《平面幾何中的向量方法》導(dǎo)學(xué)案

平面幾何中的向量方法 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1?學(xué)習(xí)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題及其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程2 體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題的有力工具.3.培養(yǎng)運(yùn)算能力、分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. ET問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一 ?在證明幾何命題時(shí)，可先把已知條件和結(jié)論表示 成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算就很容易得出結(jié)論.一般地，利用實(shí)數(shù)與向量的積可以解決 共線、平行、長(zhǎng)度等問(wèn)題，利用向量的數(shù)量積可解決長(zhǎng)度、角度、垂直等問(wèn)題 向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來(lái)，這樣就可以用代數(shù)方程研究幾何問(wèn)題，同時(shí)也可以用 向量來(lái)研究某些代數(shù)問(wèn)題. 向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長(zhǎng)度與三角函數(shù)間的關(guān)系，把向量的數(shù)量積應(yīng)用到三角形中，就 能解決三角形的邊角之間的有關(guān)問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一幾何性質(zhì)及幾何與向量的關(guān)系 設(shè) a=（X], y1），b=（x2，y2），a，b 的夾角為 0. 思考1證明線段平行、點(diǎn)共線及相似問(wèn)題，可用向量的哪些知識(shí)？ 答案可用向量共線的相關(guān)知識(shí)： a#bOa=AbOx1y2—x2y1=0（b^0）. 思考2證明垂直問(wèn)題，可用向量的哪些知識(shí)？ 答案 可用向量垂直的相關(guān)知識(shí)： a 丄 b^a? b=0Ox1x2+y1y2=0. 梳理平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性 運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái). 知識(shí)點(diǎn)二向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟 1. 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 向量問(wèn)題. 2. 通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題 3?把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系. 題型探究 類型一用平面向量求解直線方程 例1 已知 A4BC的三個(gè)頂點(diǎn)A（0，—4），B（4，0），C（—6，2），點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC, CA，AB的中點(diǎn). (1)求直線 DE，EF，F(xiàn)D 的方程； (2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程. 解(1)由已知得點(diǎn)D(- 1, 1), E( - 3, - 1), F(2, - 2),設(shè)M(x, y)是直線DE上任意一點(diǎn), 則 DM||DE. DM=(x+1, y - 1), DE=(-2, - 2). ???(-2)X(x+1)-(-2)X(y- 1) = 0, 即x-y + 2 = 0為直線DE的方程. 同理可求, 直線 EF, FD 的方程分別為 x+ 5y+ 8= 0, x+ y= 0. ⑵設(shè)點(diǎn)N(x, y)是CH所在直線上任意一點(diǎn), 則 CN±AB. ?CN AB = 0. 又CN=(x + 6, y - 2), AB = (4, 4). ? 4(x+ 6)+ 4(y- 2)= 0, 即x + y + 4 = 0為所求直線CH的方程. 反思與感悟 利用向量法解決解析幾何問(wèn)題, 首先將線段看成向量, 再把坐標(biāo)利用向量法則 進(jìn)行運(yùn)算. 跟蹤訓(xùn)練1在△ABC中，A(4, 1), B(7, 5), C(—4, 7),求ZA的平分線所在的直線方程. 解 ABB= (3, 4), ABC= (- 8, 6), 乙A的平分線的一個(gè)方向向量為 G，4) 4 3) 5，5丿 BB AC a^^B + ^^ = |ABB| |ABC| 設(shè)P(x, y)是角平分線上的任意一點(diǎn), 的平分線過(guò)點(diǎn)A, ???