江蘇專轉(zhuǎn)本高數(shù)真題附答案.pdf

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1 2001——2014 江蘇 專轉(zhuǎn)本數(shù)學(xué)真題 （ 答案 ） 2001 年江蘇省普通高校“專轉(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試 高等數(shù)學(xué) 一、選擇題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分 ） 1、下列各極限正確的是 （ ） A、 ex x x ??? )11(lim0 B、 ex x x ???? 1)11(lim C、 11sinlim ? ?? xxx D、 11sinlim 0 ?? xxx 2、不定積分 ? ?? dxx21 1 （ ） A、 21 1x? B、 cx ?? 21 1 C、 xarcsin D、 cx?arcsin 3、若 )()( xfxf ?? ，且在 ? ???,0 內(nèi) 0)( ?xf 、 0)( ?xf ， 則在 )0,(?? 內(nèi)必有 （ ） A、 0)( ?xf , 0)( ?xf B、 0)( ?xf , 0)( ?xf C、 0)( ?xf , 0)( ?xf D、 0)( ?xf , 0)( ?xf 4、 ??? dxx2 0 1 （ ） A、 0 B、 2 C、－ 1 D、 1 5、方程 xyx 422 ?? 在空間直角坐標(biāo)系中表示 （ ） A、圓柱面 B、點(diǎn) C、圓 D、旋轉(zhuǎn)拋物面 二、填空題（本大題共 5 小題，每小 題 3 分，共 15 分） 6、設(shè) ?? ? ??? 22 tty tex t ，則 ??0tdxdy 2 7、 0136 ??? yyy 的通解為 8、交換積分次序 ??? dyyxfdx x x220 ),( 9、函數(shù) yxz? 的全微分 ?dz 10、設(shè) )(xf 為連續(xù)函數(shù)，則 ????? ? dxxxxfxf 311 ])()([ 三、計(jì)算題（本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分） 11、已知 5cos)21l n (a r c t a n ????? xxy ，求 dy . 12、計(jì)算 xx dtex x t x sinlim 2 0 0 2?? ? . 13、求 )1( sin)1()( 2 ??? xx xxxf 的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明其類型 . 14、已知 xyxy ln2 ?? ，求 1,1 ?? yxdxdy . 3 15、計(jì)算 dxee x x? ?1 2 . 16、已知 ? ?? ?? 0 2 211 dxxk ，求 k 的值 . 17、求 xxyy sectan ?? 滿足 00 ??xy 的特解 . 18、計(jì)算 ?? D dxdyy 2sin ， D 是 1?x 、 2?y 、 1??xy 圍成的區(qū)域 . 19、已知 )(xfy? 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，并且在原點(diǎn)處的切線平行于直線 032 ???yx ，若 baxxf ?? 2 3)( ，且 )(xf 在 1?x 處取得極值，試確定 a 、 b 的值，并求出 )(xfy? 的表達(dá)式 . 4 20、設(shè) ),( 2 yxxfz? ，其中 f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 xz?? 、 yxz???2 . 四、綜合題（本大題共 4 小題，第 21 小題 10 分，第 22 小題 8 分，第 23、 24 小題各 6 分，共 30 分） 21、過(guò) )0,1(P 作拋物線 2?? xy 的切線，求 （ 1）切線方程； （ 2）由 2?? xy ，切線及 x 軸圍成的平面圖形面積； （ 3）該平面圖形分別繞 x 軸、 y 軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。 22、設(shè) ?? ??? ? ?? 0 0)()( xa xxxfxg ，其中 )(xf 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 0)0( ?f . （ 1）求 a ，使得 )(xg 在 0?x 處連續(xù)； 5 （ 2）求 )( xg . 23、設(shè) )(xf 在 ? ?c,0 上具有嚴(yán)格單調(diào)遞減的導(dǎo)數(shù) )( xf 且 0)0( ?f ；試證明： 對(duì)于滿足不等式 cbaba ?????0 的 a 、 b 有 )()()( bafbfaf ??? . 24、一租賃公司有 40 套設(shè)備，若定金每月每套 200 元時(shí)可全租出，當(dāng)租金每月每套增加 10 元 時(shí)，租出設(shè)備就會(huì)減少一套，對(duì)于租出的設(shè)備每套每月需花 20 元的維護(hù)費(fèi)。問(wèn)每月一套的定金 多少時(shí)公司可獲得最大利潤(rùn)？ 2002 年江蘇省普通高校“專轉(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試 6 高等數(shù)學(xué) 一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分） 1、下列極限中，正確的是 （ ） A、 ex x x ??? co t0 )tan1(lim B、 11sinlim 0 ?? xxx C、 ex x x ??? se c0 )c o s1(lim D、 en nn ???? 1)1(lim 2、已知 )(xf 是可導(dǎo)的函數(shù)，則 ??? ? h hfhfh )()(lim0 （ ） A、 )(xf? B、 )0(f? C、 )0(2f? D、 )(2 xf? 3、設(shè) )(xf 有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且 0?a 、 1，則下列命題正確的是 （ ） A、 Caxfadxaxf ???? )(1)( B、 Caxfdxaxf ???? )()( C、 )())( axafdxaxf ???? D、 Cxfdxaxf ???? )()( 4、若 xey arctan? ，則 ?dy （ ） A、 dxe x21 1? B、 dxee x x 21? C、 dx e x21 1? D、 dx ee x x 21? 