面光照射到一小圓孔上，將其波面分成半波帶。求第к個(gè)帶的半徑。若極點(diǎn)到 觀察點(diǎn)的距離 r0 為 1m，單色光波長為 450nm，求此時(shí)第一半波帶的半徑。 第二章 光的衍射 16 與此對(duì)應(yīng)的 P 到圓孔的距離為 當(dāng) P 點(diǎn)向后移離圓孔時(shí),波帶數(shù)減少,減少為 2 時(shí), P 點(diǎn)也變成暗點(diǎn)。 Dr = r0 - r = 100cm - 75cm = 25cm 則 P點(diǎn)移動(dòng)的距離為 kl 4 632.8 10 -6 0 mm = 750mm = r 1.38 = r 2 2 暗點(diǎn),此時(shí), P 點(diǎn)至圓孔的距離為 (2) 當(dāng) P點(diǎn)向前移向圓孔時(shí),相應(yīng)的波帶數(shù)增加;波帶數(shù)增大到 4 時(shí), P 點(diǎn)變成 故 P點(diǎn)為亮點(diǎn). 0 0 lr lr 632.8 10 -6 103 = 3 = k = = 1.38 2 r2 2 (d ) 2 解 ：（ 1） P 點(diǎn)的亮暗取決于圓孔中包含的波代數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù).當(dāng)平行光如射時(shí), 波帶數(shù)為 4．波長為 632.8nm 的平行光射向直徑為 2.76mm 的圓孔，與孔相距 1m 處放一屏。試問： （1）屏上正對(duì)圓孔中心的 P 點(diǎn)是亮點(diǎn)還是暗點(diǎn)？（2）要使 P 點(diǎn)變成與（1）相反的情況， 至少要把屏幕分別向前或向后移動(dòng)多少？ 所以 a1 / 2 a 0 I0 = 4 = 1 = I a ap 2 2 2 0 a = a1 沒有光闌時(shí) 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 p 2 a a + a ( 1 1 1 1 3 ) - a + a = a + a = a = 1 按圓孔里面套一個(gè)小圓屏幕 0 l 500 10-6 1000 1000 2 = 4 + = k r R = hk2 1 1 1 1 + 1 2 R2 得 1000 1000 500 10 R r0 l -6 1 = + k1 = + = 1 1 0.5 1 Rhk1 1 2 2 17 同樣焦距和口徑的透鏡可劃分為 200 個(gè)半波帶通光 1 解: 100 個(gè)奇數(shù)半波帶通光總振幅 A100 = a = 100a I = (100a ) 2 6. 波長 為 λ的點(diǎn) 光源經(jīng)波帶片成一個(gè)像點(diǎn) , 該波 帶片有 100 個(gè)透 明奇數(shù)半波帶 (1,3,5,……)。另外 100 個(gè)不透明偶數(shù)半波帶.比較用波帶片和換上同樣焦距和口徑的透鏡時(shí) 該像點(diǎn)的強(qiáng)度比 I:I0. 100 7 7 5 5 3 3 5 3 2 f = \ f = f = = 1 m LL f 1 f 1 = 1 m f 1 = 1 m 1 Q f = r = 1m = 103 mm ) (3) 光強(qiáng)極大值出現(xiàn)在軸的位置是(即 3 5 7 f , f , f L P P 2 4 所以 (2) 像點(diǎn)的光強(qiáng): 0 p I = A 2 = (a + a ) 2 = 4a2 I = 4a2 = 16I 0 1 \ r = r kl = 103 1 500 10-6 = 0.5 = 0.707 (1) kl 1 l 0 = h = 1 f = r R2 r2 = r0 = 10 mm 第一條最亮的像點(diǎn)在r0 = 1m = 1000mm 的軸上,即 f 1 3 單色平行光l = 500nm R0 = r1 : r2 : r3 : rr = 1 : 2 : 3 : 4 光; K3 = 3, r2 至r3 不透光; K4 = 4, r3 至r4 透光; K5 = 5, r4 至無窮大不透光. r1 不 透 光 ; K 2 = 2, r1至r2 透 解 ： 因 為 5 個(gè) 半 波 帶 組 成 的 半 波 帶 片 上 , K1 = 1, 光照明,最亮的像點(diǎn)在距波帶片 1m 的軸上.