所求直線方程為-7(x - 4) - 5(y - 1) = 0. 整理得 7x + y - 29 = 0. 類型二用平面向量求解平面幾何問(wèn)題 例2 已知在正方形ABCD中，E、F分別是CD. AD的中點(diǎn)，BE、CF交于點(diǎn)P.求證：⑴BE 丄 CF； (2)AP=AB. 證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB = 2,則A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), E(1, 2), F(0, 1). 8 ly = 5 即 AP = AB. ??點(diǎn)p的坐標(biāo)為(5，5). 1). (1)\-bE=( - 1, 2), CF=( - 2, ???BE?Cf=( - 1)X( - 2) + 2X( - 1) = 0, ?BE丄CF,即 BE丄CF. (2)設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為(x, y),貝i」FP = (x, y - 1), Fc =(2, 1), ???FP||FC, ?x = 2(y - 1),艮卩 x = 2y - 2, 同理，由BP||BE,得y=- 2x + 4, x = 2y - 2 , 由< 、y =- 2x + 4 , 反思與感悟用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路： (1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟： ①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問(wèn)題向量化. (2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟： ①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系; ④把幾何問(wèn)題向量化. 跟蹤訓(xùn)練2如圖，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線AC上任一點(diǎn)，PE丄AB, PF丄BC,垂足 分別為E, F,連接DP, EF,求證：DP丄EF. 證明 方法一 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1, AE二a(Ovavl), 貝I」EP = AE = a, PF = EB=1 - a, AP = p2a, :Dp. ef=(DA + AP)?(EP + PF) —> —> —> —> —> —> —> —> 二 DA EP + DA PF + AP? EP + AP? PF =1 XaXcos 180° +1X(1-a)Xcos 90° +、f2aXaXcos 45° + \''2aX(1 -a) X cos 45° a + a2 + a(1 - a) — 0. :.DP丄EF,即 DP1EF. 方法二 如圖，以A為原點(diǎn)，AB, AD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1, O = L工2 1- - 1 一 - :DP丄EF,即 DP丄EF. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1. 已知在△ABC中，若AB=a, AC=b,且a?bvO，則△ABC的形狀為( ) A. 鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定 答案A 2. 過(guò)點(diǎn)A(2, 3),且垂直于向量a=(2, 1)的直線方程為( ) A.2x+y—7 = 0 B.2x+y+7 = 0 C.x—2y+4 = 0 D.x—2y—4 = 0 答案A 解析 設(shè) P(x, y)為直線上一點(diǎn)，則 APs,即(x-2)X2 + (y-3)X1=0,即 2x + y -7 = 0. 3.在四邊形ABCD中，若AD+CB=0, AC?BD=0,則四邊形ABCD為( ) A.平行四邊形 B矩形 C.等腰梯形 答案D D.菱形 解析■:AD + CB = 0, :AD = BC,:.四邊形ABCD為平行四邊形. 又?.?AC.BD = 0, :aClbd, 即平行四邊形ABCD的對(duì)角線垂直， :?平行四邊形ABCD為菱形. 4. 如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8, AD=5, CP=3PD, BP=2，貝VAB?AD的 值是 . 答案22 解析 由Cp = 3pd, 得DjP = 1DC = 1A^B, AP=AD + DP=AD + 4AB，BP=AP -ab=ad+4ab -ab=ad -4ab.因?yàn)锳P?BP = 2,所以（AD + 4AB）.（AD -汨）=2,即AD2 -MAD.AB - 16AB2 =2.又因?yàn)锳D2 = 25, ab2 = 64,所以AD = 22. 5. 