5、在空間坐標(biāo)系下，下列為平面方程的是 （ ） A、 xy ?2 B、 ??? ??? ??? 12 0zyx zyx C、 22?x = 74?y = 3?z D、 043 ?? zx 6、微分方程 02 ?????? yyy 的通解是 （ ） A、 xcxcy s inc o s 21 ?? B、 xx ececy 221 ?? C、 ? ? xexccy ??? 21 D、 xx ececy ??? 21 7、已知 )(xf 在 ? ????? , 內(nèi)是可 導(dǎo)函數(shù)，則 ))()(( ??? xfxf 一定是 （ ） A、奇函數(shù) B、偶函數(shù) C、非奇非偶函數(shù) D、不能確定奇偶性 8、設(shè) dx xxI ? ?? 10 4 1 ，則 I 的范圍是 （ ） A、 220 ??I B、 1?I C、 0?I D、 122 ??I 7 9、若廣義積分 dxx p???1 1 收斂，則 p 應(yīng)滿足 （ ） A、 10 ??p B、 1?p C、 1??p D、 0?p 10、若 x x e exf 1 1 1 21)( ? ?? ，則 0?x 是 ??xf 的 （ ） A、 可去間斷點(diǎn) B、跳躍間斷點(diǎn) C、無(wú)窮間斷點(diǎn) D、連續(xù)點(diǎn) 二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分） 11、設(shè)函數(shù) )(xyy? 是由方程 )sin(xyee yx ?? 確定，則 ?? ?0 xy 12、函數(shù) xexxf ?)( 的單調(diào)增加區(qū)間為 13、 ? ? ?? 1 1 2 21ta dxx xnx 14、設(shè) )(xy 滿足微分方程 1??yyex ，且 1)0( ?y ，則 ?y 15、交換積分次序 ? ? ?? ? dxyxfdy e e y10 , 三、計(jì)算題（本大題共 8 小題，每小題 4 分，共 32 分） 16、求極限 ? ?? ?? xx dtttt xx0 2 0 sin tanlim 17、已知 ? ?? ? ??? ?? ?? tttay tttax coss in s incos ，求 4??tdx dy 8 18、已知 ? ?22ln yxxz ??? ，求 xz?? ， xyz???2 19、設(shè) ?? ??? ?? ?? ? 0,1 1 0,11 )( xe xx xf x ，求 ? ?dxxf? ?2 0 1 20、計(jì)算 ? ? ? ? ? ???2 2 0 0 1 2 2 1 0 2222 2x x dyyxdxdyyxdx 21、求 ? ? xeyxy sincos ??? 滿足 1)0( ?y 的解 . 22、求積分 dx xxx? ? 4 2 1arcsin 9 23、設(shè) ? ? ? ? ?? ??? ???? 0, 0,1 1 xk xxxf x ，且 ??f 在 0?x 點(diǎn)連續(xù)，求：（ 1） k 的值（ 2） ??xf? 四、綜合題（本大題共 3 小題，第 24 小題 7 分，第 25 小題 8 分，第 26 小題 8 分，共 23 分） 24、從原點(diǎn)作拋物線 42)( 2 ??? xxxf 的兩條切線，由這兩條切線與拋物線所圍成的圖形記為 S ，求：（ 1） S 的面積； （ 2）圖形 S 繞 X 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積 . 25、證明：當(dāng) 22 ?? ??? x 時(shí)， 211cos xx ??? 成立 . 26、已知某廠生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的成本為 240120025000)( xxxC ??? （元），產(chǎn)品產(chǎn)量 x 與價(jià)格 P 之間的關(guān)系為： xxP 201440)( ?? （元） 求： (1) 要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ (2) 當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，企業(yè)可獲最大利潤(rùn)，并求最大利潤(rùn) . 10 2003 年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試 高等數(shù)學(xué) 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 3 分，共 24 分） 1、已知 2)( 0 ?xf ，則 ???? ? h hxfhxf h )()(l i m 00 0 （ ） A、 2 B、 4 C、 0 D、 2? 2、若已知 )()( xfxF ? ，且 )(xf 連續(xù)，則下列表達(dá)式正確的是 （ ） A、 cxfdxxF ??? )()( B、 cxfdxxFdxd ??? )()( C、 cxFdxxf ??? )()( D、 )()( xfdxxFdxd ?? 3、下列極限中，正確的是 （ ） A、 22sinlim ? ?? x xx B、 1arctanlim ? ?? x xx C、 ???? ? 2 4lim 2 2 x x x D、 1lim 0 ??? xx x 4、已知 )1ln( 2xxy ??? ，則下列正確的是 （ ） A、 dx xxdy 211 ??? B、 dxxy 21 ?? C、 dx xdy 21 1?? D、 21 1 xxy ??? 5、在空間直角坐標(biāo)系下，與平面 1??? zyx 垂直的直線方程為 （ ） A、 ??? ??? ??? 02 1zyx zyx B、 31 42 2 ????? zyx C、 5222 ??? zyx D、 321 ????? zyx 6、下列說(shuō)法正確的是 （ ） 11 A、級(jí)數(shù) ?? ?1 1 n n 收斂 B、級(jí)數(shù) ?? ? ?1 2 1 n nn 收斂 C、級(jí)數(shù) ?? ? ? 