中考數(shù)學(xué)模擬試卷解析版

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1、 中考數(shù)學(xué)模擬試卷 一．選擇題（共 10 小題） 1．tan30°＝（ ） A． B． C． D．1 2．黃石農(nóng)科所在相同條件下經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)蠶豆種子的發(fā)芽率為 97.1%，請估計(jì)黃石地區(qū) 1000 斤蠶豆種子中不能發(fā)芽的大約有（ ） A．971 斤 B．129 斤 C．97.1 斤 D．29 斤 3．如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開圖，則該幾何體是（ ） A．正方體 B．長方體 C．三棱柱 D．四棱錐 4．如圖，AB∥CD，∠B＝35°，∠DCE＝75°，則∠ACB 的大小為（ ） A．50° B．60° C．70° D．80°

2、 5．如圖，點(diǎn) A，B，C 在⊙O 上，若 OB＝3，∠ABC＝60°，則劣弧 AC 的長為（ ） A．π B．2π C．3π D．4π 6．如圖，數(shù)軸上四點(diǎn) O，A，B，C，其中 O 為原點(diǎn)，且 AC＝2，OA＝OB，若點(diǎn) C 表示的數(shù)為 x，則點(diǎn) B 表示的數(shù)為（ ） A．﹣（x+2） B．﹣（x﹣2） C．x+2 D．x﹣2 7．甲、乙兩位同學(xué)攀登一座 450 米高的山，甲同學(xué)攀登速度比乙同學(xué)快 1 米/分鐘，乙同 學(xué)比甲同學(xué)遲 15 分鐘到達(dá)頂峰．設(shè)甲同學(xué)攀登速度為 x 米/分，則可列方程（ ） 1 2 2 2 2 2 2 2

3、 A． C．  B． D． 8 ．已知一次函數(shù) y ＝kx+1 （k＜0 ）的圖象與正比例函數(shù) y ＝ mx（m＞0 ）的圖象交于點(diǎn) 1 2 （ ），則不等式  的解集為（ ） A． B． C． D．0＜x＜2 9．如圖，在四邊形 ABCD 中，∠B＝60°，∠D＝120°，BC＝CD＝a，則 AB﹣AD＝（ ） A． B．  C．a(chǎn)  D． 10．關(guān)于 x 的二次函數(shù) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0），在某次數(shù)學(xué)研究課上得到以下 結(jié)論： ① 當(dāng) k＝1 時(shí)，二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)

4、為（0，﹣2）； ② 當(dāng) k＜0 時(shí)，二次函數(shù) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）圖象對稱軸在直線 x＝ 左 側(cè)； ③ 當(dāng) k＜0 時(shí)，二次函數(shù) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）圖象在 x 軸上截得線段長小 于 ； ④ 當(dāng) k＞0 時(shí)，點(diǎn) M（x ，y ）是二次函數(shù) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）圖象上一點(diǎn)， 0 0 若 ＜x ＜1，則 y ＜0； 0 0 則以上研究正確的是（ ） A．①③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 二．填空題（共 6 小題） 11 ．分解因式：a ﹣ab＝ ． 12 ．從﹣

5、 ，0， ，π，3.5 這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)，則抽到無理數(shù)的概率為 ． 13．已知 x＝ ，y＝﹣ ，則 x +xy+y ＝ ． 14．如圖，AC 是⊙O 的直徑，弦 BD⊥AO，垂足為點(diǎn) E，連接 BC，過點(diǎn) O 作 OF⊥BC，垂足為 2 F，若 BD＝8cm，AE＝2cm，則 OF 的長度是  cm． 15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y＝﹣x+3 過點(diǎn) A（5，m）且與 y 軸交于點(diǎn) B，把點(diǎn) A 向左平移 2 個(gè)單位，再向上平移 4 個(gè)單位，得到點(diǎn) C．過點(diǎn) C 且與 y＝2x 平行的直線交 y 軸于點(diǎn) D．直線 AB