如圖所示，在AABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB, AC于不同的兩 點(diǎn) M, N, 若AB=mAM, AC=nAN,貝V m+n 的值為 答案2 解析：0是BC的中點(diǎn), 又\'AB = mAM, AC = nAJN, 又■:M, O, N三點(diǎn)共線, m n - :込+2"' -規(guī)律與方法 、 利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題利用向量解決平面幾何 問(wèn)題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；另一種思路 是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo). 課時(shí)作業(yè) 一、選擇題 1.在△ABC中，已知A(4, 1), B(7, 5), C(—4, 7),則BC邊的中線AD的長(zhǎng)是( B. A.2<5 C.3i/5 D?呼 答案B 解析■:BC 的中點(diǎn)為 D(|，6), AD = (-|,5), ^iadi = 525> 2.點(diǎn)o是三角形abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OA?Ob=Ob-6c=6c-OA,則點(diǎn)o 是△abc 的( ) A. 三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B. 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) C. 三條中線的交點(diǎn) D. 三條高的交點(diǎn) 答案 D 解析 -：6 OB = OB? Oc, ：.(6 - OC)OB = o, .?.OB. CA = o, J.OBvAC. 同理 OAxBC, OC±AB, . O 為三條高的交點(diǎn). / —> —> —> —6 3.已知非零向量AB與AC滿足? Bc=0且4", 6 ? ¥=2,則AABC的形狀是（ ） VIABI IACU IAB, 6| |ACI A. 三邊均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰(非等邊)三角形 D. 等邊三角形 答案 D 解析 由|也+叢?BC = O,得角A的平分線垂直于BC, :AB = AC.而塑?蟲(chóng)C二cos〈AB, VIABI IACU IABI IACI Ac>=|, 又〈AB, Ac>e[0°, 180°], :.zBAC = 60°. 故△ABC為等邊三角形，故選D. 4.在四邊形ABCD中，若AC=(1, 2), BD=(-4, 2),則該四邊形的面積為( ) Aa'5 B.2 応 C.5 D.10 答案 C 解析 ■:AC^BD = 0, :ACvBD. ???四邊形ABCD的面積 S 二 2|AC||BD| = 1^''5 X 2込 二 5. 5. 已知點(diǎn) A(—2,—3), B(19, 4), C(—1,—6)，則△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 C 解析 AB = (19, 4) - ( - 2, - 3) = (21, 7), AC = ( - 1, - 6) - ( - 2, - 3) = (1, - 3), —> —> —> —> AB?AC = 21 - 21 =0, :ABvAC, 又IABI*IACI, ?△ABC為直角三角形. 6. 已知點(diǎn)P 是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若CB=APA+PB，其中AGR，則點(diǎn)P 一定在( ) A4ABC的內(nèi)部 B.AC邊所在的直線上 C.AB邊所在的直線上 D.BC邊所在的直線上 答案 B 解析 ■:cB=xpa + pB, ：cB - Pb=aPA, ：CP=apa, ：p, a, c 三點(diǎn)共線， :點(diǎn) P 一定在 AC 邊所在的直線上. 7. 在ABCD中，AD=1,ZBAD=60°, E為CD的中點(diǎn)，若AC?BE=1,則AB的長(zhǎng)為( A.1 B.| C.g D. 答案 B 解析設(shè)AB的長(zhǎng)為a(a > 0), 因?yàn)锳C=AB+AD, bE=bC + ce=Ad - 所以AC?BE = (AB + AD). (AD -尹) =2嵐 AD - 2AB2 + AD2 =- |a2 + !a + 1. 由已知，得-1a2 + 4a + 1 = 1, 又因?yàn)閍>0,所以a = 1,即AB的長(zhǎng)為 二、填空題 8. 已知在矩形ABCD中，AB=2, AD=1, E, F分別為BC, CD的中點(diǎn)，則(AE+AF)?BD = 答案_9 解析 如圖，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則 A(0, 0), B(2, 0), D(0, 1), ■:E, F分別為BC, CD的中點(diǎn)，.衛(wèi)。，1) ,F(1, 1), ，1)， 9. 已知直線ax+by+c=O與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn)，若IABI=誦,則OA?0B= 答案-2 3 _ 解析 如圖，作ODvAB于點(diǎn)D,則在R2A0D中，0A = 1, AD二寸,所以zAOD = 60°, / AOB=120°,所以0A? OB 二 lOAllOBlcos 120 10. 