1 )1( n nn 絕對(duì)收斂 D、級(jí)數(shù) ?? ?1 !n n 收斂 7、微分方程 0 ??yy 滿足 00 ??xy ， 1 0 ??xy 的解是 A、 xcxcy s inc o s 21 ?? B、 xy sin? C、 xy cos? D、 xcy cos? 8、若函數(shù) ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? 0)31l n (1 02 0s i n )( xxbx x xxax xf 為連續(xù)函數(shù)，則 a 、 b 滿足 A、 2?a 、 b 為任何實(shí)數(shù) B、 21??ba C、 2?a 、 23??b D、 1??ba 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 3 分，共 12 分） 9、設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程 xyeyx ?? )ln( 所確定，則 ??0 xy 10、曲線 93)( 23 ????? xxxxfy 的凹區(qū)間為 11、 ??? ? dxxxx )s in(11 32 12、交換積分次序 ?? ???? ? yy dxyxfdydxyxfdy 3 0312010 ),(),( 三、計(jì)算題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分） 13、求極限 x x x cos1 12 0 )1(lim ?? ? 14、求函數(shù) ?? ??????? yxz tan 的全微分 12 15、求不定積分 dxxx? ln 16、計(jì)算 ? ?? ? ? d?? ?22 2cos1 sin 17、求微分方程 xexyxy 2 ?? 的通解 . 18、已知 ?? ? ?? ?? tty tx arctan)1ln( 2 ，求 dxdy 、 22dxyd . 19、求函數(shù) 1 )1sin()( ??? xxxf 的間斷點(diǎn)并判斷其類型 . 13 20、計(jì)算二重積分 ?? ?? D dxdyyx )1( 22 ，其中 D 是第一象限內(nèi) 由圓 xyx 222 ?? 及直線 0?y 所圍成的區(qū)域 . 四、綜合題（本大題共 3 小題，第 21 小題 9 分，第 22 小題 7 分，第 23 小題 8 分，共 24 分） 21、設(shè)有拋物線 24 xxy ?? ，求： （ i）、拋物線上哪一點(diǎn)處的切線平行于 X 軸？寫出該切線方程； （ ii）、求由拋物線與其水平切線及 Y 軸所圍平面圖形的面積； （ iii）、求該平面 圖形繞 X 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積 . 22、證明方程 2?xxe 在區(qū)間 ? ?1,0 內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根 . 23、要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為 V 立方米的有蓋圓形油桶 ,已知單位面積造價(jià)：側(cè)面是底面的一半，而蓋 又是側(cè)面的一半，問(wèn)油桶的尺寸如何設(shè)計(jì)，可以使造價(jià)最低？ 14 五、附加題（ 2000 級(jí)考生必做， 2001 級(jí)考生不做） 24、將函數(shù) xxf ?? 4 1)( 展開(kāi)為 x 的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間。（不考慮區(qū)間端點(diǎn)）（本小題 4 分） 25、求微分方程 1332 ???? xyyy 的通解。（本小題 6 分） 2004 年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試 高等數(shù)學(xué) 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分 .） 1、 ? ?? ? ?? ? ?? ??? 2,0 0,3)( 3 3 xx xxxf ，是： （ ） A、有界函數(shù) B、奇函數(shù) C、偶函數(shù) D、周期函數(shù) 2、當(dāng) 0?x 時(shí)， xx sin2? 是關(guān)于 x 的 （ ） A、高階無(wú)窮小 B、同階但不是等價(jià)無(wú)窮小 C、低階無(wú)窮小 D、等價(jià)無(wú)窮小 3、直線 L 與 x 軸平行且與曲線 xexy ?? 相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ） A、 ??1, B、 ? ?1,1? C、 ? ?1,0? D、 ? ?1,0 4、 222 8Ryx ?? 設(shè)所圍的面積為 S ，則 dxxRR? ?22 0 228 的值為 （ ） A、 S B、 4S C、 2S D、 S2 5、設(shè) yxyxu arctan),( ? 、 22ln),( yxyxv ?? ，則下列等式成立的是 （ ） A、 yvxu ????? B、 xvxu ????? C、 xvyu ????? D、 yvyu ????? 6、微分方程 xxeyyy 223 ??? 的特解 ?y 的形式應(yīng)為 （ ） 15 A、 xAxe2 B、 xeBAx 2)( ? C、 xeAx22 D、 xeBAxx 2)( ? 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分） 7、設(shè) x xxxf ?????? ??? 32)( ，則 ? ?? )(lim xfx 8、過(guò)點(diǎn) )2,0,1( ?M 且垂直于平面 2324 ??? zyx 的直線方程為 9、設(shè) )()2)(1()( nxxxxxf ???? ?， Nn? ，則 ?)0(f 10、求不定積分 ? ?? dxx x2 3 1arcsin 11、交換二次積分的次序 ??? ? dyyxfdx x x210 2 ),( 12、冪級(jí)數(shù) ?? ? ? 1 2 )1( n n nx 的收斂區(qū)間為 三、解答題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分） 13、求函數(shù) xxxf sin)( ? 的間斷點(diǎn)，并判斷其類型 . 