概率論 課后習(xí)題解答 中國農(nóng)業(yè)出版社#嚴(yán)選材料

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1、 習(xí)題1解答 1. 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間： （1）記錄一個班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（設(shè)以百分制記分）； （2）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)； （3）對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記為“正品”，不合格的記為“次品”，如連續(xù)查出了2件次品就停止檢查，或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果； （4）在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo). 解：（1）以表示該班的學(xué)生人數(shù)，總成績的可能取值為0，1，2，…，100，所以該試驗(yàn)的樣本空間為 . （2）設(shè)在生產(chǎn)第10件正品前共生產(chǎn)了件不合格品，樣本空間為 ， 或?qū)懗? （3）采用0表示檢查到一個次品，以

2、1表示檢查到一個正品，例如0110表示第一次與第四次檢查到次品，而第二次與第三次檢查到的是正品，樣本空間可表示為 . （3）取直角坐標(biāo)系，則有，若取極坐標(biāo)系，則有 . 2．設(shè)、、為三事件，用、、及其運(yùn)算關(guān)系表示下列事件. (1) 發(fā)生而與不發(fā)生； (2) 、、中恰好發(fā)生一個； (3) 、、中至少有一個發(fā)生； (4) 、、中恰好有兩個發(fā)生； (5) 、、中至少有兩個發(fā)生； (6) 、、中有不多于一個事件發(fā)生. 解：(1)或或； (2)； (3)或；(4). (5)或； (6). 3．設(shè)樣本空間，事件，，具體寫出下列

3、事件： (1)；（2）；（3）；（4）. 解：（1）； （2）； （3）； （4）. 4. 一個樣本空間有三個樣本點(diǎn)， 其對應(yīng)的概率分別為， 求的值. 解：由于樣本空間所有的樣本點(diǎn)構(gòu)成一個必然事件，所以 解之得，又因?yàn)橐粋€事件的概率總是大于0，所以. 5. 已知=0.3，=0.5，=0.8，求(1)；(2)； (3). 解：(1)由得 . (2) . (3) 6. 設(shè)=，且，求. 解：由=得 ，從而 7. 設(shè)3個事件、、，，，，，且，求. 解： 8. 將3個球隨機(jī)地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率.

4、解：依題意可知，基本事件總數(shù)為個. 以表示事件“杯子中球的最大個數(shù)為”，則表示每個杯子最多放一個球，共有種方法，故 表示3個球中任取2個放入4個杯子中的任一個中，其余一個放入其余3個杯子中，放法總數(shù)為種，故 表示3個球放入同一個杯子中，共有種放法，故 9. 在整數(shù)0至9中任取4個，能排成一個四位偶數(shù)的概率是多少? 解：從0至9 中任取4個數(shù)進(jìn)行排列共有10×9×8×7種排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)種能成4位偶數(shù). 故所求概率為 . 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到書架上去，試求下列事件的概率：(1)第一卷出現(xiàn)在旁邊；(2)第一卷及

5、第五卷出現(xiàn)在旁邊；(3)第一卷或第五卷出現(xiàn)在旁邊；(4)第一卷及第五卷都不出現(xiàn)在旁邊；(5)第三卷正好在正中. 解：(1)第一卷出現(xiàn)在旁邊，可能出現(xiàn)在左邊或右邊，剩下四卷可在剩下四個位置上任意排，所以. (2)可能有第一卷出現(xiàn)在左邊而第五卷出現(xiàn)右邊，或者第一卷出現(xiàn)在右邊而第五卷出現(xiàn)在左邊，剩下三卷可在中間三人上位置上任意排，所以 . (3){第一卷出現(xiàn)在旁邊}+P{第五卷出現(xiàn)旁邊}-P{第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊}. (4)這里事件是(3)中事件的對立事件，所以 . (5)第三卷居中，其余四卷在剩下四個位置上可任意排，所以. 11. 把2，3，4，5諸數(shù)各寫在一張小紙片上，任取其三而

