2019九年級數(shù)學(xué)上冊 第4章 相似三角形 4.1 比例線段(3)練習(xí)習(xí)題 浙教版

4.1 比例線段(3) (見 B 本 35 頁) A 練就好基礎(chǔ) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．已知兩條線段的長分別為 3 和 12，則它們的比例中項是( B ) A．4 B．6 C．9 D．36 2．一條線段的黃金分割點有( B ) A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．無數(shù)個 3．在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比．已知 這本書的長為 20 cm，則它的寬約為( A ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm 7．已知：線段 a＝1，b＝    5－1 2          2 2   ，  a·c＝  2  ， 第 4 題圖 4．如圖所示，扇子的圓心角為 x，余下的扇形的圓心角為 y，x 與 y 的比通常按黃金比 來設(shè)計，這樣的扇子外形較美觀，若取黃金比為 0.6，則 x 為( B ) A．216° B．135° C．120° D．108° 5．已知線段 AB＝10 cm，點 C 是線段 AB 的黃金分割點(AC>BC)，則 AC 的長為__(5 5－ 5)__cm. 6．據(jù)有關(guān)測定，當(dāng)氣溫處于人體正常體溫(37 ℃)的黃金比值時，人體感到最舒適，則 這個氣溫約為__23__℃.(結(jié)果保留整數(shù)) 3－ 5 ，c＝ . 請證明 b 是 a，c 的比例中項． æ 5－1ö2 3－ 5 3－ 5 證明：∵b2＝ç ÷ ＝ è 2 ø ∴b2＝ac, ∴b 是 a，c 的比例中項． 8．(1)已知 a＝4，c＝9，若 b 是 a，c 的比例中項，求 b 的值； (2)已知線段 MN 是 AB，CD 的比例中項，AB＝4 cm，CD＝5 cm，求 MN 的長．并思考兩題 有何區(qū)別． 解：(1)∵b 是 a，c 的比例中項， ∴a∶b＝b∶c，∴b2＝ac， ∴ b＝± ac.∵a＝4，c＝9, ∴b＝± 36＝±6，即 b＝±6. (2)∵M(jìn)N 是線段， ∴MN＞0. ∵線段 MN 是 AB，CD 的比例中項，∴AB∶MN＝MN∶CD， ∴MN2＝AB CD. ∴MN＝± AB·CD. ∵AB＝4 cm，CD＝5 cm， ∴MN＝± 20＝±2 5，MN 不可能為負(fù)值， 則 MN＝2 5. 通過解答(1)，(2)發(fā)現(xiàn)，b，MN 同時作為比例中項出現(xiàn)，b 可以取負(fù)值，而線段 MN 不可 以取負(fù)值． 9．如圖所示，電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體， 1 如果舞臺 AB 的長為 20 m，那么主持人應(yīng)走到離點 A 約多少米處才最自然得體？(精確到 0.1 m) 第 9 題圖 解：根據(jù)黃金比得 20×(1－0.618)≈7.6(m)． ∵黃金分割點有 2 個， ∴20－7.6＝12.4(m)． 所以主持人應(yīng)走到離 A 點 7.6 m 或 12.4 m 處才最自然得體． B 更上一層樓 能力提升 第 10 題圖 10．美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近 0.618 時，越給人一種美感．如 圖所示，某女士身高 165 cm，下半身長 x 與身高 l 的比值是 0.60，為盡可能達(dá)到好的效果， 她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為( C ) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 11．已知 P 是線段 AB 的黃金分割點，且 PA>PB，若 S1 表示以 PA 為一邊的正方形的面積， S2 表示長為 AB、寬為 PB 的矩形的面積，如圖所示，則 S1 與 S2 的關(guān)系為( C ) A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1＝S2 D．無法比較 第 11 題圖 12．若 b 是 a 和 c 的比例中項，則關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2＋2bx＋c＝0 的根的情況 是__有兩個相等的實數(shù)根__． 13．已知點 P，Q 是線段 AB 的兩個黃金分割點，且 AB＝10 cm，則 PQ 長為__(10 5－ 20)__cm__． 第 14 題圖 2 類推，則 APn 的長度是__ç     ÷  __． BE BC 14．如圖所示，用紙折出黃金分割點：裁一張正方形的紙片ABCD，先折出 BC 的中點 E， 再折出線段 AE，然后通過折疊使 EB 落到線段 EA 上，折出點 B 的新位置 B′，因而 EB′＝ EB.類似地，在 AB 上折出點 B″使 AB″＝AB′.這時 B″就是 AB 的黃金分割點．請你證明這 個結(jié)論． 證明：設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 2， ∵E 為 BC 的中點，∴BE＝1， ∴AE＝ AB2＋BE2＝ 5. 又∵B′E＝BE＝1， ∴AB′＝AE－B′E＝ 5－1. 又∵AB″＝AB′＝ 5－1， ∴AB″∶AB＝( 5－1)∶2. ∴點 B″是線段 AB 的黃金分割點． C 開拓新思路 拓展創(chuàng)新 生 15．勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉． 活中到處 可見黃金分割的美．如圖，線段 AB＝1，點 P1 是線段 AB 的黃金分割點(AP1＜BP1)，點 P2 是 線段 AP1 的黃金分割點(AP2＜P1P2)，點 P3 是線段 AP2 的黃金分割點(AP3＜P2P3)，…，依此 æ3－ 5ön è 2 ø 第 15 題圖 BC AB 16．如圖所示，矩形 ABCD 內(nèi)有一正方形 AEFD，且 ＝ ，問點 E 是線段 AB 的黃金分 割點嗎？ (1)一變：把一根長為 4 cm 的鐵絲折彎成一個矩形框，并使矩形框的寬與長的比為黃金 比，你能求出這個矩形框的面積嗎？ (2)二變：把一根長為 6 cm 的鐵絲折彎成一個矩形框，并使矩形框的寬與長的比為黃金 比，你能求出這個矩形框的長與寬的差嗎？ 解：因為四邊形 AEFD 為正方形，所以 BC＝EF＝AE，因為 ＝ ，所以 ＝ ，所以點 2－x     2 (2)設(shè)矩形框的寬為  y(cm)，則長為 (3－y)  cm，根據(jù)題意得    y 3－y     2 第 16 題圖 BC AB AE AB BE BC BE AE E 是線段 AB 的黃金分割點． x 5－1 (1)設(shè)矩形框的寬為 x (cm)，則長為(2－x) cm，根據(jù)題意得 ＝ ，解得 x＝3 － 5，經(jīng)檢驗，x＝3－ 5是原分式方程的根，所以 2－x＝ 5－1，所以該矩形框的面積為 (3－ 5)( 5－1)＝(4 5－8)cm2. 5－1 ＝ ，解得 y＝ 3 2                  2                                   2     2 2             2         2 9－3 5 9－3 5 3 5－3 3 ，經(jīng)檢驗 y＝ 是原分式方程的根，所以 3－y＝ ＝ ( 5－1)(cm)，所 3 9－3 5 6 5－12 以這個矩形的長與寬的差為 ( 5－1)－ ＝ ＝(3 5－6) cm. 4