14、求極限 )31ln ()1( )s in( tanlim 2 0 0 2 xe dttt x x x ?? ?? ? . 15、設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程 1?? yxey 所確定，求 02 2 ?xdxyd 的值 . 16、設(shè) )(xf 的一個(gè)原函數(shù)為 xex ，計(jì)算 ? dxxxf )2( . 16 17、計(jì)算廣義積分 dx xx??? ?2 11 . 18、設(shè) ),( xyyxfz ?? ，且具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求 xz?? 、 yxz???2 . 19、計(jì)算二重積分 dxdy yyD??sin ，其中 D 由曲線 xy? 及 xy ?2 所圍成 . 20、把函數(shù) 21)( ?? xxf 展開(kāi)為 2?x 的冪級(jí)數(shù)，并寫出它的收斂區(qū)間 . 四、綜合題（本大題共 3 小題，每小題 8 分，滿分 24 分） 21、 證明： ?? ? ?? ? 00 )( s i n2)( s i n dxxfdxxxf ，并利用此式求 dxxxx? ?? 0 2cos1 sin . 22、設(shè)函數(shù) )(xf 可導(dǎo)，且滿足方程 )(1)( 2 0 xfxdtttfx ???? ，求 )(xf . 17 23、甲、乙二城位于一直線形河流的同一側(cè)，甲城位于岸邊，乙城離河岸 40 公里，乙城在河岸 的垂足與甲城相距 50 公里，兩城計(jì)劃在河岸上合建一個(gè)污水處理廠，已知從污水 處理廠到甲乙 二城鋪設(shè)排污管道的費(fèi)用分別為每公里 500、 700 元。問(wèn)污水處理廠建 在何處，才能使鋪設(shè)排污 管道的費(fèi)用最省 ？ 2005 年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試 高等數(shù)學(xué) 一、選擇題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 1、 0?x 是 xxxf 1sin)( ? 的 （ ） A、可去間斷點(diǎn) B、跳躍間斷點(diǎn) C、第二類間斷點(diǎn) D、連續(xù)點(diǎn) 2、若 2?x 是函數(shù) )21ln( axxy ??? 的可導(dǎo)極值點(diǎn)，則常數(shù) ?a （ ） A、 1? B、 21 C、 21? D、 1 3、若 ? ?? CxFdxxf )()( ，則 ? ?dxxxf )(co ssin （ ） A、 CxF ?)(sin B、 CxF ?? )(sin C、 CF ?(cos) D、 CxF ?? )(cos 4、設(shè)區(qū)域 D 是 xoy平面上以點(diǎn) )1,1(A 、 )1,1(?B 、 )1,1( ??C 為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，區(qū)域 1D 是 D 在第一象限的部分，則： ???? d x d yyxxy D )s i nc o s( （ ） A、 ?? 1 )s in(c o s2 D dxdyyx B、 ?? 1 2D xydxdy 18 C、 ?? ? 1 )s i ncos(4 D d xd yyxxy D、 0 5、設(shè) yxyxu arctan),( ? ， 22ln),( yxyxv ?? ，則下列等式成立的是 （ ） A、 yvxu ????? B、 xvxu ????? C、 xvyu ????? D、 yvyu ????? 6、正項(xiàng)級(jí)數(shù) (1) ?? ?1n nu 、 (2) ?? ?1 3 n nu ，則下列說(shuō)法正確的是 （ ） A、若（ 1）發(fā)散、則（ 2）必發(fā)散 B、若（ 2）收斂、則（ 1）必收斂 C、若（ 1）發(fā)散、則（ 2）可能發(fā)散也可能收斂 D、（ 1）、（ 2）斂散性相同 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 7、 ?? ?? ? ? xx xee xx x sin 2lim 0 ； 8、函數(shù) xxf ln)( ? 在區(qū)間 ? ?e,1 上滿足拉格郎日中值定理的 ?? ； 9、 ???? ? 1 1 21 1xx? ； 10、設(shè)向量 ? ?2,4,3 ??? 、 ? ?k,1,2?? ； ? 、 ? 互相垂直，則 ?k ； 11、交換二次積分的次序 ??? ? ?? dyyxfdx x x 21 1 0 1 ),( ； 12、冪級(jí)數(shù) ?? ? ?1 )12(n nxn 的收斂區(qū)間為 ； 三、解答題（本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分） 13、設(shè)函數(shù) ?? ??? ?? ax xxfxF s in2)()( 00??xx 在 R 內(nèi)連續(xù)，并滿足： 0)0( ?f 、 6)0( ?f ，求 a . 14、設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程 ??? ?? ? ttty tx cossin cos 所確定，求 dxdy 、 2 2dxyd . 19 15、計(jì)算 ? xdxxsectan3 . 16、計(jì)算 ?1 0 arctanxdx 17、已知函數(shù) ),(sin 2yxfz ? ，其中 ),( vuf 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 xz?? 、 yxz???2 18、求過(guò)點(diǎn) )2,1,3( ?A 且通過(guò)直線 12 35 4: zyxL ???? 的平面方程 . 19、把函數(shù) 2 22)( xxxxf ??? 展開(kāi)為 x 的冪級(jí)數(shù)，并寫出它的收斂區(qū)間 . 20、求微分方程 0 ??? xeyxy 滿足 eyx ??1 的特解 . 四、證明題（本題 8 分） 21、證明方程： 0133 ??? xx 在 ? ?1,1? 上有且僅有一根 . 20 五、綜合題（本大題共 4 小題，每小題 10 分，滿分 30 分） 22、設(shè)函數(shù) )(xfy? 