6、排成自左向右的次序，求所得數(shù)是偶數(shù)的概率. 解：末位數(shù)可能是2或4.當(dāng)末位數(shù)是2(或4)時，前兩位數(shù)字從剩下三個數(shù)字中選排，所以 . 12. 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客.電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率. 解：每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為.事件“沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當(dāng)于“從9層中任取7層，各有一位乘客離開電梯”.所以包含個樣本點(diǎn)，于是. 13. 某人午覺醒來,發(fā)覺表停了, 他打開收音機(jī),想聽電臺報(bào)時,

7、設(shè)電臺每正點(diǎn)是報(bào)時一次, 求他(她)等待時間短于10分鐘的概率. 解:以分鐘為單位, 記上一次報(bào)時時刻為下一次報(bào)時時刻為60, 于是這個人打開收音機(jī)的時間必在 記 “等待時間短于10分鐘”為事件 則有于是 14. 甲乙兩人相約點(diǎn)在預(yù)定地點(diǎn)會面。先到的人等候另一人分鐘后離去，求甲乙兩人能會面的概率． 解:以分別表示甲、乙二人到達(dá)的時刻，那末 ，；若以表示平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，則樣本空間可以用這平面上的邊長為4的一個正方形表示，二人能會面的充要條件是，即事件．所以所求的概率為： 15. 現(xiàn)有兩種報(bào)警系統(tǒng)和，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時，系統(tǒng)有效的概率，系統(tǒng)的有效概率為，在失靈的條件下，有效的概率為

8、，求 (1) 這兩個系統(tǒng)至少有一個有效的概率; (2) 在失靈條件下，有效的概率. 解：設(shè)表示“系統(tǒng)有效”，表示“系統(tǒng)有效”，則 由知. (1) (2) 16. 已知事件發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，以及條件概率=0.8，求和事件的概率. 解：由乘法公式得 所以 17. 一批零件共100個，其中次品有10個．每次從中任取1個零件，取3次，取出后不放回．求第3次才取得合格品的概率． 解：設(shè)表示事件“第次取得合格品”，則 18. 有兩個袋子，每個袋子都裝有只黑球，只白球，從第一個袋中任取一球放入第二個袋中，然后從第二個袋中取出一球，求取得黑球的概率是多少

9、？ 解：設(shè)從第一個袋子摸出黑球A，從第二個袋中摸出黑球?yàn)锽，則 ，，，， 由全概公式知: . 19. 一個機(jī)床有的時間加工零件，其余時間加工零件．加工零件時，停機(jī)的概率是0.3，加工零件時，停機(jī)的概率時0.4，求這個機(jī)床停機(jī)的概率． 解：設(shè)表示“機(jī)床停機(jī)”，表示“加工零件”，表示“加工零件”，則 20. 10個考簽中有4個難簽，3個人參加抽簽考試，不重復(fù)地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后.證明3人抽到難簽的概率相同. 證明：設(shè)甲、乙、丙分別抽到難簽的事件為，則，顯然. 21. 兩部機(jī)器制造大量的同一種機(jī)器零件，根據(jù)長期資料總結(jié)，甲、乙機(jī)器制造出的零件

10、廢品率分別是0.01和0.02．現(xiàn)有同一機(jī)器制造的一批零件，估計(jì)這一批零件是乙機(jī)器制造的可能性比它們是甲機(jī)器制造的可能性大一倍，現(xiàn)從這批零件中任意抽取一件，經(jīng)檢查是廢品．試由此結(jié)果計(jì)算這批零件是由甲生產(chǎn)的概率． 解：設(shè)表示“零件由甲生產(chǎn)”，表示“零件是次品”，則 由貝葉斯公式有 22. 有朋友自遠(yuǎn)方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4．如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是、、，而乘飛機(jī)則不會遲到．結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？ 解： 用表示“朋友乘火車來”，表示“朋友乘輪船來”，表示“朋友乘汽車來”，表示“朋友