試求:(1) r1; (2) 像點(diǎn)的光強(qiáng); (3) 光強(qiáng)極大值出現(xiàn) 在軸上哪些位置上. 半波帶是 r4 至無窮大的不透明區(qū)域,已知 r1:r2：r3:r4=1: 4 ,用波長 500nm 的平行單色 2 : 3 : Dr = r0 - r0 = 150cm - 100cm = 50cm ５.一波帶片由五個(gè)半波帶組成.第一波帶片為半徑 r1 的不透明圓盤,第二半波帶是半徑 r1 至 r2 的透明圓環(huán),第三半波帶是 r2 至 r3 的不透明圓環(huán),第四半波帶是 r3 至 r4 的透明圓環(huán),第五 則 P 點(diǎn)移動(dòng)的距離為 kl 2 632.8 10 -6 0 mm = 1500mm = 1.38 r = r 2 2 18 所以該光為紫色光. 9. 波長為 546.1nm 的平行光垂直地射在 1mm 寬的縫上,若將焦距為 100cm 的透鏡緊貼 于縫的后面,并使光焦距到屏上,問衍射圖樣的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三 最小值的距離分別為多少? 所以 nm 7 l = 5 l = 428.6 得 2 2 bsinq = 3 + l = 2 + l 1 1 2 bsinq = k 0 + l 1 8. 白光形成的單縫衍射圖樣中,其中某一波長的第三個(gè)次最大值與波長為 600nm 的光 波的第二個(gè)次最大值重合.求該光波的波長. 解：由單縫衍射次最大值的位置公式可知 6 2p 0.4 2pb = 0.06mm y = -4 lf Dj = 4.8 10 600 p 當(dāng)縫的兩邊到 P 點(diǎn)的位相差為 6 時(shí)，P 點(diǎn)離焦點(diǎn)的距離為 p 2 2p 0.4 2pb = 0.18mm y = lf Dj = 4.8 10 600 p -4 當(dāng)縫的兩邊到 P 點(diǎn)的位相差為 2 時(shí)，P 點(diǎn)離焦點(diǎn)的距離為 p 故 2pb y = lf Dj 系式為 l l l l f 7. 平面光的波長為 480nm,垂直照射到寬度為 0.4mm 的狹縫上,會(huì)聚透鏡的焦距為 60cm. 分別計(jì)算當(dāng)縫的兩邊到 P 點(diǎn)的相位為π/2 和π/6 時(shí),P 點(diǎn)離焦點(diǎn)的距離. 解：設(shè) P 點(diǎn)離焦點(diǎn)的距離為 y，透鏡的焦距為 f 。縫寬為b，則位相差和光程差的關(guān) Dj = 2p d = 2p bsinq 2p btanq = 2p b y 0 I 4 (100a ) 2 4 = \ = I (100a ) 2 1 1 總振幅為 2 200a = 4(100a ) 2 )2 I0 = ( A200 = a1 + a1 = 200a 200 199 19 所以 q1 = 2.18 0.02 d = 3.8 10 = sinq 1 = - 2 7.6 10 -4 l紅 解：由光柵方程 dsin q = jl 得 12. 一束平行白光垂直入射在每毫米 50 條刻痕的光柵上，問第一級(jí)光譜的末端和第二 光譜的始端的衍射角θ之差為多少？(設(shè)可見光中最短的紫光波長為 400nm，最長的紅光波 長為 760nm) 0.02 b Dy = = 1.5 10-6 m f l = 300 0.110 -9 如果改用l = 0.1nm時(shí) 那么 300 f l = Dy b = 0.02 0.885 590nm b b b 2 1 Dy = y - y 2 f l - f l = f l 得第二最小值與第一最小值之間的距離近似地為 2 b k 解：如果近似按夫瑯和費(fèi)單縫衍射處理，則根據(jù)公式 sinq = 2k0 + 1 l 10. 鈉光通過寬 0.2mm 的狹縫后,投射到與縫相距 300cm 的照相底片上.所得的第一最小 值與第二最小值間的距離為 0.885cm,問鈉光的波長為多少?若改用 X 射線(λ=0.1nm)做此實(shí) 驗(yàn),問底片上這兩個(gè)最小值之間的距離是多少? 