的圖形上有一拐點(diǎn) )4,2(P ，在拐點(diǎn)處的切線斜率為 3? ，又知該函數(shù)的二 階導(dǎo)數(shù) axy ??6 ，求 )(xf . 23、已知曲邊三角形由 xy 22? 、 0?x 、 1?y 所圍成，求： （ 1）、曲邊三角形的面積； （ 2）、曲邊三角形饒 X 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積 . 24、設(shè) )(xf 為連續(xù)函數(shù)，且 1)2( ?f ， dxxfdyuF u yu ??? )()( 1 ， )1( ?u （ 1）、交換 )(uF 的積分次序； （ 2）、求 )2(F . 2006 年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試 高等數(shù)學(xué) 一、選擇題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 21 1、若 21)2(lim 0 ?? x xf x ，則 ? ? ) 3( lim0 xf xx （ ） A、 21 B、 2 C、 3 D、 31 2、函數(shù) ?? ??? ? ?? 00 01s in)( 2 x xxxxf 在 0?x 處 （ ） A、連續(xù)但不可導(dǎo) B、連續(xù)且可導(dǎo) C、不連續(xù)也不可導(dǎo) D、可導(dǎo)但不連續(xù) 3、下列函數(shù)在 ? ?1,1? 上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是 （ ） A、 xey? B、 xy ??1 C、 21 xy ?? D、 xy 11?? 4、已知 Cedxxf x ??? 2)( ，則 ??? dxxf )( （ ） A、 Ce x??22 B、 Ce x ??221 C、 Ce x ?? ?22 D、 Ce x ?? ?221 5、設(shè) ?? ?1n nu 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如下說(shuō)法正確的是 （ ） A、如果 0lim 0 ?? nn u ，則 ?? ?1n nu 必收斂 B、 如果 l uu nnn ???? 1lim )0( ???l ，則 ?? ?1n nu 必收斂 C、 如果 ?? ?1n nu 收斂 ，則 ?? ?1 2 n nu 必定收斂 D、 如果 ?? ? ?1 )1(n n nu 收斂 ，則 ?? ?1n nu 必定收斂 6、設(shè)對(duì)一切 x 有 ),(),( yxfyxf ??? ， }0,1|),{( 22 ???? yyxyxD ， ?1D }0,0,1|),{( 22 ???? yxyxyx ，則 ?? ? D dxdyyxf ),( （ ） A、 0 B、 ?? 1 ),(D dxdyyxf C、 2?? 1 ),(D dxdyyxf D、 4?? 1 ),(D dxdyyxf 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 7、已知 0?x 時(shí)， )cos1( xa ? 與 xxsin 是等級(jí)無(wú)窮小，則 ?a 8、若 Axf xx ?? )(lim0 ，且 )(xf 在 0 xx? 處有定義，則當(dāng) ?A 時(shí)， )(xf 在 0 xx? 處連 續(xù) . 9、設(shè) )(xf 在 ??1,0 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且 2)1( ?f ， ? ?1 0 3)( dxxf ，則 ? ?1 0 )( dxxxf 22 10、設(shè) 1?a ， ba? ，則 ??? )( baa 11、設(shè) xeu xy sin? ， ???xu 12、 ??? Ddxdy . 其中 D 為以點(diǎn) )0,0(O 、 )0,1(A 、 )2,0(B 為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域 . 三、解答題（本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分） 13、計(jì)算 11lim 3 1 ? ? ? x x x . 14、若函數(shù) )(xyy? 是由參數(shù)方程 ?? ? ?? ?? tty tx arctan)1ln( 2 所確定，求 dxdy 、 22dxyd . 15、計(jì)算 ? ? dxx xln1 . 16、計(jì)算 dxxx?2 0 2 cos ? . 17、求微分方程 22 yxyyx ?? 的通解 . 18、將函數(shù) )1ln()( xxxf ?? 展開(kāi)為 x 的冪函數(shù)（要求指 出收斂區(qū)間） . 19、求過(guò)點(diǎn) )2,1,3( ?M 且與二平面 07 ???? zyx 、 0634 ???? zyx 都平行的直線方程 . 20、設(shè) ),( 2 xyxxfz? 其中 ),( vuf 的二階偏導(dǎo)數(shù)存在，求 yz?? 、 xyz???2 . 23 四、證明題（本題滿分 8 分） . 21、 證明：當(dāng) 2?x 時(shí)， 23 3 ??xx . 五、綜合題（本大題共 3 小題，每小題 10 分，滿分 30 分） 22、已知曲線 )(xfy? 過(guò)原點(diǎn)且在點(diǎn) ),( yx 處的切線斜率等于 yx?2 ，求此曲線方程 . 23、已知一平面圖形由拋物線 2xy? 、 82 ??? xy 圍成 . （ 1）求此平面圖形的面積； （ 2）求此平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積 . 24、設(shè) ?? ??? ? ?? ?? 0 0)(1)( ta td x d yxfttg tD ，其中 tD 是由 tx? 、 ty? 以及坐標(biāo)軸圍成的正方形區(qū)域， 函數(shù) )(xf 連續(xù) . （ 1）求 a 的值使得 )(tg 連續(xù)； （ 2）求 )( tg . 24 2007 年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試 高等數(shù)學(xué) 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 1、若 2)2(lim 0 ?? xxfx ，則 ? ?? )21(lim xxfx （ ） A、 41 B、 21 C、 2 D、 4 2、已知當(dāng) 0?x 時(shí)， )1ln( 22 xx ? 