11、乘飛機(jī)來”，表示“朋友遲到了”.則 23. 加工一個產(chǎn)品要經(jīng)過三道工序，第一、二、三道工序不出現(xiàn)廢品的概率分別是0.9、0.95、0.8．若假定各工序是否出廢品相互獨(dú)立，求經(jīng)過三道工序而不出現(xiàn)廢品的概率． 解：設(shè)分別表示第一、二、三道工序不出現(xiàn)廢品，則由獨(dú)立性得 24. 三個人獨(dú)立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別是0.2、1/3、0.25．求密碼被破譯的概率． 解：設(shè)分別表示第一、二、三個人破譯出密碼，則 由獨(dú)立性得 25. 對同一目標(biāo)，3名射手獨(dú)立射擊的命中率是0.4、0.5和0.7，求三人同時向目標(biāo)各射一發(fā)子彈而沒有一發(fā)中靶的概率? 解：設(shè)分別表示第一、二

12、、三個射手擊中目標(biāo)，則 由獨(dú)立性得 . 26. 甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊， 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6， 若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率. 解：設(shè)依次表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，分別表示有人擊中飛機(jī)，表示飛機(jī)被擊落，則 由全概率公式，得 27. 證明：若三個事件、、獨(dú)立，則、及都與獨(dú)立． 證明: (1) =. (2). (3)=. 28. 15個乒乓球中有9個新球，6個舊球，第一次比賽取出了3個，用完了放回去，第二次比賽又取出3個，求第二次取

13、出的3個球全是新球的概率． 解：設(shè)=第一次取出個新球，，表示第二次取出3個新球，則 . 29. 要驗(yàn)收一批100件的物品，從中隨機(jī)地取出3件來測試，設(shè)3件物品的測試是相互獨(dú)立的，如果3件中有一件不合格，就拒絕接收該批物品.設(shè)一件不合格的物品經(jīng)測試查出的概率為0.95，而一件合格品經(jīng)測試誤認(rèn)為不合格的概率為0.01，如果這100件物品中有4件是不合格的，問這批物品被接收的概率是多少？ 解： 設(shè)=抽到的3件物品中有i件不合格品，.=物品被接收，則 30. 設(shè)下圖的兩個系統(tǒng)和中各元件通達(dá)與否相互獨(dú)立，且每個元件通達(dá)的概率均為，分別求系統(tǒng)和通達(dá)的概率. 解： 設(shè)分別表示系

14、統(tǒng)與通達(dá), (1)解法一 解法二： (2) 習(xí)題二參考答案 1. 隨機(jī)變量的所有可能取值為：1，2，3，4，5，6，分布律為： 1 2 3 4 5 6 2. (1) ；(2) . 3. 隨機(jī)變量的分布律為： 0 1 2 因?yàn)?，那? 當(dāng)時，， 當(dāng)時，, 當(dāng)時， , 當(dāng)時， . 綜合上述情況得 隨機(jī)變量的分布函數(shù)為： 4. . 5. （1）0.0729；（2）0.00856；（3）0.99954；（4）0.40951. 設(shè)表示設(shè)備被使用的個數(shù) 則

15、 （1） （2） （3） （4） 6. （1）0.321；（2）0.243. 設(shè)X為甲投籃中的次數(shù)，Y為乙投籃中的次數(shù)，則 （1） （2） 7. (1) ；(2) 猜對3次的概率約為，這個概率很小，根據(jù)實(shí)際推斷原理，可以認(rèn)為他確有區(qū)分能力. （1）所求概率為： （2）令試驗(yàn)10次中成功次數(shù)為X，則 猜對3次的概率約為，這個概率很小，根據(jù)實(shí)際推斷原理，可以認(rèn)為他確有區(qū)分能力. 8. (1) ；(2) . 設(shè)X服從泊松分布，其分布率為： （1） （2） 9. 解：此題為P=0.005的n重伯努利試驗(yàn)，設(shè)X為同時發(fā)生故障的臺數(shù)，則 （1）

16、設(shè)需要配備個維修工人，設(shè)備發(fā)生故障不能及時排除的事件是，即 ， 而由于n=200，P=0.005，所以可以用泊松分布近似替代二項(xiàng)分析，λ=np=1。 查泊松分布表得，求得，即配備4人即可。 （2） 因維修工人只有一個，設(shè)備發(fā)生故障不能及時排除的事件是，則有 （3）由于是2人共同維修100臺設(shè)備，這里n=100，P=0.005， λ=np=0.5，則有 設(shè)備發(fā)生故障不能及時排除的事件是，所以 10

