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小學(xué)六年級奧數(shù) 第二章 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)

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小學(xué)六年級奧數(shù) 第二章 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)

第二章 循環(huán)小數(shù)與分數(shù) 知識要點 任何分數(shù)化為小數(shù)只有兩種結(jié)果,或者是有限小數(shù),或者是循環(huán)小數(shù),而循環(huán)小數(shù)又分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩類。那么,什么樣的分數(shù)能化成有限小數(shù),什么樣的分數(shù)能化成純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)呢?我們先看下面的分數(shù)。 (1)=0.5,(=)=0.12,(=)=0.425; (2)=,=,=; (3)(=)=,(=)=, (=)=。 結(jié)論:(1)中的分數(shù)都化成了有限小數(shù),其分數(shù)的分母只含有質(zhì)因數(shù)2和5,化成的有限小數(shù)的位數(shù)與分母中含有的2與5中個數(shù)較多的個數(shù)相同。如,因為40=23×5,含有3個2,1個5,所以化成的有限小數(shù)有三位。 (2)中的分數(shù)都化成了純循環(huán)小數(shù),其分數(shù)的分母沒有質(zhì)因數(shù)2和5。 (3)中的分數(shù)都化成了混循環(huán)小數(shù),其分數(shù)的分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5,又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),化成的混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分的位數(shù)與分母中含有2與5中個數(shù)較多的個數(shù)相同。如,因為175=52×7,含有2個5,所以化成混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分有兩位。 于是我們得到一個最簡分數(shù)化為小數(shù)的三個結(jié)論: 1.如果分母只含有質(zhì)因數(shù)2和5,那么這個分數(shù)一定能化成有限小數(shù),并且小數(shù)部分的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2與5中個數(shù)較多的那個數(shù)的個數(shù); 2.如果分母中只含有2與5以外的質(zhì)因數(shù),那么這個分數(shù)一定能化成純循環(huán)小數(shù); 3.如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5,又含有2與5以外的質(zhì)因數(shù),那么這個分數(shù)一定能化成混循環(huán)小數(shù),并且不循環(huán)部分的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2與5中個數(shù)較多的那個數(shù)的個數(shù)。 典例巧解 例1 判斷下列分數(shù)中,哪些能化成有限小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)?能化成有限小數(shù)的,小數(shù)部分有幾位?能化成混循環(huán)小數(shù)的,不循環(huán)部分有幾位? 點撥 上述分數(shù)都是最簡分數(shù),并且32=25,21=3×7,250=2×53,78=2×3×13,117=32×13,850=2×52×17,根據(jù)知識要點的結(jié)論可求解。 解 能化成五位有限小數(shù);能化成三位有限小數(shù);,能化成純循環(huán)小數(shù);能化成混循環(huán)小數(shù),且不循環(huán)部分有一位;能化成混循環(huán)小數(shù),且不循環(huán)部分有兩位。 例2 將下列純循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)。 (1) (2) 點撥 (1)純循環(huán)小數(shù)循環(huán)節(jié)是1位,可將循環(huán)小數(shù)乘以10,再減去此循環(huán)小數(shù),可化為分數(shù)。 (2)純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是3位的,可將循環(huán)小數(shù)乘以1000倍,再減去此循環(huán)小數(shù),可化為分數(shù)。 解 (1) ×10= ① = ② ①-②得 ×(10-1)=8 ×9=8 = (2) ×1000= ① = ② ①-②得 ×(1000-1)=415 = 說明 從以上兩個例子可以總結(jié)出將純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法:分數(shù)的分子是一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù),分母的各位數(shù)都是9,9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。 