《函數(shù)與圖像》知識點(diǎn)歸納

...wd... 華師大版八年級數(shù)學(xué)下?函數(shù)及其圖像?知識點(diǎn)歸納 一．變量與函數(shù) 1．函數(shù)的定義：一般的，在某個變化過程中有兩個變量x和y，對于x的每一個數(shù)值y都有唯一的值與之對應(yīng)，我們說x叫做自變量，y叫做因變量，y叫做x的函數(shù)。 2．自變量的取值范圍： 〔1〕能夠使函數(shù)有意義的自變量的取值全體。 〔2〕確定函數(shù)自變量的取值范圍要注意以下兩點(diǎn)：一是使自變量所在的代數(shù)式有意義；二是使函數(shù)在實(shí)際問題中有實(shí)際意義。 〔3〕不同函數(shù)關(guān)系式自變量取值范圍確實(shí)定： ①函數(shù)關(guān)系式為整式時自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。 ②函數(shù)關(guān)系式為分式時自變量的取值范圍是使分母不為零的全體實(shí)數(shù)。 ③函數(shù)關(guān)系式為二次根式時自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于或等于零的全體實(shí)數(shù)。 3．函數(shù)值：當(dāng)自變量取某一數(shù)值時對應(yīng)的函數(shù)值。這里有三種類型的問題： 〔1〕當(dāng)自變量的值求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值。 〔2〕當(dāng)函數(shù)值求自變量的值就是解方程。 〔3〕當(dāng)給定函數(shù)值的一個取值范圍，欲求自變量的取值范圍時實(shí)質(zhì)上就是解不等式或不等式組。 二．平面直角坐標(biāo)系： 1．各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征： 〔1〕點(diǎn)p〔x,y〕在第一象限→x＞0,y＞0. 〔2〕點(diǎn)p〔x,y〕在第二象限→x＜0,y＞0. 〔3〕點(diǎn)p〔x,y〕在第三象限→x＜0,y＜0 〔4〕點(diǎn)p〔x,y〕在第四象限→x＞0,y＜0. 2 ．坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征： 〔1〕點(diǎn)p〔x,y〕在x軸上→x為任意實(shí)數(shù)，y=0 〔2〕點(diǎn)p〔x,y〕在y軸上→x=0,y為任意實(shí)數(shù) 3 ．關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征： 〔1〕點(diǎn)p〔x,y〕關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為〔x,-y〕. 〔2〕點(diǎn)p〔x,y〕關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為〔-x,y〕. 〔3〕點(diǎn)p〔x,y〕關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為〔-x,-y〕 4 ．兩條坐標(biāo)軸夾角平分在線的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征： 〔1〕點(diǎn)p〔x,y〕在第一、三象限夾角平分在線→x=y. 〔2〕點(diǎn)p〔x,y〕在第二，四象限夾角平分在線→x+y=0 5．與坐標(biāo)軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征： 〔1〕位于平行于x軸的直線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)一樣。 〔2〕位于平行于y軸的直線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)一樣。 6．點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離： 〔1〕點(diǎn)p〔x,y〕到軸的距離為 ｜y︱. 〔2〕點(diǎn)p〔x,y〕到y(tǒng)軸的距離為∣x∣. 〔3〕點(diǎn)p〔x,y〕到原點(diǎn)的距離為 〔4〕同在x軸上的兩點(diǎn)A〔x1,0〕與B〔x2,0〕之間的距離為AB=|x1-x2| 〔5〕同在y軸上的兩點(diǎn)C〔0,y1〕與D〔0,y2〕之間的距離為CD=|y1-y2| 三．函數(shù)的圖像 函數(shù)圖像上的點(diǎn)與其解析式的關(guān)系 1．函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)p﹙x,y﹚中的x、y滿足函數(shù)關(guān)系式，滿足函數(shù)關(guān)系式的一對對應(yīng)值﹙x,y﹚都在函數(shù)的圖像上。 2．判斷點(diǎn)p﹙x,y﹚是否在函數(shù)圖像上的方法，將這個點(diǎn)的坐標(biāo) ﹙x,y﹚代入函數(shù)關(guān)系式，如果滿足函數(shù)關(guān)系式，那么這個點(diǎn)就在函數(shù)的圖像上，如果不滿足函數(shù)關(guān)系式，那么，這個點(diǎn)就不在函數(shù)的圖像上。 四．一次函數(shù) 〔一〕一次函數(shù)的定義 1．定義:含有自變量的式子為一次整式，即形如式子y＝kx+b(其中k和b為常數(shù)，k≠0)叫做一次函數(shù)。 正比例函數(shù)：在一次函數(shù)y=kx+b中如果b=0即變?yōu)閥=kx(其中k≠0)，這樣的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。 2．注意： 〔1〕由一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義可知; ① 函數(shù)是一次函數(shù)→解析式為y＝kx+b的形式。 ② 函數(shù)是正比例函數(shù)→解析式為y=kx的形式。 〔2〕一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b的構(gòu)造特征： ① k≠0②x的次數(shù)是1③常數(shù)b為任意實(shí)數(shù) 〔3〕正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx的構(gòu)造特征 ① k≠0②x的次數(shù)是1③常數(shù)b=0 3．