6、 與 CD 交于點(diǎn) E，將直線 CD 沿 EB 方向平移，當(dāng)平移到經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)，直 線 CD 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ． 16．如圖，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，AC，BD 交于點(diǎn) O．以點(diǎn) B 為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 矩形 ABCD，得到矩形 BEFG，點(diǎn) A，D，C 的對應(yīng)點(diǎn)分別為 G，F(xiàn)，E，連接 OG，OF，則在旋 轉(zhuǎn)過程中△OGF 的面積最大值為 ． 三．解答題（共 7 小題） 17．《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．問人數(shù)、 羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出 5 錢，還差 45

7、錢；若每人出 7 錢，還差 3 錢．問合伙人、羊價(jià)各是多少？ 設(shè)合伙人為 x 人，羊價(jià)為 y 錢，根據(jù)題意甲、乙兩位同學(xué)得到如下方程組： 甲 同學(xué)： 乙 同學(xué)： 請你判斷哪位同學(xué)所列方程組正確，并幫助解答． 3 2 2 18．如圖，木工師傅在板材邊角處作直角時(shí)，往往使用“三弧法”，其作法是：①作線段 AB， 分別以 A，B 為圓心，以 AB 長為半徑作弧，兩弧的交點(diǎn)為 C；②以 C 為圓心，仍以 AB 長 為半徑作弧交 AC 的延長線于點(diǎn) D；③連接 BD，BC．根據(jù)以上作法完成以下問題： （1）求∠CBD 的度數(shù)； （2）試

8、說明：sin A+sin D＝1 的理由． 19．《中學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定學(xué)生體質(zhì)健康等級標(biāo)準(zhǔn)為：86 分及以上為優(yōu)秀；76 分﹣ 85 分為良好；60 分﹣75 分為及格；59 分及以下為不及格．某校從九年級學(xué)生隨機(jī)抽取 了部分學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測試，得分情況如圖： 完成以下問題： （1） 在抽取的學(xué)生中不及格人數(shù)所占的百分比 ； （2） 小明按以下方法計(jì)算出抽取的學(xué)生平均分：（90+78+66+42）÷4＝69．根據(jù)所學(xué)統(tǒng) 計(jì)學(xué)知識判斷小明的算法是否正確．若不正確，寫出正確的算式（不需結(jié)果）． 20．如圖，⊙O 的圓心 O 在 Rt△ABC 的直角邊

9、 AC 上，⊙O 經(jīng)過 C，D 兩點(diǎn)，與斜邊 AB 交于 點(diǎn) E，連接 BO，ED，有 BO∥ED，作弦 EF⊥AC 于點(diǎn) G，連接 DF （1） 判斷直線 AB 與⊙O 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2） 若⊙O 的半徑為 5，sin∠DFE＝ ，求 EF 的長． 4 2 2 2 21．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，△ABC 的面積為 10，設(shè) AC＝x，BC＝y(tǒng) （1） 求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （2） 令 x+y＝m， ① 當(dāng) m＝12 時(shí)，求△ABC 的周長； ② 求 m 的最小值． 2

10、2．如圖，P（m，n）是拋物線 y＝﹣ +1 上任意一點(diǎn)，l 是過點(diǎn)（0，2）且與 x 軸平行的 直線，過點(diǎn) P 作直線 PH⊥l，垂足為 H，PH 交 x 軸于 Q． （1） 【探究】填空：當(dāng) m＝0 時(shí)，OP＝ ，PH＝ ；當(dāng) m＝4 時(shí)，OP＝ ， PH＝ ． （2） 【證明】對任意 m，n，猜想 OP 與 PH 的大小關(guān)系，并證明你的猜想． （3） 【應(yīng)用】當(dāng) OP＝OH，且 m≠0 時(shí)，求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)． 23．某次數(shù)學(xué)研究課上師生共同研究以下問題，請幫助完成： 特殊研究：如圖 1，在正方形 ABCD 中，E，F(xiàn) 是正方形內(nèi)兩點(diǎn)，BE∥DF，EF⊥B