得 2 b 2 1 10 y = 3 f l = 3 1000 5.46110 - 4 = 0.819mm 2 f bsinq k0 b k 0 + l 1 y b 由單縫衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式 y 3 = 3 l = 1.638mm f 1 b 1 y = f l = 1000 5.461 10 - 4 = 0.5461mm f 得第一、第三最小值的位置分別為 解: 根據(jù)單縫衍射圖樣的最小值位置的公式可知: bsinq btanq = b y = kl 20 則 d d l 3 2 l = 2 紅 設(shè)第 2 級(jí)紅光和第 3 級(jí)波長為l 2 的光重合 所以 2 2 紫 1 l = 3 l = 3 400 = 600nm 則 d d l 2 1 l = 3 紫 設(shè)第 3 級(jí)紫光和第 2 級(jí)波長的光重合 所以二級(jí)和三級(jí)光譜部分交迭. 因?yàn)? q 3 <q 2 d d 3 j = 3, = 1200nm l sinq = 3 紫 而 d d j = 2, sinq 2 = 2 = 1520nm l紅 所以 一級(jí)和二級(jí)不重疊. 因?yàn)? q 2 >q1 d d 2 j = 2 ， = 800nm l sinq = 2 紫 得 d d 1 j = 1, sinq = 760nm l = 紅 13. 用可見光(760～400nm)照射光柵是，一級(jí)光譜和二級(jí)光譜是否重疊？二級(jí)和三級(jí)怎 樣？若重疊，則重疊范圍是多少？ 解：根據(jù)光柵方程 dsin q = jl 2 1 所以 Dq = q - q = 2.29 - 2.18 = 636 = 2 10 -3 rad 式中 50 d = = 0.02mm 1 所以 q 2 = 2.29 0.02 d = 4.0 10 = 2 sinq 2 = 2 -2 4.0 10 -4 l紫 21 即能得到最大為第六級(jí)的光譜線. 16. 白光垂直照射到一個(gè)每毫米 250 條刻痕的透射光柵上，試問在衍射角為 30處會(huì) 出現(xiàn)哪些波長的光？其顏色如何？ 5890 10 -8 j = 4000 = 6.4 (sin 30 + 1) 1 同樣,取 sin q = 1, 得 l j = d(sinq + sinq 0 ) (2) 根據(jù)平行光傾斜入射時(shí)的光柵方程 d(sin sinq 0 ) = jl ( j = 0,1,2,L) ,可得 即能得到最大為第四級(jí)的光譜線. 5890 10 -8 (此處 j只能取整數(shù),分?jǐn)?shù)無實(shí)際意義) j = 4000 = 4.2 1 根據(jù)已知條件 4000 400 ,并取 sin q = 1, 則得 cm d = mm = 1 1 可見 j的最大值與 sinq = 1 的情況相對(duì)應(yīng)( sinq 真正等于 1 時(shí),光就不能到達(dá)屏上). l dsin q = jl 得 解: (1) 根據(jù)光柵方程 j = d sinq 15. 用每毫米內(nèi)有 400 條刻痕的平面透射光柵觀察波長為 589nm 的鈉光譜。試問：(1) 光垂直入射時(shí)，最多能觀察到幾級(jí)光譜？(2)光以 30 角入射時(shí),最多能觀察到幾級(jí)光譜? d jl jl 180 2 589 10 -7 222(條/cm） 1 \ 1 = sinq q = 1510 p 解: Q dsin q = jl( j = 0,1,2,L12） 400 ~ 506.7nm 重疊. 14. 用波長為 589nm 的單色光照射一衍射光柵，其光譜的中央最大值和第二十級(jí)主最 大值之間的衍射角為 1510，求該光柵 1cm 內(nèi)的縫數(shù)是多少？ 綜上 , 一級(jí)光 譜與 二級(jí) 光譜 不重 疊 ; 二級(jí)光 譜的 600 ~ 700nm 與三級(jí) 光譜的 所以 3 3 紅 2 l = 2 l = 2 760 = 506.7nm 22 Nd 103 0.0041 Dq＝ = = 1.52 10 -5 rad l 6.24 10 -5 令 cosq 1(即q 0） (3) 譜線的半角寬度的公式為: Ndcosq Dq = l 式中d 為光柵的光柵常數(shù). 