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1、第20題 正方體涂漆
由n３(n=2,3，…）個單位正方體可以組成一個體積為n×ｎ×n的正方體(如圖２０—1，由53個單位正方體組成一個體積為５×5×5的正方體），將它的表面涂漆后，再把它分解成原來的單位正方體。問有多少個單位正方體三面涂漆?有多少個兩面涂漆？有多少個一面涂漆？有多少個沒有涂漆？
分析:我們可以通過觀察n=2，3，4,5，6…的特例,編排數(shù)表，尋找模式。
從表20—1可以發(fā)現(xiàn)，對任一個ｎ(n=２，3,4，…)，３面涂漆的單位正方體的個數(shù)都是8,而且這8個單位正方體恰好位于n×n×ｎ的正方體的頂點處。進一步觀察,又將發(fā)現(xiàn)，2面涂漆的單位正方體都位于大正方
2、體的12條棱處。對于n=3，每條棱上恰有1個，所以共有１2個；對于ｎ=4，每條棱上恰有2個,所以共有2×1２＝24個……同樣，１面涂漆的單位正方體都位于大正方體的6個面上,而不在大正方體表面的單位正方體都沒有涂漆。由以上規(guī)律，我們將很容易給出問題的解.
解:因為只有在n×n×ｎ的正方體的8個頂點處的單位正方體才是３面涂漆的，所以共有８個單位正方體3面涂漆。因為只有在n×n×n的正方體的12條棱處且不在頂點處的單位正方體才是２面涂漆的,所以共有１2（n—2）個單位正方體２面涂漆.同樣,１面涂漆的單位正方體都位于ｎ×ｎ×n的正方體的６個面上且不在12條棱處,所以共有6(n—2）2 個單位正方
3、體1面涂漆.余下的(n—2)3個單位正方體都沒有涂漆。
回顧：觀察n=2,3，4，…時，3面涂漆的單位正方體的個數(shù)所組成的數(shù)列（表20-１的第3列)，2面涂漆的單位正方體的個數(shù)所組成的數(shù)列（表20—１的第4列)，1面涂漆的單位正方體的個數(shù)所組成的數(shù)列(表20－１的第5列)，0面涂漆的單位正方體的個數(shù)所組成的數(shù)列（表20—1的第6列），我們發(fā)現(xiàn)，第1個數(shù)列８，8,8，８，8…是一個常數(shù)列，而第2個數(shù)列0,１2，２4,３6，4８,…有什么性質(zhì)呢？如果我們把這數(shù)列的每一項去減它右邊的項。
0—1２—24-３６-４8…
↓ ↓ ↓ ↓
12 12 12 １2…
就得到一個
4、新的數(shù)列12,12，1２，12…，它也是一個常數(shù)列。
如果我們把第3個數(shù)列０，6,24，5４，96，…的每一項去減它右邊的項,
0—６—24—54—９6…
↓ ↓ ↓ ↓
6 18 3０ 4２…
得到一個新的數(shù)列6，18,30,4２,…,再把這數(shù)列的每一項去減它右邊的項，再次得到一個常數(shù)列１２,12,12，….
給定一個數(shù)列｛ａn｝={a0，a1，a2，…,ａn,…｝,我們把
bｎ＝ａn+1—an
叫做數(shù)列｛an｝的差分,把數(shù)列｛ｂn｝=｛a1—ａ0，ａ2-a１,…，ａn—aｎ-1，…｝叫做｛ａn｝的一階差分?jǐn)?shù)列，把數(shù)列｛bｎ}的一階差分?jǐn)?shù)列{b2-b1，
5、b3-ｂ２,…，ｂn＋1-ｂn，…｝叫做{ａn｝的二階差分?jǐn)?shù)列，再把{ａn｝的二階差分?jǐn)?shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列叫做{ａｎ｝的三階差分?jǐn)?shù)列,依次類推.
有了差分?jǐn)?shù)列的概念后，再看上述問題所得到的4個數(shù)列，就會發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：
第2個數(shù)列0，12，24，36，48，…,１2(n-2),…的一階差分?jǐn)?shù)列
１2，1２，12，１２，…
是非零的常數(shù)列，它的通項12(n-2)為ｎ的1次多項式；第3個數(shù)列
0, 6， 24， 54， 9６，…， 6(n-2）２,…
的二階差分?jǐn)?shù)列也是非零的常數(shù)列,它的通項6（n—２)2為n的２次多項式；
對于第4個數(shù)列
0， 1， ８， 27, 64，
6、 125， 21６,…,(n—2)3 ，…,
它的通項(ｎ-2）3為ｎ的3次多項式,那么是否它的三階差分?jǐn)?shù)是一個非零的常數(shù)列呢？
可以看到，第4個數(shù)列的三階差分?jǐn)?shù)列是一個非零的常數(shù)列.
