高二數(shù)學選修2-1_《空間向量的正交分解及其坐標表示》教學設計

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示（陳菊仙） 一、教學目標 （一）核心素養(yǎng) 通過本節(jié)課的學習，同學們能由平面向量基本定理拓展到空間向量基本定理，能夠?qū)⒖臻g 任意一個向量用三個不共面的向量表示出來，并能熟練應用于空間幾何體中，借助圖形進行空 問向量的運算，用以解決證明與求值問題. （二）學習目標 1 .理解空間向量基本定理及基向量、基底、坐標等概念. 2 .掌握將空間任意一個向量用三個不共面的向量表示出來的基本方法. 3 .培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想和空間想象能力，為立體幾何證明與求值問題作好鋪墊. （三）學習重點 1 .空間向量基本定理及相關概念. 2 .空間任意一個向量用三個不共面的向量表示的方法. 3 .空間向量的分解在立體幾何中的應用. （四）學習難點 1 .深刻理解空間向量基本定理及合理選取基底，得到坐標. 2 .將空間任意向量拆分成三個不共面的向量. 二、教學設計 （一）課前設計 1.預習任務 （1）讀一讀：閱讀教材第92頁至第94頁，填空： 類似于平面向量基本定理，我們有 空間向量基本定理：如果三個向量a, b, c不共面、 —*—Fff 那么對空間任一向量p ,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p xa yb zc. 由此可見，如果三個向量a, b, c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是 { p | p xa yb zc, x,y,z R},這個集合可看作是由向量 a , b , c生成的，我們把{a, b,c}叫 做空間的一個 基底（base, a , b , c都叫做基向量（base vectors .空間任何三個不共面的 向量都可構成空間的一個基底. 由空間向量基本定理可知，空間任意一個向量都可以用三個不共面的向量表示出來. (2)寫一寫： 特別地，設ei,e3為有公共起點o的三個兩兩垂直的單位向量(我們稱它為 單位正 父基底),以e1 , e2 , q的公共起點為原點，分別以e1 , e2 , 4的方向為x軸、y軸、z軸的 正方向建立空間直角坐標系 Oxyz .那么對于空間任一向量6 , 一定可以把它平移，使它的起 點與原點O重合，得到向量OP p.由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組 {x, y,4，使 bKh. 得p xe ye2 ze3 ,我們把x, y, z稱作向量p在單位正交基底el, e2,《下的坐標,記 —. 作p (x, y,z)此時向量8的坐標恰是點P在空間直角坐標系Oxyz中的坐標(x, y,z).這樣我 們就有了從正交基底到直角坐標系的轉(zhuǎn)換. 2,預習自測 (1)已知向量a, b , c是空間的一個基底，則以下向量一定可以與向量 p a b , q a b 構成空間的另一基底的是() A. aB. bC. CD.都不可以 【知識點】空間向量的基底. 【解題過程】由平面向量基本定理知，p a b , q a b不共線，且在向量a , b決定的平 面內(nèi)，而c不在該平面內(nèi)，故p, q, c構成空間的一組基底. 【思路點撥】三個向量構成空間的一組基底的充要條件是它們不共面. 【答案】C. (2)已知O, A, B, C為空間四個點，且向量OA, OB, OC不構成空間的一個基底，則 點 O , A , B , C 一定() A.共線B.不共線C.共面D.不共面 【知識點】空間向量的基底. 【解題過程】向量OA, OB, OC不構成空間的一個基底，則向量 Oa, Ob, OC共面，故點 o , a, b , c共面. 【思路點撥】深刻理解空間向量的基底. 【答案】C. (3)已知平彳T六面體 ABCD A1B1c1D1 ,點E是側(cè)面BB1C1C的中心且AB a , AD b , aA1 c,若 AE xa yb zC,則 x y z 【知識點】空間向量基本定理. 1 —■ 一 【解題過程】: AE AB BE AB (BC BB1) 2 , 1 1 - x 1 y z 二，x y z 2. 2 2 【思路點撥】合理的使用基底表示空間中的任意向量. 