所以看到的級(jí)數(shù)為 3. b 0.012 (2) 單縫衍射圖樣包絡(luò)下的范圍內(nèi)共有光譜級(jí)數(shù)由下列式子確定 d = 0.041 = 3.42 b 1.2 10-3 1 Dq = 2q = 10.4 10 -2 rad = 2l = 2 6.240 10 -5 17. 用波長為 624nm 的單色光照射一光柵，已知該光柵的縫寬 b 為 0.012mm，不透明 部分的寬度 a 為 0.029mm，縫數(shù) N 為 103 條。求：(1)單縫衍射圖樣的中央角寬度；(2)單縫 衍射圖樣中央寬度內(nèi)能看到多少級(jí)光譜？(3)譜線的半寬度為多少？ 解 ：（ 1）單縫衍射圖樣的中央角寬度 (為紫色) 5 250 10 -6 2 j 當(dāng) j = 5 時(shí) = 400nm 1 l = dsinq = (為綠色) 4 250 10 -6 2 j 當(dāng) j = 4 時(shí) = 500nm 1 l = dsinq = (為紅色) j 當(dāng) j = 3 時(shí) - 3 250 10 6 2 = 667nm 1 l = dsinq = 所以 這里 j可取 3, 4, 5 2.6 < j < 5.1 l 當(dāng)l = 390nm 時(shí), 250 390 10 -6 2 = 5.1 1 j = d sin 30 = 得 l 250 760 10 -6 2 = 2.6 1 當(dāng)l = 760nm 時(shí), j = d sin 30 = 由公式dsinq = jl 解: 由題意可知 390nm < l < 760nm q = 30 d 1 = 250 條 毫米 23 a 0 0.3 = 18 光線與界面成 18′的角度時(shí)，能觀察到二級(jí)光譜。 \ 2d 2 0.28 10-9 0 = 0.00525 sina = jl = 2 0.0147 10 -10 解：Q 2dsin a 0 = jl 19 波長為 0.00147nm 的平行 X 射線射在晶體界面上，晶體原子層的間距為 0.28nm 問光線 與界面成什么角度時(shí)，能觀察到二級(jí)光譜。 2 = 2.819 sin1 = 0.0049nm l = 2d 0 sina 0 (2) 根據(jù)布喇格方程 在 j = 2 時(shí) 2d 0 sina0 = jl 時(shí) 2 2Nr 2 6.02 10 2.17 23 0 = 0.2819nm = 3 58.5 M d = d = 3 那么相鄰兩離子間的平均距離d0 為 d = Nr 4M 3 所以晶胞的棱邊由上面兩式聯(lián)立解得 1 N NaCl m = M 這里,NaCl 分子的質(zhì)量由下式給出 V d3 邊長 d,由于每個(gè)晶胞包含四個(gè) NaCl 分子,那么密度ρ為 r = m = 4mNaCl 棱 解: (1) 晶胞的棱邊為 2 d, 那么亮離子間的平均距離d 0為 ?，F(xiàn)先計(jì)算晶胞的 d 式中 NA=6.021023/mol 為阿伏加德羅常數(shù)；（2）用 X 射線照射晶面時(shí)，第二級(jí)光譜的最大 值在掠射角為 1的方向上出現(xiàn).試計(jì)算該 X 射線的波長. nm 2NAr = 0.2819 3 M 18. NaCl 的晶體結(jié)構(gòu)是簡單的立方點(diǎn)陣，其分子量 M=58.5，密度ρ=2.17g/cm3，(1)試證 明相鄰兩離子間的平均距離為 24 （1） 試求入射角q 0 ； 22 一平行單色光投射于衍射光柵上，其方向與光柵的法線成q 0 角，在和法線成 11和 53的方向上出現(xiàn)第一級(jí)譜線，且位于法線的兩側(cè)。 那么，第一級(jí)最大的方向改變?yōu)? Dq = q-q = 45 即 q = 16.71 或q = -18.21 代入數(shù)據(jù)得： sinq 0.2875或sinq -0.3125 玻片加入后的光柵方程為 d(sinq+ sinq 0 ) = l 代入上式，得 將 d 6 q = arcsin( ) = 17.46 l l = 500nm, d = 1 104 nm d ， j = 1 時(shí)， sinq = l ， 故玻片未加前的光柵方程為 dsinq = jl 21 題圖 單色平行光經(jīng)劈后的偏向角為 q 0 = (n- 1) A= 0.0125rad A \ A = 0.025rad = 1.43 解：首先求玻璃片的頂角 A, 20 θ0 tan A 1 - 0.5 = 0.025 端由 1mm 均勻變薄到 0.5mm，試問第一輯主最大方向的改變了多少？ 