17、. 0.2. 11. (1) ，1，；(2) . 12. (1) ； （2）； (3) . 13. (1) ； 當(dāng)時，，所以，； 當(dāng)時，，所以，． 當(dāng)時，，所以 綜合上述得： ． (2) 當(dāng)時，，所以，； 當(dāng)時，，所以，． 當(dāng)時，，所以，． 當(dāng)時，，所以， 綜合上述得： 14. ；. 當(dāng)時，，所以，； 15. 0.9547. 當(dāng)時，，所以，； 當(dāng)時，，所以 ， 器件的壽命大于1500小時的概率： 設(shè)為器件的壽命大于1500小時的個數(shù)，至少有2只壽命大于1500小時的概率 16. 當(dāng)時，，所以，； 當(dāng)時，，所以

18、 ， 分布函數(shù)： 某顧客離開的概率： 以表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，則 ，即，； 17. (1) 0.5328，0.9996，0.6977，0.5；(2) =3；(3) . (1) (2) （3）因?yàn)?，則 即 ，可知，那么 所以查表得，。 18. 應(yīng)允許最大為31.25. 根據(jù)題意，，所以有， 即，從而 故允許最大為31.25. 19. 129.8. 根據(jù)題意，，所以有， 即，從而 20. 0.682. 題意，考生外語成績 其中，且 于是： 又 查表知： 由的單調(diào)增加性，得

19、 因此， 故 查表得， 故 21. 184厘米. 設(shè)車門的最低高度 根據(jù)題意，，所以有， 即，從而 故車門的最低高度為184. 22. (1) 0 4 0.3 0.2 0.4 0.1 處理后立即得到的分布率 0 4 0.2 0.7 0.1 (2) -1 0 -1 0 0.3 0.2 0.4 0.1 處理后立即得到的分布率 -1 1 0.7 0.3 23. (1) -1 1 2 0.3 0.5 0.2 (2) 1 1 2

20、 0.3 0.5 0.2 處理后立即得到的分布率 1 2 0.8 0.2 24. (1) 的密度函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 故 (2) 的密度函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 ； (3) 的密度函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 . 25. 的密度函數(shù)為 (1)設(shè)，則有 。 所以 ，因此當(dāng)及時，由知； 當(dāng)時，由知，所以所求密度函數(shù)為 ； (2) 設(shè)，由于在區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，則有 ，當(dāng)時； 所以所求密

21、度函數(shù)為： (3) . 習(xí)題三參考答案 1. . . 2. (1) 有放回摸取時的分布律為 ， ， 0 1 0 1 (2) 無放回摸取時的分布律為 ， ， 0 1 0 1 3. (1) 有放回摸取時，的邊緣分布律為 0 1 0 1 (2) 無放回摸取時，的邊緣分布律為

22、0 1 0 1 此結(jié)果說明不同的聯(lián)合分布律可以確定相同的邊緣分布律，因此邊緣分布不能唯一確定聯(lián)合分布. 4. (1) 的聯(lián)合分布律為 0 1 -1 0 0 (2) 離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 5. 因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以 以此類推，得到下表 - 1 3 -2 -1 0 6. 的分布律 1 2 3 4 1 2

23、 3 4 (1) 的邊緣分布律 由條件分布率 ， ， 在的條件下，的條件分布律； . . . . 1 2 3 4 P 0 1 0 0 (2) 的邊緣分布律 由條件分布率 ， 在的條件下，的條件分布律； . . . . 1 2 3 4 P 0 0 7. (1)； (2)； (3). 8. (1) (2). 9. 由題意知命中點(diǎn)與靶心(坐標(biāo)原點(diǎn))的距離為，先求的分布函數(shù)， 當(dāng)時，

24、當(dāng)時， 令，則變換的雅可比行列式為 故 . 10. (1) y=2x+1 -1/2 由軸，軸以及直線所圍成的三角形區(qū)域的面積， 因此的概率密度函數(shù)為： ； (2)分布函數(shù)為： (a)當(dāng)時， (b) 當(dāng)時， (c) 當(dāng)時， 綜上所述 . 11. 所以 ；；1. 12. 所以 ；. 13. 所以 ；. 14. 由軸，軸以及直線所圍成的三角形區(qū)域的面積， 因此的概率密度函數(shù)為： ； 所以 . 15. 密度