說明：在y=kx+b中假設(shè)k=0那么y=b﹙b為常數(shù)﹚這樣的函數(shù)叫做常數(shù)函數(shù)，它不是一次函數(shù)。 4．正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系： 正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。 一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)b=0時為正比例函數(shù) 一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)b≠0時一般的一次函數(shù) 〔二〕一次函數(shù)的圖像 1．一次函數(shù)圖像的形狀： 一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，通常稱為直線y=kx+b 正比例函數(shù)y=kx的圖像也是一條直線，稱為直線y=kx 2．一次函數(shù)圖像的主要特點(diǎn): 一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)﹙0，b﹚的直線，正比例函數(shù)y=kx+b的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)﹙0，0﹚的直線 注意：點(diǎn)﹙0，b﹚是直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)。 ① 當(dāng)b＞0時，此時交點(diǎn)在y軸的正半軸上， ② 當(dāng)b＜0時，此時交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上， ③ 當(dāng)b=0時，此時交點(diǎn)在原點(diǎn)，這時的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)。 3．一次函數(shù)圖像的畫法： 根據(jù)兩點(diǎn)能畫一條直線并且只能畫一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖像時，只要先描出兩點(diǎn)，在連成直線即可。 那么，先描出哪兩點(diǎn)比較好呢 選兩點(diǎn)應(yīng)以計算和描點(diǎn)簡單為原那么，一般來說，當(dāng)b≠0時，一般的一次函數(shù)y=kx+b的圖像，應(yīng)選取它與兩個坐標(biāo)軸的交點(diǎn)﹙0，b﹚與﹙-,0﹚；當(dāng)b=0時，畫正比例函數(shù)y=kx的圖像，通常取﹙0，0﹚與﹙1，k﹚兩點(diǎn)，個別情況下可以做些變通，例如畫函數(shù)y=x的圖像，可以取﹙0，0﹚與﹙1，﹚兩點(diǎn)，也可以取﹙0，0﹚與﹙3，2﹚兩點(diǎn)。 4．直線y=kx+b與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 〔1〕令x=0,那么y=b所以直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為﹙0，b﹚ 〔2〕令y=0,那么kx+b=0所以x=- 所以直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為﹙-,0﹚注意：此時直線y=kx+b與x軸，y軸圍成的三角形面積S=×∣-∣×∣b∣ 5．兩直線在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置關(guān)系: 〔1〕兩直線的解析式中當(dāng)k一樣時，其位置關(guān)系是平行，其中一條直線可以看作是另一條平移得到的，平移規(guī)律是“左減右加，上加下減〞 〔2〕兩直線的解析式中當(dāng)b一樣時，其位置關(guān)系是相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為﹙0，b﹚. 〔三〕一次函數(shù)的性質(zhì) 1．正比例函數(shù)的性質(zhì) 〔1〕當(dāng)k＞0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大，直線y=kx從左到右上升。 〔2〕當(dāng)k＜0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小，直線y=kx從左到右下降。 2．一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì) 〔1〕當(dāng)k＞0時，直線y=kx+b從左到右上升，此時y隨x的增大而增大。 〔2〕當(dāng)k＜0時，直線y=kx+b從左到右下降，此時y隨x的增大而減小。 〔3〕當(dāng)b＞0時，直線y=kx+b與y軸正半軸相交。 〔4〕當(dāng)b＜0時，直線y=kx+b與y軸負(fù)半軸相交。 3．直線y=kx+b的位置與k、b的符號之間的關(guān)系 直線y=kx+b的位置是由k與b的符號決定的，其中k決定直線從左到右呈上升趨勢還是下降趨勢，b決定直線與y軸交點(diǎn)的位置是在y軸的正半軸，還是負(fù)半軸，還是原點(diǎn)。k和b綜合起來決定直線y=kx+b在直角坐標(biāo)系中的位置共有六種情況： ①當(dāng)k＞0，b＞0時，直線經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限； ②當(dāng)k＞0，b＜0時，直線經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限； ③當(dāng)k＜0， b＞0時，直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限； ④當(dāng)k＜0，b＜0時，直線經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限； ⑤當(dāng)k＞0，b=0時，直線經(jīng)過第一、三象限； ⑥當(dāng)k＜0，b=0時，直線經(jīng)過第二、四象限。 〔四〕正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式確實(shí)定 1．確定一個正比例函數(shù)就是要確定正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx﹙k≠0﹚中的常數(shù)k;確定一個一次函數(shù)需要確定一次函數(shù)解析式一般形式y(tǒng)=kx+b﹙k≠0﹚中的常數(shù)k和b,解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。 