【答案】2 . (4)已知向量a , b , c不共面，向量p a b , q 則以p, q, r,為基底，AB . 【知識點】空間向量基底的線性運算. 【解題過程】AB a b c 1 (2a 2b 2c) 2 1-11 p q r . 2 2 2 【思路點撥】將基底a, b, c轉(zhuǎn)化為基底p 1 — 1 —■ 1 1 AB AD AA1 a b c, 2 2 2 2 b c, r c a,若向量 AB a b c 1 2[(a b) (b c) (c a)] q, r來表示. (二)課堂設計 1 .知識回顧 (1)空間向量線性運算法則和運算律； (2)平面向量基本定理； (3)基向量、基底、坐標等概念. 2 .問題探究 探究一 由平面向量基本定理類比空間向量基本定理★ ? 活動① 類比提煉概念 同學們，我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量 p都可以用兩個不共線的向量a , b來表示，這是 平面向量基本定理的核心內(nèi)容，那么，對于空間任意向量，有沒有類似的結(jié)論呢？（搶答） 類似于平面向量基本定理，我們有空間向量基本定理：如果三個向量a, b, c不共面， 那么對空間任一向量6,存在有序?qū)崝?shù)組{x, y, z},使得6 xa yb zc ,由空間向量基本定 理可知，空間任意一個向量都可以用三個不共面的向量表示出來. 【設計意圖】由學生熟悉平面向量基本定理類比空間向量基本定理，從二維拓展到三維，讓學 生體會概念的類比過程. ? 活動② 鞏固理解，深入探究 我們在平面向量基本定理的學習中，有哪些重要的概念呢？（搶答） 由此可見，如果三個向量a, b, C不共面，那么所有空間向量組成的集合就是 {p|p xa yb zc, x, y,z R},這個集合可看作是由向量 a , b , c生成的，我們把{a, b,c}叫 做空間的一個基底（base, a , b , c都叫做基向量（base vector^ . 【設計意圖】通過搶答，使學生深入探究，從而更深刻的理解基底的概念，有利于合理選取基 底來表示空間任意向量. ? 活動③深入探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 空間任何三個不共面的向量都可構成空間的一個基底.但為了方便，我們會選取便于向量 計算的基底.怎么選取才會更合適呢？（搶答） 三個兩兩垂直的單位向量，它們的模長都是 1,兩兩之間的數(shù)量積都是0,運算最簡便. 【設計意圖】通過設問，引導學生進行探究，為找到單位正交基底作出鋪墊，使學生的理解更 加深入. 探究二 探究空間向量的坐標表示★▲ ? 活動① 類比探究，研究性質(zhì) 和平面向量基本定理類似，我們要找出最合適的基底. 特別地，設A, e2, e3為有公共起點O的三個兩兩垂直的單位向量（我們稱它為單位正 交基底），以0 , e2 , q的公共起點為原點，分別以ei , e2 , q的方向為x軸、y軸、z軸的 正方向建立空間直角坐標系 Oxyz . 【設計意圖】通過找出單位正交基底，讓向量和直角坐標系聯(lián)系起來，突破難點. ? 活動② 鞏固理解，深入探究 那么對于空間任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起點與原點 O 重合，得到向量 OP p ．由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x, y, z} ，使得 pxe1ye2ze3 ，我們 把x, y, z稱作向量p在單位正交基底e1 , e2 , e3下的坐標，記作p (x, y,z).此時向量p的 坐標恰是點 P 在空間直角坐標系 Oxyz 中的坐標 (x,y,z)． 這樣我們就有了從正交基底到直角坐標 系的轉(zhuǎn)換． 【設計意圖】引導學生進行思考，在深刻理解定理的同時，指出有序?qū)崝?shù)組{x, y,z} 和坐標 (x, y, z) 的關系，有利于下節(jié)課坐標的計算． 探究三探究空間向量基本定理的具體應用 ?活動① 歸納梳理、理解提升 通過前面的學習，與平面向量類似，空間向量基本定理把向量的線性表達式由二維拓展到 了三維． 同時使用單位正交基底， 確定了空間中任意向量和坐標的對應關系， 從而在下堂課順 利引出坐標表示和運算． 【設計意圖】歸納知識點和定理，學生對概念和方法理解更加深入，培養(yǎng)學生對比、歸類、整 理的意識． ?