若點(diǎn)M 是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足3AM-AB-AC=0,則AABM與△ABC的面 積之比為 . 答案1 : 3 解析如圖，D為BC邊的中點(diǎn), 貝 OAd = |(Ab+Ac). 因?yàn)?3AM-AB-aC=0， 所以 3AM=2AD, 所以am=|Ad, 三、解答題 11.在等腰梯形ABCD中，已知AB〃DC, AB=2, BC=1，ZABC=60°，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在 線段bc和dc上，且BE=aBC, DF=^DC,求AE.AF的最小值. 解 在等腰梯形 ABCD 中，由 AB = 2, BC=1, zABC = 60°,可得 DC= 1, AE = Ab + ABC, —>■ —>■ 1 —>■ —>■ —>■ —>■ —>■ —>■ af=ad + 0DC,?ae? AF = (AB + !bC)?(AD + — — — 1 — — — — 1 — =AB? ad + AB?$DC + XBC AD + XBC^-^DC 1 1 2 久 17 =2 X 1X cos 60° + 2X9J + AX1X1Xcos 60° + 久或 X cos 120° = $ + 2 + 質(zhì) 由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知ae.af±2 \待冷+存29， 當(dāng)且僅當(dāng)袞二2，即久 9 - 2 一 - 小 最 得 取 2- 3 12?如圖所示，在正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn) A、點(diǎn)B,且AE、CD交于點(diǎn)P.求證：BP丄DC. A 證明 設(shè)PDFCD,并設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a,則有 ——? —? —? 1 —? 2 —? —? 1 —? PA = PD + DA=XCD^3ba=^(3BA - BC) + 3ba 二 3⑵ + 1)Ba - ABC, —= ba-3bc. ?.?PA||EA, + i)BA - abC = kBA - ??.pd=7cd， -— -— -— 1 -— 4 ~— -— 2 ~— -— ? .BP 二 BC + CP 二〒BC + 〒BA, CD 二 3BA-BC, —— —— 1 —— 4 -— 2 -— —— 從而bp? cd 二(7BC + 7BAH3BA - bc) _8_ = 21a2 1 10 ?BP丄 CD, -7。2 - Razcos 60° = 0, :.bp^dc. 13.如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0, 0), B(4, 1), C(6, 8). (1) 求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2) 若DE=2EC, F為AD的中點(diǎn)，求AE與BF的交點(diǎn)I的坐標(biāo). 解⑴設(shè)點(diǎn)D(m, n),因?yàn)锳D = BC, 所以(m, n) = (6, 8) - (4, 1) = (2, 7), 所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2, 7). ⑵設(shè)點(diǎn)I(x, y),則點(diǎn)F坐標(biāo)為(1 由于 D—e = 2EC, E， 故(xE - 2，yE - 7) = 2(6 - xE, 8 - yE),所以彳亍,"3 由于亦=(-3，D，BI = (x - 4, y-1), 所以5(x - 4) =- 3(y - 1), I I 23 14 又AEll1，所以亍二亍, 7 23 解①②得x = 4，y二 則點(diǎn)I的坐標(biāo)為（4尋）. 四、探究與拓展 14.在AABC中，AB=3, AC邊上的中線BD=\5，1 AB=5，則AC的長(zhǎng)為. 答案 2 解析設(shè)/BAC=0, AD = x， 貝i」AC?AB = 2x?3?cos 0 = 5, 5 ? NCOS 作 DE1AB 于點(diǎn) E,由 DE2 + EB2 = BD2, 得(x? sin 0)2 + (3 - x? cos 0)2 = 5, =互+也1, 36 36 1， 解得x?sin 0 = ? ■X2? COS20 + X2? sin20 = X2 ? x= 1 ， ? AC= 2x= 2. 15.已知點(diǎn)A(2,—1).求過(guò)點(diǎn)A與向量a=(5, 1)平行的直線方程. 解 設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x, y), 貝UAP = (x-2, y+1). 由題意知AP||a, 故 5(y＋1)- (x- 2)= 0, 即 x- 5y- 7= 0. 故過(guò)點(diǎn)A與向量a = (5, 1)平行的直線方程為x - 5y - 7 = 0.