25、函數(shù) 所以 ；，，. . 16. (1) 因?yàn)? 所以和相互獨(dú)立； (2) 因?yàn)? 所以和不相互獨(dú)立. 17. 1 2 3 1 2 若、獨(dú)立，則 同理可得 ；. 18. 習(xí)題12中 ；. 因?yàn)? 所以和相互獨(dú)立。 習(xí)題13中 ；. 因?yàn)? 所以和不相互獨(dú)立。 習(xí)題12中的和相互獨(dú)立；習(xí)題13中的和不相互獨(dú)立. 19. 由題設(shè)知 ， 又和相互獨(dú)立，故和的聯(lián)合概率密度為 事件{的二次方程有實(shí)根}={判

26、別式}= 故得 . 20. 的概率密度函數(shù)為 和相互獨(dú)立. 21. ，因此和相互獨(dú)立. 22. (1) 若z≤0,則 不可能事件的概率等于0. (2) 若0

27、于是 習(xí)題4解答 1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 0 1 2 求:, 及. 解: 由期望的定義,可得, . 從而 , . 2.把4個球隨機(jī)地投入4個盒子中,設(shè)X表示空盒子的個數(shù),求:和. 解:先求X的概率分布.X的可能取值為0,1,2,3.于是 , , , . 于是 , , . 3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 求:和. 解: . . 4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 求:和. 解 , . 于是 . 5.設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,求. 解: 由于

28、X服從二項(xiàng)分布,所以和.于是有 . 6.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布,求. 解: 因?yàn)閄服從參數(shù)為2的泊松分布,所以,從而 . 7.設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作,一周5個工作日,若無故障,可獲利潤10萬元;發(fā)生一次故障仍可獲利潤5萬元;若發(fā)生兩次故障,或利潤0元;若發(fā)生3次或3次以上故障就要虧損2萬元.求一周內(nèi)的利潤期望. 解: 設(shè)這部機(jī)器內(nèi)有X天發(fā)生故障,一周的利潤為Y萬元,由題意可知,且 則 8.設(shè)某工廠生產(chǎn)的圓盤,其直徑在區(qū)間上服從均勻分布,求該圓盤面積的數(shù)學(xué)期望. 解: 設(shè)X表示圓盤的直徑,由題意可知X的概率

29、密度為 于是該圓盤面積的數(shù)學(xué)期望為 . 9.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 求: (1) ;(2) 的數(shù)學(xué)期望. 解: (1) 由于X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,故. 從而 . （2）. 10.設(shè)隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立的,且服從同一分布,已知的分布律為 .又設(shè),. (1) 求二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律; (2) 求和. 解: (1) (X,Y)的分布律為 (2) 由(X,Y)的分布律可得關(guān)于X的邊緣分布律為 故 . . 11.設(shè)隨機(jī)變量

30、(X,Y)的概率密度為 求:,,和. 解: . . . . 12.設(shè)隨機(jī)變量X,Y分別服從參數(shù)為2和4的指數(shù)分布, (1)求:,. (2)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,求,. 解: (1) 由于X,Y分別服從參數(shù)為2和4的指數(shù)分布,故, . 因此 , 又. 從而 . (2) ,. 13.設(shè),,且X和Y相互獨(dú)立,求隨機(jī)變量的概率密度. 解: 因?yàn)?,且X和Y相互獨(dú)立,于是 , . 即有 . 從而隨機(jī)變量的概率密度為 . 14.設(shè)有10個獵人正等著野鴨飛過來,當(dāng)一群野鴨飛過頭頂時,他們同時開了槍,但他們每個人都是隨機(jī)地,彼此獨(dú)立地選擇自己的目標(biāo).如