是 xnsin 的高階無(wú)窮小，而 xnsin 又是 xcos1? 的高階無(wú)窮 小，則正整數(shù) ?n （ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 3、設(shè)函數(shù) )3)(2)(1()( ???? xxxxxf ，則方程 0)( ?xf 的實(shí)根個(gè)數(shù)為 （ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 4、設(shè)函數(shù) )(xf 的一個(gè)原函數(shù)為 x2sin ，則 ?? dxxf )2( （ ） A、 Cx?4cos B、 Cx?4cos21 C、 Cx?4cos2 D、 Cx?4sin 5、設(shè) dttxf x?? 2 1 2sin)( ，則 ?)( xf （ ） A、 4sinx B、 2sin2 xx C、 2cos2 xx D、 4sin2 xx 6、下列級(jí)數(shù)收斂的是 （ ） A、 ?? ?1 2 2 n nn B、 ?? ? ?1 1n n n C、 ?? ? ?? 1 )1(1 n nn D、 ?? ? ? 1 )1( n n n 二、填空題（本大題共 6 小題， 每小題 4 分，滿分 24 分） 7、設(shè)函數(shù) ?? ??? ? ??? 02 0)1()( 1 x xkxxf x，在點(diǎn) 0?x 處連續(xù)，則常數(shù) ?k 25 8、 若直線 mxy ??5 是曲線 232 ??? xxy 的一條切線， 則常數(shù) ?m 9、 定積分 dxxxx )c o s1(4 32 2 2 ???? 的值為 10、已知 ?a ， ?b 均為單位向量，且 21????ba ，則以向量 ???ba 為鄰邊的平行四邊形的面積為 11、設(shè) yxz? ，則全微分 ?dz 12、設(shè) xx eCeCy 3221 ?? 為某二階常系數(shù)齊次線性 微分方程的通解，則該微分方程為 三、解答題（本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分） 13、求極限 xx xex x tan 1lim 0 ?? ? . 14、設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程 xyee yx ?? 確定，求 0?xdxdy 、 022 ?xdxyd . 15、求不定積分 dxex x? ?2 . 16、計(jì)算定積分 dx x x? ?122 2 21 . 17、設(shè) ),32( xyyxfz ?? 其中 f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 yxz???2 . 18、求微分方程 2 20 07xyxy ?? 滿足初始條件 20081 ??xy 的特解 . 19、求過(guò)點(diǎn) )3,2,1( 且垂直于直線 ??? ???? ???? 012 02zyx zyx 的平面方程 . 26 20、計(jì)算二重積分 dxdyyx D?? ? 22 ，其中 ? ?0,2|),( 22 ???? yxyxyxD . 四、綜合題（本大題共 2 小題，每小題 10 分，滿分 20 分） 21、設(shè)平面圖形由曲線 21 xy ?? （ 0?x ）及兩坐標(biāo)軸圍成 . （ 1）求該平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積； （ 2）求常數(shù) a 的值，使直線 ay? 將該平面圖形分成面積相等 的兩部分 . 22、設(shè)函數(shù) 9)( 23 ???? cxbxaxxf 具有如下性質(zhì)： （ 1）在點(diǎn) 1??x 的左側(cè)臨近單調(diào)減少； （ 2）在點(diǎn) 1??x 的右側(cè)臨近單調(diào)增加； （ 3）其圖形在點(diǎn) )2,1( 的兩側(cè)凹凸性發(fā)生改變 . 試確定 a ， b ， c 的值 . 五、證明題（ 本大題共 2 小題，每小題 9 分，滿分 18 分） 23、設(shè) 0??ab ，證明： dxxfeedxexfdy b a axxby yxba ??? ?? ?? )()()( 232 . 27 24、求證：當(dāng) 0?x 時(shí)， 22 )1(ln)1( ??? xxx . 2008 年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試 高等數(shù)學(xué) 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 1、設(shè)函數(shù) )(xf 在 ),( ???? 上有定義，下列函數(shù)中 必為奇函數(shù)的是 （ ） A、 )(xfy ?? B、 )( 43 xfxy? C、 )( xfy ??? D、 )()( xfxfy ??? 2、設(shè)函數(shù) )(xf 可導(dǎo)，則下列式子中正確的是 （ ） A、 )0()()0(l i m 0 fx xffx ???? B、 )()()2(lim 000 xfx xfxxfx ???? C、 )()()(lim 0000 xfx xxfxxfx ?? ??????? D、 )(2)()(l i m 0000 xfx xxfxxfx ?? ??????? 3、設(shè)函數(shù) )(xf ?? 1 2 2 sinx dttt ，則 )( xf 等于 （ ） A、 xx 2sin4 2 B、 xx 2sin8 2 C、 xx 2sin4 2? D、 xx 2sin8 2? 4、設(shè)向量 )3,2,1(??a ， )4,2,3(??b ，則 ???ba 等于 （ ） A、（ 2， 5， 4） B、（ 2，－ 5，－ 4） C、（ 2， 5，－ 4） D、（－ 2，－ 5， 4） 5、函數(shù) xyz ln? 在點(diǎn)（ 2， 2）處的全微分 dz 為 （ ） A、 dydx 2121 ?? B、 dydx 2121 ? C、 dydx 2121 ? D、 dydx 2121 ?? 