活動② 互動交流、初步實踐 例 1 已知向量 a ， b ， c 是不共面的三個向量，則以下選項中能構成一個基底的一組向量是 () A． 2a,a b,a 2bB． 2b,b a,b 2a C． a, 2b,b cD ． c, a c,a c 【知識點】合理選取空間向量的基底． 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想． 【解題過程】假設a, 2b, b c共面，則有b c xa y 2b, 解得c ( x)a (1 2y)b ,與a, b , c不共面矛盾, 「.a, 2b, b c不共面，可以構成基底. 【思路點撥】解題的關鍵是判斷三個向量不共面． 【答案】 C． 同類訓練 已知向量 { p ， q ， r }是空間的一個基底， m p 2q ， n 2p q ，則以下向量 一定可以與向量m ， n 構成空間的另一基底的是( ) A. pB. qC. rD.都不可以 【知識點】空間基底的選?。? 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想． 【解題過程】假設r與m p 2q, n 2P q共面， 則有 r xm yn x(p 2q) y(2 p q) ， 與r, p , q不共面矛盾，「. r與m p 2q , n 2 p q不共面，可以構成基底. 【思路點撥】解題的關鍵是判斷三個向量不共面． 【答案】 C． 【設計意圖】不共面的向量可以作基底，讓學生的理解更加深刻． 活動③ 鞏固基礎、檢查反饋 例2 在平行六面體ABCD AiBiCiDi中，試以向量AC, ABi , ADi為空間的一個基底表示 AC1 ． 【知識點】空間向量的線性表示． 【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合思想． 【解題過程】二?平行六面體的六個面都是平行四邊形， ?.AC ABAD, ABi AB AAi, ADiADAA, ??AC ABiADi (AB AD) (ABAA)(AD AAi)2(AB AD AAi)2ACi, i 故 ACi (AC ABi ADi) ． 2 【思路點撥】先將AC ， ABi ， ADi 用側(cè)面上的向量AB ， AD ， AAi 表示，再利用向量加法的 平行四邊形法則和運算律． i 【答案】ACi 2(AC ABi ADi) ． 若向量 a b e2 e3 ， c e1 e3 ， d e1 2e2 3e3 ，向量 e1 ， e3 不 共面，則當 d a b c 時， ． 【知識點】空間向量的線性表示． 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想． 【解題過程】由已知得d ()e1()e2 ()e3e1 2e23e3 1 ,2 ,3,故 2() 1 2 3 6,；3 【思路點撥】將d 表示成e1 ， e2 ， e3 的組合，再利用空間向量基本定理求解． 【答案】 3 ． 【設計意圖】使用不同的基底表示同一個向量，讓學生對向量的分解的運算更加熟練． ?活動④ 強化提升、靈活應用 例3已知點A在基底｛a,b,c｝下的坐標為(8,6,4),其中a i j,b j k,c k i ,則點A 在基底｛i, j,k｝下的坐標為() A． (12,14,10)B ． (10,12,14) C． (14,10,12) D ． (4,2,3) 【知識點】空間向量的坐標表示． 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想． 【解題過程】 OA 8a 6b 4c 8(i j) 6(j k) 4(k i) 12i 14j 10k ． 【思路點撥】先將OA用基底｛a,b,c｝表示，再通過條件轉(zhuǎn)化到用基底｛i,j,k｝表示. 【答案】 A ． 同類訓練設｛i, j,k｝是空間向量的一個正交基底，a 3i 2j k . b 2i 4j 2k ,則向量 a b 的坐標為 ． 【知識點】空間向量的坐標表示及運算． 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想． 【解題過程】 a b (3i 2j k) ( 2i 4j 2k) i 6j k ． 【思路點撥】以 ｛i,j,k｝ 為基底來表示向量a ， b ，計算后再轉(zhuǎn)化為坐標形式． (1,6,1) ． 