例如:=;=;==… 例3 將下列混循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)。 (1) (2) 點撥 (1)此題為混循環(huán)小數(shù),循環(huán)節(jié)有1位,小數(shù)點后有兩位。將此循環(huán)小數(shù)乘以100,減去此循環(huán)小數(shù)乘以10,問題可解。 (2)此題為混循環(huán)小數(shù),循環(huán)節(jié)有2位,小數(shù)點后有3位。將此循環(huán)小數(shù)乘以1000,減去此循環(huán)小數(shù)乘以10,問題可解。 解 (1) ×100= ① ×10= ② ①-②得 ×(100-10)=35 == (2) ×1000= ① ×10= ② ①-②得 ×(1000-10)=453 ×990=453 == 說明 此題可以總結(jié)出將混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法:分數(shù)的分子是小數(shù)點后面第一個數(shù)字到第一個循環(huán)節(jié)的末位數(shù)所組成的數(shù)減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差;分母頭幾位數(shù)字是9,末幾個數(shù)字都是0,其中9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同,0的個數(shù)與不循環(huán)的部分的位數(shù)相同。 例如: ===; ===; ===··· 例4 將算式++×+÷的計算結(jié)果,用循環(huán)小數(shù)表示出來。 點撥 直接用循環(huán)小數(shù)作四則運算不方便,可將其先轉(zhuǎn)化為分數(shù),然后再化為小數(shù)。 解 ++×+÷ =++×+÷ =1++ =1.5+ = 例5 1÷7所得的商,小數(shù)點后面第100位的數(shù)字是幾? 點撥 先求出1÷7的商,找出商的循環(huán)節(jié)。再觀察循環(huán)節(jié)中有幾個數(shù)位,然后看100中有幾個循環(huán)節(jié)、余幾,余幾就是循環(huán)節(jié)的第幾個數(shù)字。 解 1÷7=0.142857142857… = 循環(huán)節(jié)有6個數(shù)字,100÷6=16……4。 由于余數(shù)是4,可知小數(shù)點后面第100位上的數(shù)字,居第16個周期后,即第17個周期的第4個數(shù)字8。 答:小數(shù)點后面第100位上的數(shù)是8。 說明 在某些數(shù)學(xué)問題的計算中,經(jīng)常也會出現(xiàn)周期現(xiàn)象,如果找到了周期,就可以使較難的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題。 例6 循環(huán)小數(shù)與在小數(shù)點后第多少位時,首次在該位的數(shù)字都是6? 點撥 由于第一個小數(shù)是混循環(huán)小數(shù),并且小數(shù)的循環(huán)節(jié)有7位,所以數(shù)字6出現(xiàn)的位數(shù)被7除余2;而第二個小數(shù)也是混循環(huán)小數(shù),并且小數(shù)的循環(huán)節(jié)有6位,所以數(shù)字6出現(xiàn)的位數(shù)被6除余1。同時被7除余2且被6除余1的數(shù),加上5以后就應(yīng)該能同時被6和7整除。問題易解。 解 若使循環(huán)小數(shù)與都同時出現(xiàn)“6”,則需同時被7除余2且被6除余1,加上5后能同時被6和7整除,則這樣的數(shù)最小的一個是: 6×7-5=37 答:在小數(shù)點后第37位時,首次在該位的數(shù)字都是6。 例7 化簡:。 點撥 題目是繁分數(shù)化簡,可是分子、分母中又有循環(huán)小數(shù),可以先將循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù),然后化簡。 解 = = = = = = 例8 在循環(huán)小數(shù)中,移動表示循環(huán)節(jié)的小圓點,使得新的循環(huán)小數(shù)的第100位數(shù)字是5,新的循環(huán)小數(shù)是多少? 點撥 在中,顯然后一個小圓點不能動,前一個小圓點的位置應(yīng)使“5”被包含在循環(huán)節(jié)中,用枚舉法。如果前一個小圓點加在“5”的上面,那么一個循環(huán)節(jié)有3位數(shù),(100-4)÷3=32,第100位是7。同理可知,如果前一個小圓點加在“4”、“2”或“1”的上面,那么第100位都不是“5”。如果前一個小圓點加在“3”的上面,那么一個循環(huán)節(jié)有5位數(shù),(100-2)÷5=19……3,第100位正好是5。 解 由上面的分析可知正確的答案為。 例9 給小數(shù)0.7082169453填上表示循環(huán)節(jié)的兩個點,使其變成循環(huán)小數(shù)。已知小數(shù)點后第100位上的數(shù)字是5,求這個循環(huán)小數(shù)。 點撥 小數(shù)點后第100位是5,第101位就是3。