6、微分方程 123 ??? yyy 的通解為 （ ） 28 A、 1221 ??? ?? xx ececy B、 212 21 ??? ?? xx ececy C、 1221 ??? ? xx ececy D、 212 21 ??? ? xx ececy 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 7、設(shè)函數(shù) )1( 1)( 2 ??? xxxxf ，則其第一類間斷點(diǎn)為 . 8、設(shè)函數(shù) ??)(xf ,0,3tan ,0, ? ?? xx x xxa 在點(diǎn) 0?x 處連續(xù)，則 a ＝ . 9、已知曲線 5432 23 ???? xxxy ，則其拐點(diǎn)為 . 10、設(shè)函數(shù) )(xf 的導(dǎo)數(shù)為 xcos ，且 21)0( ?f ，則不定積分 ? dxxf )( ＝ . 11、定積分 dxx x? ? ?? 1 1 21 sin2 的值為 . 12、冪函數(shù) ?? ? ?1 2n n nnx 的收斂域?yàn)? . 三、計(jì)算題（本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分） 13、求極限： x x xx 3)2(lim ??? 14、設(shè)函數(shù) )(xyy? 由參數(shù)方程 Znnt ty ttx ????? ?? ?? ,2,cos1 ,s i n ? 所決定，求 2 2dxyddxdy 15、求不定積分： ? ? dxxx 13 . 16、求定積分： ?1 0 dxe x . 17、設(shè)平面 ? 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 2， 0， 0）， B（ 0， 3， 0）， C（ 0， 0， 5），求經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（ 1， 2， 1）且 與平面 ? 垂直的直線方程 . 29 18、設(shè)函數(shù) ),( xyyxfz ?? ，其中 )(xf 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 yxz???2 . 19、計(jì)算二重積分 ?? D dxdyx 2 ，其中 D 是由曲線 xy 1? ，直線 2, ?? xxy 及 0?y 所圍成的平 面區(qū)域 . 20、求微分方程 2 2 xyxy ?? 的通解 . 四、綜合題（本大題共 2 小題，每小題 10 分，滿分 20 分） 21、求曲線 )0(1 ?? xxy 的切線，使其在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小，并求此最小值 . 22、設(shè)平面圖形由曲線 2xy? ， 22xy? 與直線 1?x 所圍成 . （ 1）求該平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積 . （ 2）求常數(shù) a ，使直線 ax? 將該平面圖形分成面積相等的兩部分 . 五、證明題（本大題共 2 小題，每小題 9 分，滿分 18 分） 23、設(shè)函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?a2,0 )0( ?a 上連續(xù)，且 )()2()0( afaff ?? ，證明：在開(kāi)區(qū)間 ),0( a 上至少存在一點(diǎn) ? ，使得 )()( aff ?? ?? . 30 24、對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，證明不等式： 1)1( ?? xex . 2009 年江蘇省普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試 高等數(shù)學(xué) 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 1、已知 32lim 2 2 ?? ?? ? x baxx x ，則常數(shù) ba, 的取值分別為 （ ） A、 2,1 ???? ba B、 0,2 ??? ba C、 0,1 ??? ba D、 1,2 ???? ba 2、已知函數(shù) 4 23)( 22 ? ??? x xxxf ，則 2?x 為 )(xf 的 A、跳躍間斷點(diǎn) B、可去間斷點(diǎn) C、無(wú)窮間斷點(diǎn) D、震蕩間斷點(diǎn) 3、設(shè)函數(shù) ?? ??? ??? 0,1s in 0,0)( x xx xxf ? 在點(diǎn) 0?x 處可導(dǎo)，則常數(shù) ? 的取值范圍為 （ ） A、 10 ??? B、 10 ??? C、 1?? D、 1?? 4、曲線 2)1( 12??? xxy 的漸近線的條數(shù)為 （ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 5、設(shè) )13ln()( ?? xxF 是函數(shù) )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，則 ??? dxxf )12( （ ） A、 Cx ??46 1 B、 Cx ??46 3 C、 Cx ??8121 D、 Cx ??8123 6、設(shè) ? 為非零常數(shù)，則數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ?? ? ? 1 2n n n ? （ ） A、條件收斂 B、絕對(duì)收斂 C、發(fā)散 D、斂散性與 ? 有關(guān) 31 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 7、已知 2)(lim ?? ?? xx Cx x ，則常數(shù) ?C . 8、設(shè)函數(shù) dttex x t?? 2 0)(? ，則 )( x? ＝ . 9、已知向量 )1,0,1( ???a ， )1,2,1( ???b ，則 ???ba 與 ?a 的夾角為 . 10、設(shè)函數(shù) ),( yxzz? 由方程 12 ??yzxz 所確定，則 xz?? ＝ . 11、若冪函數(shù) )0( 1 2 ?? ? ? axn a n n n 的收斂半徑為 21 ，則常數(shù) ?a . 12、 微分方程 0)2()1( 2 ???? xdyyydxx 的通解為 . 