21 一寬度為 2cm 的衍射光柵上刻有 12000 條刻痕。如圖所示，以波長l = 500nm的單色光 垂直投射，將折射率為 1.5 的劈狀玻璃片置于光柵前方，玻璃片的厚度從光柵的一端到另一 [3+2 (cos DF +cos2 DF +cos 3Dj )] = aq 2 [（１＋cos DF +cos 3Dj ）2+（１＋sin DF +sin 3Dj ）2] 2 2 Iq = Aq = Aqx + Aqy = aq 2 2 證明：設(shè)單縫衍射的振幅為aq ,三縫衍射的總振幅為 Aq ，則 Aqx ＝aq （１＋cos DF +cos 3Dj ） Aqy ＝aq （１＋sin DF +sin 3Dj ）, 式中 l l u 2 q 0 I = I u = pbsinq , v = pdsinq u[3 + 2(cos 2v+ cos 4v+ cos 6v )] sin 2 20 如圖所示有三條彼此平行的狹縫，寬度均為 b，縫距分別為 d 和 2d，試用振幅矢量疊加 法證明正入射時(shí)，夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度公式為： 25 故 ， j = 2 j 0.2 sinq1 = sinq 2 j + 1 = 0.3 解：(1)光柵方程為 dsinq1 = jl dsinq 2 = ( j+ 1)l 23 波長為 600nm 的單色光正入射到一透射光柵上，有兩個(gè)相鄰的主最大分別出現(xiàn)在 sinq1 = 0.2 和 sinq 2 = 0.3 處，第四級(jí)為缺級(jí)。 （1）試求光柵常量； （2）試求光柵的縫可能的最小寬度； （3）在確定了光柵常量與縫寬之后，試列出在光屏上世紀(jì)呈現(xiàn)的全部級(jí)數(shù)。 故位于法線同側(cè)時(shí)，第二級(jí)譜線也可觀察到。 將(4)代入（6）得 sinq = 0.6855 < 1 （6） d j = 2時(shí)，sinq = 2 - sinq 0 l 當(dāng)位于法線同側(cè)時(shí)，滿足 dsinq = jl - dsinq 0 ， 故當(dāng)位于法線兩側(cè)時(shí)，第二級(jí)譜線無法觀察到。 將(4)代入(5)得 sinq = sinq 0 + 2(sinq- sinq 0 ) = 1.29 > 1 (5) 二級(jí)譜線： d 0 (b) sinq = sinq + 2 l (4) 一級(jí)譜線： 故 d d θ0 l = sin 53 - sin 17.7 sin 53 = sin 17.7 + l d （2）當(dāng)位于法線兩側(cè)時(shí)，滿足 d 0 sinq = sinq + jl 0 代入(3)得 將 q = 11 ,q = 53 q = 17.7 (3) (1)- (2)，得 2 0 (a) sinq = 1 (sinq- sinq) (2) 光柵方程為：dsinq- sinq 0 = l θ0 如圖(b)所示，若入射方向與衍射方向處于法線的兩側(cè)， 根據(jù)光程差的計(jì)算， d (1) 光柵方程為d(sinq + sinq 0 ) = l 0 11 解 ：（ 1）如圖(a)所示，若入射方向與衍射方向處于法線的同側(cè)， 根據(jù)光程差的計(jì)算， 試問為什么在法線兩側(cè)能觀察到一級(jí)譜線，而在法線同側(cè)則能觀察到二級(jí)譜線？ （2） 26 j = 0,1,2,3 5,6,7,9 故 其 時(shí) 最 多 觀 察 到 j = 9, 又 考 慮 到 缺 級(jí) 4,8 ， 所 以 能 呈 現(xiàn) 的 全 部 級(jí) 次 為 (3) 故最大的級(jí)次為 2 j = 10 sinq = sin p 即光柵上縫的最小寬度為1.5 10 -3 mm (2) 由第四級(jí)缺級(jí)，得 4 即光柵常量為 6 10 -3 mm b = d = 1.5 10-3 mm 故 sinq 0.2 d = = 2 600 = 6000nm = 6 10-3 mm jl