11、E． （1）若 BE＝DF，求證：EF 與 BD 互相平分． （2）求證：（BE+DF） +EF ＝2AB 一般應(yīng)用：如圖 2，若 AB＝4，點(diǎn) P 為正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且∠DPB＝135°， 4 ，求 PD 的長．  BP+2PD＝ 5 6 參考答案與試題解析 一．選擇題（共 10 小題） 1．tan30°＝（ ） A． B． C． D．1 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解． 【解答】解：tan30°＝ 故選：A．  ， 2．黃石農(nóng)科所在相同條件下經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)蠶豆種子的發(fā)芽率為

12、97.1%，請估計(jì)黃石地區(qū) 1000 斤蠶豆種子中不能發(fā)芽的大約有（ ） A．971 斤 B．129 斤 C．97.1 斤 D．29 斤 【分析】根據(jù)蠶豆種子的發(fā)芽率為 97.1%，可以估計(jì)黃石地區(qū) 1000 斤蠶豆種子中不能發(fā) 芽的大約有多少，本題得以解決． 【解答】解：由題意可得， 黃石地區(qū) 1000 斤蠶豆種子中不能發(fā)芽的大約有：1000×（1﹣97.1%）＝1000×0.029＝ 29 斤， 故選：D． 3．如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開圖，則該幾何體是（ ） A．正方體 B．長方體 C．三棱柱 D．四棱錐 【分析】由展開圖得這個(gè)幾何體

13、為棱柱，底面為三邊形，則為三棱柱． 【解答】解：由圖得，這個(gè)幾何體為三棱柱． 故選：C． 4．如圖，AB∥CD，∠B＝35°，∠DCE＝75°，則∠ACB 的大小為（ ） 7 A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】直接利用平行線的性質(zhì)結(jié)合平角的定義得出答案． 【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°， ∴∠BCD＝35°， ∵∠DCE＝75°， ∴∠ACB＝180°﹣75°﹣35°＝70°． 故選：C． 5．如圖，點(diǎn) A，B，C 在⊙O 上，若 OB＝3，∠ABC＝60°，則劣弧 AC 的長為（

14、） A．π B．2π C．3π D．4π 【分析】連接 OA、OC，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，根據(jù)弧長的公式計(jì) 算即可． 【解答】解：連接 OA、OC，如圖所示： 則 OA＝OA＝OB＝3， ∵∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∴劣弧 AC 的長為 故選：B．  ＝2π； 6．如圖，數(shù)軸上四點(diǎn) O，A，B，C，其中 O 為原點(diǎn)，且 AC＝2，OA＝OB，若點(diǎn) C 表示的數(shù)為 x，則點(diǎn) B 表示的數(shù)為（ ） 8 A．﹣（x+2） B．﹣（x﹣2） C．x+

15、2 D．x﹣2 【分析】直接利用 AC＝2，點(diǎn) C 表示的數(shù)為 x，得出 AO 的長，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：∵AC＝2，點(diǎn) C 表示的數(shù)為 x， ∴AO＝2+（﹣x）＝2﹣x＝﹣（x﹣2）， ∵OA＝OB， ∴點(diǎn) B 表示的數(shù)為：﹣（x﹣2）． 故選：B． 7．甲、乙兩位同學(xué)攀登一座 450 米高的山，甲同學(xué)攀登速度比乙同學(xué)快 1 米/分鐘，乙同 學(xué)比甲同學(xué)遲 15 分鐘到達(dá)頂峰．設(shè)甲同學(xué)攀登速度為 x 米/分，則可列方程（ ） A． C．  B． D． 【分析】設(shè)甲同學(xué)攀登速度為 x 米分，根據(jù)乙同學(xué)比甲同