從小數(shù)點后第11位到101位的91位是若干個完整的循環(huán)節(jié),所以循環(huán)節(jié)位數(shù)應(yīng)是91的約數(shù),這個約數(shù)不應(yīng)小于2,不大于10。由91=7×13,可以推知循環(huán)節(jié)位數(shù)是7。 解 由上面的分析可知這個循環(huán)小數(shù)應(yīng)是。 例10 純循環(huán)小數(shù)寫成最簡分數(shù)時,分子與分母之和是58。請寫出這個循環(huán)小數(shù)。 點撥 化為分數(shù)時是,當化為最簡分數(shù)時,因為分母大于分子,所以分母大于58÷2=29,即分母是大于29的兩位數(shù)。由999=3×3×3×37,推知999大于29的兩位數(shù)約數(shù)只有37,所以分母是37,分子是58-37=21。 解 ∵== ∴分母是37。 則分子為58-37=21。 ∴ ==, 這個循環(huán)小數(shù)是。 解題技巧 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)競賽的重要內(nèi)容之一。 在學(xué)習這部分內(nèi)容時,必須要掌握純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法(如例2、例3),而且還要特別細心,不要輕視和馬虎。要根據(jù)實際情況,采取靈活有效的方法。 競賽能級訓(xùn)練 A 級 1.(第九屆“華羅庚金杯”邀請賽試題)計算×(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)。 2.(明心奧數(shù)思維能力競賽試題)設(shè)a=,b=,c=,d=,則a,b,c,d的平均數(shù)是( )。 3.(重慶市思維競賽試題)+++=( )。 4.(江蘇省聯(lián)賽試題)1除以66的商,從小數(shù)點右邊開始的第1位到第100位的各個數(shù)位上的數(shù)字相加的和是( )。 5.將下列分數(shù)化為循環(huán)小數(shù),并求出小數(shù)點后第100位上的數(shù)字。 (1) (2) (3) (4) 6.在下列混合循環(huán)小數(shù)中,移動循環(huán)節(jié)的第一個圓點,使新產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)盡可能大。 (1) (2) (3) 7.小馬虎寫了下面一個錯誤的不等式。其實不等式是正確的,但是小馬虎把四個循環(huán)小數(shù)中表示循環(huán)節(jié)的循環(huán)點都寫丟了,請你幫他補上,使得不等式成立。 0.1998>0.1998>0.1998>0.1998 8.在循環(huán)小數(shù)中,最少從小數(shù)點右側(cè)的第幾位開始到第幾位為止的數(shù)字和等于447? B 級 1.純循環(huán)小數(shù)=,這個最簡分數(shù)是( )。 2.假定n是一個自然數(shù),d是1~9中的一個數(shù)值,已知=,求n。 3.循環(huán)小數(shù)與在小數(shù)點后第多少位時,首次在該位的數(shù)字都是6? 4.計算下列各題: (1) (2) 5.對于每一個三位數(shù),我們定義一個它的“生成數(shù)”。從下面的例子可以看出“生成數(shù)”的定義:123的“生成數(shù)”是,450的“生成數(shù)”是,600的“生成數(shù)”是6……,以此類推,那么從100開始到999為止,所有三位數(shù)的“生成數(shù)”的和是( )。 能力測試 一、選擇題(每題4分,共8分) 1. 3.141717…是( )。 A.純循環(huán)小數(shù) B.混循環(huán)小數(shù) C.無限小數(shù) D.有限小數(shù) 2.最小的合數(shù)除最小的質(zhì)數(shù),商是( )。 A.整數(shù) B.循環(huán)小數(shù) C.有限小數(shù) D.無限不循環(huán)小數(shù) 二、填空題(每題3分,共12分) 1.比較0.6182,,,,的大小 。 2.+-= 。 3. 如果分母中只含有2與5以外的質(zhì)因數(shù),那么這個分數(shù)一定能化成( )小數(shù)。 4.如果分母中只含有質(zhì)因數(shù)2和5,那么這個分數(shù)一定能化成( )小數(shù)。 三、解答題(共80分) 1.將下列循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)。(每題3分,共36分) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 2.計算下面各題(結(jié)果表示為分數(shù)和小數(shù)兩種形式)。(每題3分,共24分) (1)+ (2)- (3)× (4)÷ (5)++ (6)-+ (7)(-)× (8)(+)÷ 3.已知=,問:最少從小數(shù)點右面第幾位開始,到第幾位為止的數(shù)字之和等于20007(5分) 4.把整數(shù)部分是0、循環(huán)節(jié)位數(shù)是3的純循環(huán)小數(shù)化成最簡真分數(shù)后,分母是一個兩位數(shù)。這樣的最簡真分數(shù)有多少個?(5分) 5.某人將乘一個數(shù),誤把寫成2.46,結(jié)果與正確答案相差2.46。正確答案應(yīng)是多少?(5分) 6.循環(huán)小數(shù)與在小數(shù)點后第多少位時,首次在該位的數(shù)字都是3? 7

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