【設計意圖】基底表示和坐標表示是空間向量基本定理的兩種重要形式，它們之間的相互轉(zhuǎn)化 是非常重要，也是必須掌握的. 3.課堂總結(jié) 知識梳理 (1)空間向量基本定理：如果三個向量 a , b , c不共面，那么對空間任一向量p ,存在有序 實數(shù)組｛x, y,4，使得6 xa yb zC ,即空間任意一個向量都可以用三個不共面的向量表示 出來. (2)我們把｛£,b,C｝叫做空間的一個基底(bas8, a , b , c都叫做基向量(base vectors .空 問任何三個不共面的向量都可構成空間的一個基底. (3)若e；, e2,1為三個兩兩垂直的單位向量(單位正交基底)，那么對于空間任一向量p, 存在有序?qū)崝?shù)組｛x, y, Z｝,使得p xe1 ye2 ze3 ,我們把x, y, z稱作向量p在單位正交基 底e , e2 , q下的坐標，記作p (x,y,z).這就是從正交基底到直角坐標系的轉(zhuǎn)換. 重難點歸納 (1)空間向量基本定理是平面向量基本定理的三維拓展，表示的重點在于合理拆分. (2)選取單位正交基底后，向量就轉(zhuǎn)化到了直角坐標系中，計算更方便. (三)課后作業(yè) 基礎型自主突破 1 .已知｛a,b,C｝是空間的單位正交基底，d 2a 3b C ,則向量d在基底 值6,己下的坐標 為() A. (2,3,1)B. (2, 3, 1) C. ( 2,3,1)D. ( 2, 3, 1) 【知識點】向量數(shù)量基底表示與空間坐標的關系. 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想. 【解題過程】根據(jù)空間坐標的定義，向量a, b, C的系數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組就是向量 d的 空間直角坐標. 【思路點撥】深刻理解空間直角坐標系的概念. 【答案】B. 2.已知｛a,b,c｝是空間的一個基底，若pab,qab,則() a. a, p, q是空間的一組基底 B. b , p , q是空間的一組基底 c. c, p, q是空間的一組基底 D. p, q與a, b, C中的任何一個都不能構成空間的一組基底 【知識點】空間向量基底的概念. 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想. 【解題過程】假設 c xp yq ,即 c x(a b) y(a b) (x y)a (x y)b, 與c與a, b不共面矛盾.故c, p , q不共面. 【思路點撥】三個向量成為空間的一個基底的充要條件是不共面. 【答案】C. 3 .已知點A在基底｛a,b,c｝下的坐標是(2,1,3),其中』4i 2), b 2)3k , c 3k 1 , 則點A在基底｛：, j,k｝下的坐標是. 【知識點】向量的坐標表示. 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想. 【解題過程】OA 2ab 3c 2(4i 2j) (2j 3k) 3(3k j) 8i 31 12k, 故點A在基底｛i,j,k｝下的坐標是(8,3,12) . 【思路點撥】將點A在基底｛5上,耳下的坐標轉(zhuǎn)化為向量，再通過計算，將向量轉(zhuǎn)化為在基 底｛；, j,k｝下的坐標. 【答案】(8,3,12). 4 .下列能使向量mA, mb，MC成為空間的一個基底的關系式是() 1 11 -———— A. OM -OA -OB -OCB. MA MB MC 333 c. OM OA OB Ocd. MA 2MB mc 【知識點】選取基底的判斷. 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想. 【解題過程】對于選項 A, OM xOA yOB zOC中，x y z 1,則有M , A, B, C四點共面，故向量MA, MB , MC共面；對于選項B、D,由空間向量共面定理知，MA在 MB, MC確定的平面內(nèi). 【思路點撥】三個向量能夠成為空間的一個基底的充要條件是不共面. 【答案】C. 5.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M , N分別是AB , PC的中點，且PA AD 1 , AB, AD, AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則 MN的坐 標為. 