31、果每個獵人獨(dú)立地射中其目標(biāo)的概率均為,試求當(dāng)10只野鴨飛來時,沒有被擊中而飛走的野鴨數(shù)的期望值. 解: 設(shè) 飛走的野鴨的期望值可表示為 . 又由于 . 因此 . 15.一個骰子擲10次,求得到的總點(diǎn)數(shù)的期望. 解: 令表示第次擲骰子的點(diǎn)數(shù),于是總點(diǎn)數(shù)的期望可表示為 . 又 . 因此 . 16.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 求:,, . 解: 關(guān)于X和Y的邊緣分布律為 所以 , . 又 因此 . 17.設(shè)

32、隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求:,, . 解: . . 故 . 18.設(shè)隨機(jī)變量服從拉普拉斯分布,其概率密度為 . (1)求和. (2)求與的協(xié)方差，并問與是否不相關(guān)? (3)問與是否相互獨(dú)立？ 解 (1),而 , 所以. (2) , 故X與不相關(guān). (3),又 , 故.可見X與不相互獨(dú)立. 19.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,且和,求二項(xiàng)分布的參數(shù)的值. 解: 由,可得.由,可得. 從而由上解得 . 20.某流水生產(chǎn)線上每個產(chǎn)品不合格的概率為,各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立,當(dāng)出現(xiàn)一個不合格品時即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)

33、時已產(chǎn)生了的產(chǎn)品個數(shù)為X,求和. 解: 記.而X可能取的值為全體自然數(shù).由題意得 . 于是 . 因?yàn)? , 所以 . 又因?yàn)? . 于是 . 故 . 21.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間上服從均勻分布,隨機(jī)變量 求:和. 解: 由題意,X的概率密度為 則 . . 故 . . 故 . 22.設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為 對X獨(dú)立地觀察4次,用Y表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望. 解: 因?yàn)? . 故,得 . 所以 . 23.設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,隨機(jī)變量 求: (1)的分布律; (2) . 解: 由已

34、知,Y的概率密度為 所有可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1). (1). . . . (2) . 24.設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,求. 解: 記,由,知 .. 即 . 所以 . 25.已知隨機(jī)變量，，且和的相關(guān)系數(shù)為．設(shè)． (1)求和； (2)求和的相關(guān)系數(shù)． 解 (1)由題意知, .而 所以 (2) ， 因此和的相關(guān)系數(shù)為０． 26.設(shè)為隨機(jī)事件，且，，，令 ， 求：(1)二維隨機(jī)變量的分布律；(2)和的相關(guān)系數(shù)． 解 又 (1) 故(X

35、,Y)的分布律為 (2) 由(1)易得關(guān)于X,Y的邊緣分布律分別為 故 而由(X,Y)的分布律,可知 故得 27．將一枚硬幣重復(fù)擲次，以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，求和的相關(guān)系數(shù)． 解 因?yàn)?所以.故, 所以X和Y的相關(guān)系數(shù)為 . 習(xí)題5解答 1．設(shè)為隨機(jī)變量，，，試估計(jì)． 解:由切比雪夫不等式,有 . 2．某路燈管理所有20000只路燈，夜晚每盞路燈開的概率為0.6，設(shè)路燈開關(guān)是相互獨(dú)立的，試用

36、切貝雪夫不等式估計(jì)夜晚同時開著的路燈數(shù)在11000-13 000盞之間的概率． 解: 記X為晚上開著的路燈數(shù)，則，因此 , . 由切比雪夫不等式有 . 3．在重伯努利試驗(yàn)中，若已知每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率為0.75，請利用切貝雪夫不等式估計(jì)，使出現(xiàn)的頻率在0.74至0.76之間的概率不小于0.90. 解:假設(shè) , . ,則, ,其中,所以 . 解得. 4．某批產(chǎn)品合格率為0．6，任取10000件，其中合格品在5980件到6020件之間的概率是多少？ 解: 假設(shè)X表示任取10000件產(chǎn)品中,合格品的數(shù)量,則 . 即,