三、計(jì)算題（本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分） 13、求極限： xx x x sinlim 3 0 ?? 14、設(shè)函數(shù) )(xyy? 由參數(shù)方程 ?? ? ??? ?? 32 )1ln( 2 tty tx 所確定，，求 22,dxyddxdy . 15、求不定積分： ? ? dxx 12sin . 16、求定積分： ? ?10 2 2 2 dxxx . 17、求通過(guò)直線 1 22 13 ???? zyx 且垂直于平面 02 ???? zyx 的平面方程 . 18、計(jì)算二重積分 ?? Dyd? ，其中 }2,2,20),{( 22 ??????? yxyxxyxD . 19、設(shè)函數(shù) ),(sin xyxfz? ，其中 )(xf 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 yxz???2 . 32 20、求微分方程 xyy ?? 的通解 . 四、綜合題（本大題共 2 小題，每小題 10 分，滿分 20 分） 21、已知函數(shù) 13)( 3 ??? xxxf ，試求： （ 1）函數(shù) )(xf 的單調(diào)區(qū)間與極值； （ 2）曲線 )(xfy? 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)； （ 3）函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ]3,2[? 上的最大值與最小值 . 22、設(shè) 1D 是由拋物線 22xy? 和直線 0, ?? yax 所圍成的平面區(qū)域， 2D 是由拋物線 22xy? 和 直線 2, ?? xax 及 0?y 所圍成的平面區(qū)域，其中 20 ??a .試求： （ 1） 1D 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體 的體積 1V ，以及 2D 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積 2V . （ 2）求常數(shù) a 的值，使得 1D 的面積與 2D 的面積相等 . 五、證明題（本大題共 2 小題，每小題 9 分，滿分 18 分） 23、已知函數(shù) ?? ? ?? ?? ? 0,1 0,)( xx xexf x ，證明函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0?x 處連續(xù)但不可導(dǎo) . 33 24、證明：當(dāng) 21 ??x 時(shí)， 32ln4 2 ??? xxxx . 2010 年江蘇省普通高校“專轉(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試 高等數(shù)學(xué) 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 1.設(shè)當(dāng) 0 x? 時(shí)，函數(shù) ( ) sinf x x x?? 與 () ng x ax? 是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù) ,an的值為 ( ) A. 1,36an?? B. 1,33an?? C. 1 ,412an?? D. 1,46an?? 2.曲線 2 2 3456xxy ??? ?? 的漸近線共有 ( ) A. 1 條 B. 2 條 C. 3 條 D. 4 條 3.設(shè)函數(shù) 22( ) costxx e tdt??? ，則函數(shù) ()x? 的導(dǎo)數(shù) ()x?? 等于 ( ) A. 2 22 cosxxe x B. 2 22 cosxxe x? C. 2 cosxxe x? D. 2 2cosxex? 4.下列級(jí)數(shù)收斂的是 ( ) A. 1 1n nn? ? ?? B. 21 21n nnn ? ? ??? C. 1 1 ( 1)n n n ? ? ??? D. 2 12nn n? ?? 5.二次積分 11 01 ( , )ydy f x y dx??? 交換積分次序后得 ( ) A. 11 01 ( , )xdx f x y dy??? B. 21 10 ( , )xdx f x y dy??? C. 21 11 ( , )xdx f x y dy??? D. 21 11( , )xdx f x y dy??? 6.設(shè) 3( ) 3f x x x??，則在區(qū)間 (0,1) 內(nèi) ( ) A. 函數(shù) ()fx單調(diào)增加且其圖形是凹的 B. 函數(shù) ()fx單調(diào)增加且其圖形是凸的 C. 函數(shù) ()fx單調(diào)減少且其圖形是凹的 D. 函數(shù) ()fx單調(diào)減少且其圖形是凸的 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 7. 1lim( )1 x x xx?? ? ?? 34 8. 若 (0) 1f? ? ，則 0 ( ) ( )limx f x f xx? ?? ? 9. 定積分 31 21 11x dxx? ??? 的值為 10. 設(shè) (1, 2 , 3), (2 , 5, )a b k??，若 a 與 b 垂直，則常數(shù) k? 11. 設(shè)函數(shù) 2ln 4z x y??，則 10 xydz?? ? 12. 冪級(jí)數(shù) 0 ( 1)n n n xn ? ? ?? 的收斂域?yàn)? 三、計(jì)算題（本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分） 13、求極限 20 11lim( )tanx x x x? ? 14、設(shè)函數(shù) ()y yx? 由方程 2xyy e x???所確定，求 2 2,dy d ydx dx 15、求不定積分 arctanx xdx? 16、計(jì)算定積分 4 0 321x dxx??? 17、求通過(guò)點(diǎn) (1,1,1) ，且與直線 232 53 xt yt zt ???? ???? ??? 垂直，又與平面 2 5 0 xz? ? ? 平行的直線的方程。 18、設(shè) 2 ( , )xz