【知識點】空間向量的坐標表示. 【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合思想. 【解題過程】 1 - AN AP PN AP PC 2 — 1 — —- 1 —- 1 — — AP (PA AC) AP (AB AD), 2 2 2 AM 1 — -AB , ； MN AN AM 2 1 _ 1 1 1 -AP 一 AD ,故 MN 的坐標為(0,-,一). 2 2 2 2 【思路點撥】AB , AD , AP兩兩垂直且長度為1 ,故｛ AB , AD , AP｝為單位正交基底, 所求向量用它們的線性組合表示后，系數(shù)就是該向量的坐標. 1 1 【答案】（052）. 6.在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，M是上底面對角線 A1C1和B1D1的交點，若AB a , AD b, AA1 c ,則BM可表示為（ ） b. 1a ” c 2 2 C. 1a 1b c 2 2 【知識點】空間向量的基底表示. 【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合思想. 1 --—- ——1 1 【解題過程】BM AM AB -(ABAD)AA1AB-AB-ADAA1 . 2 22 【思路點撥】將所求向量拆分為基底的線性組合. 【答案】D. 能力型師生共研 7 .設xab,ybc,zca,且{a,b,C}是空間的一個基底，給出下列向量組： ①{a,b,X},②{X,q,Z},③{b,c,Z},④{X,y,a b c,其中可以作為空間的基底的向量組有 () A.②③④B.①②③C.①②④D.①③④ 【知識點】空間向量的基底. 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想. 【解題過程】: x a b ,x在a , b確定的平面內(nèi)，故{a, b,x}不能作為基底.而{x,y,z}, {b,c,z} , {x, y,a b c}都不共面. 【思路點撥】能夠作為空間的基底的向量組一定不共面. 【答案】A. 8 .已知矩形ABCD , P為平面ABCD外的一點，M , N分別為線段PC, PD上的點， 且 PM 2MC , PN ND ,求滿足 MN xAB yAD zAP 的實數(shù) x , y, z 的值. 【知識點】空間向量基本定理的應用. 【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合思想. 1 —■ —1 -2 -=:： 【解題過程】MN AN AM (AD AP) ( AP AC) 2 33 1 一一1 一2 —一2—1 一1 一211 一 (ADAP)[-AP-(ABAD)]- AB- AD-AP,故 x—，y—，z-. 2 33366366 【思路點撥】先將AN和AM表示出來，再進行向量的運算. -211 【答案】x 2, y 1, z1. 366 探究型多維突破 9 .在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為 ABC的重心，E是BD上一點， BE 3ED ,以｛AB, AC,AD｝為基底，則 GE . 【知識點】空間向量基本定理的應用. 【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合思想. 3 —3 一， 【解題過程】V BE 3ED , a BE - BD -(AD AB), 4 4 一二2 1 ————1 . __?——r 二一 又 AG- 一(ABAC)-(ABAC),「GEAE AGAB BE AG 3 23 —3 ——1111 —1 —3 — AB-(ADAB)-(ABAC)—AB-AC-AD. 431234 【思路點撥】先痛F 和就表示出來，再進行向量的運算. 1——1——3—— 【答案】—AB-AC-AD. 1234 10.已知由高芯｝是空間的一個基底，且OA2e2 e3 , OB 3e1 e2 2e3 , OC e1 e2 q ,試判斷｛OA,OB,OC｝能否作為空間的一個基底.若能，試以此基底表示向量 OD 23 e2 3屋；若不能，請說明理由. 【知識點】空間向量基底的選取. 