37、根據(jù)中心極限定理,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則 . 5．某保險(xiǎn)公司有3000個同一年齡段的人參加人壽保險(xiǎn)，在一年中這些人的死亡率為0.1%．參加保險(xiǎn)的人在一年的開始交付保險(xiǎn)費(fèi)100元，死亡時家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取10000元．求： (1)保險(xiǎn)公司一年獲利不少于240000元的概率； (2)保險(xiǎn)公司虧本的概率． 解:假設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù),則 . 且,并根據(jù)中心極限定理, 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則　(1)保險(xiǎn)公司一年內(nèi)獲利不少于240000元的概率為: . (2)保險(xiǎn)公司虧本的概率為: . 6．計(jì)算器在進(jìn)行加法時，將每個加數(shù)舍入最靠近它的整數(shù)，設(shè)所有舍入誤差相互獨(dú)立且在上

38、服從均勻分布， (1)將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？ (2)最多可有幾個數(shù)相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.9？ 解: 假設(shè)表示每次計(jì)算時,所得到的誤差,則 ,, 表示1500個數(shù)相加,所得到誤差總和,,根據(jù)中心極限定理, 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, (1) (2)假設(shè)最多可有n個數(shù)相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90: 解得. 7．對敵人的防御地帶進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個均值為2，方差為1.69的隨機(jī)變量．求在100次轟炸中有180到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率． 解:假設(shè) ,

39、 則表示100次轟炸中,擊中目標(biāo)的總次數(shù),則,根據(jù)中心極限定理, 近似服從正態(tài)分布,則有 . 8．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3米，現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取100根，求其中至少有30根短于3米的概率． 解: 設(shè),，則表示100根木柱中,短于3米的數(shù)目,且 ,, . 9．分別用切比雪夫不等式與德莫弗-拉普拉斯定理確定：當(dāng)擲一枚硬幣時，需要擲多少次才能保證出現(xiàn)正面的頻率在0.4和0.6之間的概率不少于0.9？ 解: 設(shè),，則表示擲n次硬幣,正面向上的次數(shù),,這里是出現(xiàn)正面的頻率．下面分別用切比雪夫不等式和德莫弗-拉普拉斯定理估計(jì)n, (1)由切比雪夫不等式:

40、 . . (2)由德莫弗-拉普拉斯定理 . ,即n至少要取68. 10．已知在某十字路口，一周內(nèi)事故發(fā)生數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2.2，標(biāo)準(zhǔn)差為1.4， (1)以表示一年內(nèi)(52周計(jì))此十字路口事故發(fā)生數(shù)的算術(shù)平均，使用中心極限定理求的近似分布，并求； (2)求一年內(nèi)事故發(fā)生數(shù)小于100的概率． 解:(1)經(jīng)計(jì)算,根據(jù)中心極限定理, 近似服從期望為2.2,方差為的正態(tài)分布,即.且 (2)一年內(nèi)事故發(fā)生數(shù)少于100的概率為: 11．為檢驗(yàn)一種新藥對某種疾病的治愈率為80%是否可靠，給10個患該疾病的病人同時服藥，結(jié)果治愈人數(shù)不超過5人，試判斷該藥的治愈率為80%是否可靠．

41、 解:假設(shè),.則,表示10個服用該藥的患者的治愈人數(shù),則根據(jù)德莫弗-拉普拉斯定理X近似服從,所以 . 由此可以看出假定治愈率為80%是不可靠的. 12．一公寓有200個住戶，一戶住戶擁有汽車輛數(shù)的分布律為 0 1 2 0.1 0.6 0.3 問需要多少車位，才能使每輛汽車都有一個車位的概率至少為0.95？ 解：假設(shè)表示第i戶人家擁有的汽車數(shù)，則, ,根據(jù)中心極限定理, 近似服從,所以假設(shè)需要n個車位,才能使每輛汽車都具有一個車位的概率至少為0.95,即 . . 13．甲、乙兩個戲院在競爭1000名觀眾，假設(shè)每個觀眾可隨意選擇戲院，觀眾之間相互獨(dú)立，問每個戲院應(yīng)該設(shè)有多少座位才能保證因缺少座位而使觀眾離去的概率小于1%． 解:假設(shè),.則表示1000名觀眾中選擇甲戲院的人數(shù),根據(jù)題意已知 , 于是 . 根據(jù)德莫弗-拉普拉斯定理,X近似服從.由假設(shè)每個戲院設(shè)有n個座位才能保證因缺少座位而使觀眾離去的概率小于1%,即 . . 57 借鑒材料#