一般地，數(shù)列{ａｎ}的k階差分?jǐn)?shù)列為非零的常數(shù)列的充要條件是它的通項aｎ為n的ｋ次多項式.
利用上述結(jié)果,我們可以從一個數(shù)列的前若干項來猜測它的通項。因為數(shù)列｛ａn｝的通項an不一定是ｎ的k次多項式，而用計算差分所猜測的通項只能是n的多項式,所以對猜測的結(jié)果必須加以證明。例如，我們從上述的第４個數(shù)列的前７項
0，1,8，２7,6４,125，２1６，
發(fā)現(xiàn)它的三階差分?jǐn)?shù)列是一個
7、非零常數(shù)列6，６，6，6。于是,我們立即可以猜測它的通項是n的３次多項式，設(shè)為
aｎ=an３+bn２+cn＋d
這樣就可以用待定系數(shù)法求出a,b,c,d,因為
ａ2＝２3·a＋22·b＋2c+d=0
a3=33·a+32·b+3c+ｄ=1
ａ4=43·a＋42·ｂ＋4c＋d＝8
ａ5＝５3·ａ＋５2·b+5c＋d=27
所以由解上述方程組可得
ａ=1，b=—6,ｃ=12，d=—8
于是，我們從表20-1的前若干項，用差分的方法，可以猜測第4個數(shù)列的通項為
ａn＝n3—6n２＋１２n-８=(n-2）3
因此，可以猜測,一個表面涂漆的體積為n×
8、n×n的正方體中有（n-2）3個單位正方體沒有涂漆。同樣，據(jù)觀察n=2,3,4,5,６的特例,直接利用差分方法，可以猜測,2面涂漆的有１2（n-２）個,1面涂漆的有6（n-2）2個。
根據(jù)一個數(shù)列｛an}的前若干項,利用差分方法，猜測它的通項。在通項ａｎ恰是n的多項式時，這確是一個有效的方法。因為從所猜測的結(jié)果可以受到某些啟示，幫助我們最終解決問題.下面我們再來討論一個問題：
順次計算數(shù)列12,12+２2,12+2２+32，12＋22＋３２＋４２，1２＋2２+32＋42+５2,1２＋22+3２+4２+５2＋62，…的前６項的值,由此猜測
an=１2+2２＋…+ｎ２
求和的結(jié)
9、果。
根據(jù)12=1，12＋２２=5，12＋22＋32=14，１2+２2+3２+42 =30，12+2２+3２＋42+５2=55,1２＋22＋32+42＋52＋62=9１，計算數(shù)列1,5,1４，30，５5，91，…的差分
由于三階差分?jǐn)?shù)列是非零的常數(shù)列,所以猜測an是n的３次多項式an3+bn2＋cｎ+d,利用待定系數(shù)法,還可進一步求出a，b，ｃ，ｄ的值：
解四元一次方程組
得
因此,可以猜測
即
有了上式的猜測,如果我們學(xué)過數(shù)學(xué)歸納法，就可以用數(shù)學(xué)歸納法證明(１)式對任何的自然數(shù)ｎ都成立.
注:差分是“計算方法”（數(shù)學(xué)的一
10、個分支)中的一個重要概念，而計算方法所研究的數(shù)學(xué)問題的求解算法是與計算機密切相關(guān)的。雖然差分非常有用，但這里就不再進一步介紹了。
練習(xí)20
１．用差分方法從給定數(shù)列{aｎ｝的前6項
4，９，1８，31,4８,69，
猜測它的通項（an｝.
2．計算凸n邊形當(dāng)n=3,4,5,6，7時的對角線條數(shù),用差分方法猜測凸n邊形的對角線條數(shù)ａn。
3.
上表中r(n）表示將ｎ寫成若干個數(shù)字1和2之和的方式的個數(shù)(不考慮和式中各數(shù)的前后次序)。例如，
4=1+1＋1+1=1＋１＋2=2＋２，
所以r（4)=3，其中１＋１＋2,1+2＋1,2＋1+1都是同一種方式。
(1)計算ｒ(6)，r(7）和ｒ（8)；
(2)猜測ｒ(ｎ）的公式,并給予證明。
不足之處，敬請諒解
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第20題 正方體涂漆