2．待定系數(shù)法： 先設(shè)出待求函數(shù)關(guān)系式﹙其中含有未知的系數(shù)﹚，再根據(jù)條件列出方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法。其中的未知系數(shù)也稱待定系數(shù)，如正比例函數(shù)y=kx中的k，一次函數(shù)y=kx+b中的k和b都是待確定的系數(shù)。 3．用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟： 〔1〕設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式； 〔2〕把條件﹙自變量與函數(shù)的對應(yīng)值﹚代入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組； 〔3〕解方程或方程組，求出待定系數(shù)； 〔4〕將求得的待定系數(shù)的值代回所設(shè)的解析式。 注意：通常正比例函數(shù)解析式設(shè)y=kx，只有一個待定系數(shù)k，一般只需一對x與y的對應(yīng)值即可；一次函數(shù)解析式設(shè)y=kx+b，其中有兩個待定系數(shù)k和b，因而需要兩對x與y的對應(yīng)值，才能求出k和b的值。 五．反比例函數(shù) 〔一〕反比例函數(shù)定義 1．一般的，函數(shù)y=﹙k是常數(shù)，k≠0﹚叫做反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y=kx-1的形式，其中k叫做比例系數(shù)。 2．反比例函數(shù)解析式的主要特征： 〔1〕等號左邊是函數(shù)y,右邊是一個分式，分子是不為零的常數(shù)k,分母中含有自變量x,且x的指數(shù)是1，假設(shè)寫成y=kx-1的形式，那么x的指數(shù)是-1。 〔2〕比例系數(shù)“k≠0〞是反比例函數(shù)定義的重要組成局部。 〔3〕自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)。 〔二〕反比例函數(shù)的圖像 反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以它的圖像與x軸和y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。 〔三〕反比例函數(shù)的性質(zhì) 1．當(dāng)k＞0時，圖像在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左到右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小。 2．當(dāng)k＜0時，圖像在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左到右上升，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大。 〔四〕反比例函數(shù)解析式確實(shí)定 確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)y=中只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對x與y的對應(yīng)值或圖像上一個點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。 〔五〕“反比例關(guān)系〞與“反比例函數(shù)〞的區(qū)別與聯(lián)系 反比例關(guān)系是小學(xué)學(xué)過的概念：如果xy=k﹙k是常數(shù)k≠0﹚，那么x與y這兩個量成反比例關(guān)系，這里x與y既可以代表單獨(dú)的一個字母也可以代表多項式或單項式，例如y+3與x成反比例那么有y+3=,y與x²成反比例，那么y=,成反比例關(guān)系不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)y=中的兩個變量必定成反比例關(guān)系。 〔六〕反比例函數(shù)y=﹙k≠0﹚中的比例系數(shù)k的幾何意義 1．如圖，過雙曲線上一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線PM、PN,所得矩形PMON面積為|k|。 2．連結(jié)PO,那么S△POM=S矩形=|k|。 六．函數(shù)的應(yīng)用 1．利用圖像比較兩個函數(shù)值的大小 在同一直角坐標(biāo)系中的兩個函數(shù)圖像，如果其中一個函數(shù)的圖像在另一個函數(shù)圖像的上方，那么該函數(shù)值就比另一個函數(shù)值大，假設(shè)在下方，那么該函數(shù)值就比另一個函數(shù)值小，而其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是分界點(diǎn)。 2．兩個一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)與二元一次方程組的關(guān)系 如果兩個一次函數(shù)的圖像相交，那么交點(diǎn)坐標(biāo)必定同時滿足兩個函數(shù)解析式，故交點(diǎn)坐標(biāo)是有兩個函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解。 3．一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系 〔1〕一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于0，反映在函數(shù)解析式就是函數(shù)值等于0，那么其橫坐標(biāo)也就是自變量的值為方程kx+b=0的解。 〔2〕一次函數(shù)y=kx+b在x軸上方的圖像，任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于0，反映在函數(shù)解析式就是函數(shù)值y＞0，那么對應(yīng)的橫坐標(biāo)，也就是自變量的值即為不等式kx+b＞0的解集。 〔3〕一次函數(shù)y=kx+b在x軸下方的圖像，任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于0，反映在函數(shù)解析式就是函數(shù)值y＜0，那么對應(yīng)的橫坐標(biāo)，也就是自變量的值即為不等式kx+b＜0的解集。