高中數(shù)學(xué)課件第二章《第4節(jié)函數(shù)的奇偶性》.ppt

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結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.,1.奇偶性的定義,[思考探究](1)奇偶函數(shù)的定義域有何特點(diǎn)？,(2)是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？,提示：奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,提示：存在.該函數(shù)的特點(diǎn)是定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且解析式化簡(jiǎn)后等于0.,2.奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性(填“相同”、“相反”).(2)在公共定義域內(nèi)，①兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是，兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是；②兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是.③一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是.(3)若f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝.,相反,奇函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù),奇函數(shù),0,相同,1.設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()A.f(x)f(－x)是奇函數(shù)B.f(x)|f(－x)|是奇函數(shù)C.f(x)－f(－x)是偶函數(shù)D.f(x)＋f(－x)是偶函數(shù),解析：令F(x)＝f(x)＋f(－x).F(－x)＝f(－x)＋f(x)為偶函數(shù)，故D正確.,答案：D,2.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，下列函數(shù)中的奇函數(shù)是()A.y＝2x－3B.y＝－3x2C.y＝ln5xD.y＝－|x|cosx,解析：若f(x)＝ln5x，則f(－x)＝ln5－x＝ln(5x)－1＝－ln5x＝－f(x).∴函數(shù)y＝ln5x為奇函數(shù).,答案：C,3.已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是()A.－B.C.D.－,解析：∵函數(shù)f(x)＝ax2＋bx在x∈[a－1,2a]上為偶函數(shù)，∴b＝0，且a－1＋2a＝0，即b＝0，a＝.∴a＋b＝.,答案：B,4.已知函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，若f(3)－f(2)＝1，則f(－2)－f(－3)＝.,解析：由題意得f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝f(3)－f(2)＝1.,答案：1,5.設(shè)函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝.,解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴由f(－1)＝－f(1)得a＝－1.,答案：－1,判斷函數(shù)奇偶性的一般方法(1)首先確定函數(shù)的定義域，看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.否則，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可用下述方法進(jìn)行判斷：①定義判斷：f(－x)＝f(x)?f(x)為偶函數(shù)，f(－x)＝－f(x)?f(x)為奇函數(shù).,②等價(jià)形式判斷：f(－x)－f(x)＝0?f(x)為偶函數(shù)，f(－x)＋f(x)＝0?f(x)為奇函數(shù).或等價(jià)于：，則f(x)為偶函數(shù)；＝－1，則f(x)為奇函數(shù).(3)對(duì)于分段函數(shù)的奇偶性的判斷應(yīng)分段進(jìn)行.,[特別警示]分段函數(shù)的奇偶性判定，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可依據(jù)x范圍取相應(yīng)的解析式化簡(jiǎn).此類問(wèn)題也可利用圖象作判斷.,判斷下列函數(shù)的奇偶性：,[思路點(diǎn)撥],(1)f(x)=x();(2)f(x)=log2(x+);(3)f(x)=;(4)f(x)=(5)f(x)=x2-|x-a|+2.,[課堂筆記](méi)(1)函數(shù)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞).,∴f(x)是偶函數(shù).,,∵f(-x)=-x(),=f(x).,(2)函數(shù)定義域?yàn)镽.,∴f(x)是奇函數(shù).,∵f(-x)=log2(-x+)=log2=-log2(x+)=-f(x),,(3)由得x＝－，或x＝.∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}.又∵對(duì)任意的x∈{－，}，－x∈{－，}且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).,(4)函數(shù)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞).當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x).∴對(duì)任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x).故f(x)為奇函數(shù).,(5)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2.f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)＝2(|a|－)2＋≠0，∴f(x)是非奇非偶函數(shù).,判斷(或證明)抽象函數(shù)的奇偶性的步驟(1)利用函數(shù)奇偶性的定義，找準(zhǔn)方向(想辦法出現(xiàn)f(－x)，f(x))；(2)巧妙賦值，合理、靈活變形配湊；(3)找出f(－x)與f(x)的關(guān)系，得出結(jié)論.,已知函數(shù)f(x)對(duì)一切x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(1)試判斷f(x)的奇偶性；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12).,[思路點(diǎn)撥],[課堂筆記](méi)(1)顯然f(x)的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又∵函數(shù)f(x)對(duì)一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).∴令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù).(2)∵f(－3)＝a且f(x)為奇函數(shù)，∴f(3)＝－f(－3)＝－a.又∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x、y∈R，∴f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)＝2f(3＋3)＝4f(3)＝－4a.,(1)對(duì)抽象函數(shù)解不等式問(wèn)題，應(yīng)充分利用函數(shù)的單調(diào)性，將“f”脫掉，轉(zhuǎn)化為我們會(huì)求的不等式；(2)奇偶函數(shù)的不等式求解時(shí)，要注意到：奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間上有相反的單調(diào)性.,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x∈R且x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍.,[思路點(diǎn)撥],[課堂筆記](méi)(1)∵對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).,(3)依題設(shè)有f(44)=f(4)+f(4)=2.f(164)=f(16)+f(4)=3,∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,即f((3x+1)(2x-6))≤f(64).