16、學(xué)遲 15 分鐘到達(dá)頂峰，列出方 程即可． 【解答】解：設(shè)甲同學(xué)攀登速度為 x 米/分，可得： 故選：B．  ， 8 ．已知一次函數(shù) y ＝kx+1 （k＜0 ）的圖象與正比例函數(shù) y ＝ mx（m＞0 ）的圖象交于點(diǎn) 1 2 （ ），則不等式  的解集為（ ） A． B． C． D．0＜x＜2 【分析】將點(diǎn)（ ）代入 y ＝kx+1，得出 m＝ k+1，即 m＝k+2，再把 m＝k+2 1 代入不等式組 ，得到 ，解此不等式組即可． 【解答】解：∵一次函數(shù) y ＝kx+1（k＜0）的圖象過點(diǎn)（ 1 ∴ m＝

17、 k+1， ∴m＝k+2，  ）， 9 ∴不等式組 解得 ＜x＜2． 故選：A．  即為 ， 9．如圖，在四邊形 ABCD 中，∠B＝60°，∠D＝120°，BC＝CD＝a，則 AB﹣AD＝（ ） A． B． C．a(chǎn)  D． 【分析】如圖，連接 AC，作 CF⊥AB 于 F，CE⊥AD 交 AD 的延長線于 E．證 CED≌△CFB （AAS），Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可． 【解答】解：如圖，連接 AC，作 CF⊥AB 于 F，CE⊥AD 交 AD 的延

18、長線于 E． ∵∠B＝60°，∠ADC＝120°， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∵∠E+∠CFA＝180°， ∴∠EAF+∠ECF＝180°， ∴∠ECF＝∠DCB， ∴∠DCE＝∠BCF， ∵∠E＝∠CFB＝90°，CD＝CB， ∴△CED≌△CFB（AAS）， ∴CE＝CF，DE＝BF＝BC cos60°＝ a， ∵AC＝AC，CE＝CF， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AE＝AF， 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴AB﹣AD＝AF+BF﹣

19、（AE﹣DE）＝2DE＝a， 故選：C． 10．關(guān)于 x 的二次函數(shù) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0），在某次數(shù)學(xué)研究課上得到以下 結(jié)論： ① 當(dāng) k＝1 時(shí)，二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為（0，﹣2）； ② 當(dāng) k＜0 時(shí)，二次函數(shù) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）圖象對稱軸在直線 x＝ 左 側(cè)； ③ 當(dāng) k＜0 時(shí)，二次函數(shù) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）圖象在 x 軸上截得線段長小 于 ； ④ 當(dāng) k＞0 時(shí)，點(diǎn) M（x ，y ）是二次函數(shù) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）圖象上一點(diǎn)， 0 0 若 ＜x ＜

20、1，則 y ＜0； 0 0 則以上研究正確的是（ ） A．①③ B．②③④  C．①④ D．①③④ 【分析】①當(dāng) k＝1 時(shí) y＝2x ﹣2，則頂點(diǎn)為（0，﹣2）； ② 當(dāng) k＜0 時(shí) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k 的對稱軸 x＝ 的右側(cè)； ③ 當(dāng) k＜0 時(shí)，y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k，  ＝ ＞ ，對稱軸在 x＝ ， ，則有|x ﹣ 1 x |＝ ＝ 2  小于 ； ④M（x ，y ）是二次函數(shù) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k 上的點(diǎn)，y ＝2kx +（1﹣k）x ﹣1 0 0 0 0

21、 0 ﹣k＝2k（x ﹣ 0  ） ﹣  ， 當(dāng) ＜  ＜1 時(shí)，y 的最小值為﹣  ＜0，即 y ＜0； 0 當(dāng)  ＞1 時(shí)，當(dāng) x＝1 時(shí)有 y＝2k﹣2，當(dāng) x＝ 時(shí)，y＝  ∴ ＞y ＞2k﹣2， 0 y ＜0； 0 當(dāng) ＜ 時(shí)， ＜y ＜2k﹣2，y ＜0； 0 0 【解答】解：①當(dāng) k＝1 時(shí) y＝2x  ﹣2，則頂點(diǎn)為（0，﹣2）；①正確； ②當(dāng) k＜0 時(shí) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k 的對稱軸 x＝  ＝ ＞ ， 11 2 2