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想. 【解題過程】假設OA, OB, OC共面，由向量共面的充要條件知， 存在實數(shù)x , y ,使得OA xOB yOC , lri-ir9-1-**1-*1-ir1- 己2a4 x( 3e1 e2 2eg)y(ee2q)( 3x y)e1 (x v)e(2x y)q , ???｛ee©｝是空間的一個基底，「?3xy1 ,x y 2, 2x y 1 ,此方程組無解， 即不存在實數(shù)x, y,使得OA xOB yOC , /. OA , OB, OC不共面， ｛OA,OB,OC｝能作為空間的一個基底.設 OD pOA qOB rOC , b-*rb- h-*b-!»-■" 則 2e e2 3e3 p(e1 2e2 e3) q(鋁 e2 2ea) r(e e2 ea) (p 3q r)e (2p q「心(p 2q r)e3, 「｛e,&©｝是空間的一個基底， ? ? p 3q r 2, 2p qr1, p 2q r3,解得 p 17, q 5, r30, 【知識點】空間向量基本定理，向量共線. 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想. 【解題過程】??? m與n共線，??. n m ,即 xa yb c (a 2© a b 2 c, 由空間向量基本定理，有x 由共線定理, 將向量用基底表示再列式. 4.在平行六面體ABCD AB1C1D1 中，AB a, AD AA1 c, P是AC的中點，M 是CD1的中點，N是C1D1的中點，點Q在AC上，且CQ：QA 用基底｛a,b,c｝表示以下 (1) AP; (2) AM ; (3) AN; (4) AQ . 【知識點】在空間幾何體中用基底表示向量. 【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合思想. 1 — — 1 —■ 【解題過程】(1) AP -(AC AA) -(AB AD AA) 1 - (a b 2 c)； (2) AM 1 2 (AC AD1) 1 —■■ 2(AB 2AD AA) 1 -a 2 1 2c； (3) AN 1 z — 一 (AC1 AD1) 2 1 — 2[(AB AD AAi) (AD AAi)] b c； (4) AQ AC CQ AC 4 — 廠(AA 5 AC) 5ac 4 — 一 AA 5 1 (Ab 5 4 1 — AD) AA1 a 5 5 1 - 4- —b — c . 5 5 【思路點撥】將要求的向量合理拆分，用 c表示出來. 1 1 【答案】(1) 2(a b c)； (2) -a 1 1 ‘ 、 2C； (3) -a b C; (4) 1a 1b 5 5 5.正方體 ABCD A1B1cl D1 中，點 E F分別是底面AC1和側(cè)面CD1的中心, 若 EF AID 0( R),則 . 【知識點】空間幾何體中向量的線性表示. 【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合思想. 【解題過程】設DAa,DCb,DD；C,則ad(ac), 1 -111 -1 — 又 EF DF DE -(bc)[-(ab)c]- a-c, /.EF-AD,故 2 2222 【思路點撥】將EF,與aD用a. b, c表示，可得到兩者的數(shù)乘關系. 【答案】 6.已知｛i, j,k｝是空間的一個基底，設 -* 4- -? -b- -I- + f -b- -fc- a 2i j k , b i 3j 2k , c T 2i d 3i 2j 5k .試問是否存在實數(shù) ,,使d a b c成立？如果存在, 1 3k , 求出 ,的值；如果不存在，請給出證明. 【知識點】平面向量基本定理的應用. 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化思想. 【解題過程】假設存在實數(shù) ，， 則有 3i 2j 5k (2i j k) (i 3j (2 2 )i ( 3 )j ( 2 ，使d a b c成立， 2k) ( 2i j 3k) 3 )k, .?.{][ k}是空間的一個基底, ? .2 2 3, 3 2 , 2 3 5,解得 2, 1 , 3, 故存在. 【思路點撥】先用基底｛i,j,k｝表示向量，再利用空間向量基本定理列出等式求解. 2, 1, 3.