（*）,法一：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64).又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴0＜|(3x＋1)(2x－6)|≤64.解上式，得3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.∴x的取值范圍為{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.,法二：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴(*)等價(jià)于不等式組或或,∴3＜x≤5或≤x＜－或－＜x＜3.∴x的取值范圍為{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.,將本例中的條件f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)改為f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，定義域D＝{x|x≠0}改為D＝R，求解第(2)，(3)問(wèn).,∴f(x)為奇函數(shù).,解：(2)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0；令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，,(3)∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，f(12)＝f(4＋8)＝f(4)＋f(8)＝3.又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，∴f(3x＋1＋2x－6)≤f(12)，即f(5x－5)≤f(12).又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)在R上是增函數(shù)，∴5x－5≤12，∴x≤.,函數(shù)奇偶性的判定以及利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)是高考對(duì)函數(shù)奇偶性的常規(guī)考法，09年山東、陜西等省將函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及比較大小等問(wèn)題綜合出現(xiàn)在高考試題中，這是高考新的一個(gè)考查方向.,[考題印證](2009山東高考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A.f(－25)＜f(11)＜f(80)B.f(80)＜f(11)＜f(－25)C.f(11)＜f(80)＜f(－25)D.f(－25)＜f(80)＜f(11),【解析】∵f(x－4)＝－f(x)，∴T＝8.又f(x)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0.∵f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，且f(x)＞0，∴f(x)在[－2,0]上也是增函數(shù)，且f(x)＜0.又x∈[2,4]時(shí)，f(x)＝－f(x－4)＞0，且f(x)為減函數(shù).同理f(x)在[4,6]為減函數(shù)且f(x)＜0.如圖.,∵f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0，∴f(－25)＜f(80)＜f(11).,【答案】D,[自主體驗(yàn)](2009陜西高考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0.則當(dāng)n∈N*時(shí)，有()A.f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)B.f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C.f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)D.f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n),解析：由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0得f(x)在x∈(－∞，0]為增函數(shù).又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在x∈(0，＋∞)為減函數(shù).又f(－n)＝f(n)且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f(n＋1)＜f(n)＜f(n－1)，即f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1).,答案：C,1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()A.y＝－x3，x∈RB.y＝sinx，x∈RC.y＝x，x∈RD.y＝()x，x∈R,解析：y＝－x3為奇函數(shù)且為減函數(shù)；y＝sinx為奇函數(shù)，但不是單調(diào)函數(shù)；y＝x為增函數(shù)；y＝()x不是奇函數(shù).,答案：A,2.(2010泉州模擬)若x∈R、n∈N*，定義：＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，則函數(shù)f(x)＝的奇偶性為()A.是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)B.是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),解析：∵＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，∴＝(x－9)(x－8)(x－7)…(x＋9)＝(x2－92)(x2－82)…(x2－12)x.∴＝(x2－92)(x2－82)…(x2－12)x2，∴f(x)＝是偶函數(shù).,答案：B,3.函數(shù)f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為()A.3B.0C.－1D.－2,解析：f(a)＝a3＋sina＋1，①f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－a3－sina＋1，②①＋②得f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－2＝0.,答案：B,4.已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)－g(x)＝()x，則f(1)，g(0)，g(－1)之間的大小關(guān)系是.,解析：∵f(x)和g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)－g(x)＝()x，①∴f(－x)－g(－x)＝()－x，即－f(x)－g(x)＝2x，∴f(x)＋g(x)＝－2x，②由①②得,答案：f(1)>g(0)>g(－1),5.設(shè)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)＜f(m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.,解析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|).∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|).又當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)是減函數(shù).,答案：,解得,6.已知函數(shù)f(x)＝(a、b、c∈N)是奇函數(shù)，又f(1)＝2，f(2)＜3，求a、b、c的值.,解：∵f(x)為奇函數(shù)∴f(－x)＝－f(x)，即.∴c＝0，即f(x)＝.又∵f(1)＝2，f(2)＜3，即,∴4a＋1＜3a＋3，∴a＜2.又∵a∈N，∴a＝0或a＝1.當(dāng)a＝0時(shí)，b＝，舍去.當(dāng)a＝1時(shí)，b＝1，∴a＝1，b＝1，c＝0.,