22、 2 2 2 2 2 ∴x＞ ，對稱軸在 x＝ 的右側(cè)， ∴②錯(cuò)誤； ③當(dāng) k＜0 時(shí)，y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k， △＝（3k+1） ≥0， ，  ， ∴|x ﹣x |＝ 1 2  ＝ ＜ ， ∴③正確； ④M（x ，y ）是二次函數(shù) y＝2kx +（1﹣k）x﹣1﹣k 上的點(diǎn)， 0 0 ∴y ＝2kx +（1﹣k）x ﹣1﹣k＝2k（x ﹣ 0 0 0 0 ∵ ＜x ＜1，k＞0， 0  ） ﹣  ， ∴當(dāng) ＜  ＜1 時(shí)，y 的最小值為﹣ ＜0，即 y ＜0；

23、 0 當(dāng)  ＞1 時(shí)，當(dāng) x＝1 時(shí)有 y＝2k﹣2，當(dāng) x＝ 時(shí)，y＝  ∴ ＞y ＞2k﹣2， 0 ∴y ＜0； 0 當(dāng) ＜ 時(shí)， ＜y ＜2k﹣2，∴y ＜0； 0 0 綜上所述，y ＜0； 0 ④正確； 故選：D． 二．填空題（共 6 小題） 11．分解因式：a ﹣ab＝ a（a﹣b） ． 【分析】直接把公因式 a 提出來即可． 【解答】解：a  ﹣ab＝a（a﹣b）． 12．從﹣ ，0， ，π，3.5 這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)，則抽到無理數(shù)的概率為 ． 【分析】先求出無理數(shù)的個(gè)

24、數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵﹣ ，0， ，π，3.5 這五個(gè)數(shù)中，無理數(shù)有 2 個(gè)， ∴隨機(jī)抽取一個(gè)，則抽到無理數(shù)的概率是 ， 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 故答案為 ． 13．已知 x＝ ，y＝﹣ ，則 x +xy+y ＝  ． 【分析】首先把 x +xy+y 化成（x+y） ﹣xy，然后把 x＝ ，y＝﹣ 代入，求出算式的 值是多少即可． 【解答】解：x＝ ，y＝﹣ 時(shí)， x +xy+y ＝（x+y） ﹣xy ＝（ ﹣ ） ﹣ ×（﹣ ） ＝1+ ＝

25、 故答案為： ． 14．如圖，AC 是⊙O 的直徑，弦 BD⊥AO，垂足為點(diǎn) E，連接 BC，過點(diǎn) O 作 OF⊥BC，垂足為 F，若 BD＝8cm，AE＝2cm，則 OF 的長度是  cm． 【分析】連接 AB，根據(jù)垂徑定理求出 BE，根據(jù)勾股定理求出 AB，根據(jù)三角形中位線定 理計(jì)算，得到答案． 【解答】解：連接 AB， ∵BD⊥AO， ∴BE＝ED＝ BD＝4， 由勾股定理得，AB＝ ∵OF⊥BC， ∴CF＝FB，又 CO＝OA，  ＝2 ， 13 ∴OF＝ AB＝ 故答案為：

26、  （cm）， ． 15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y＝﹣x+3 過點(diǎn) A（5，m）且與 y 軸交于點(diǎn) B，把點(diǎn) A 向左平移 2 個(gè)單位，再向上平移 4 個(gè)單位，得到點(diǎn) C．過點(diǎn) C 且與 y＝2x 平行的直線交 y 軸于點(diǎn) D．直線 AB 與 CD 交于點(diǎn) E，將直線 CD 沿 EB 方向平移，當(dāng)平移到經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)，直 線 CD 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ﹣ ． 【分析】先把 A（5，m）代入 y＝﹣x+3 得 A（5，﹣2），再利用點(diǎn)的平移規(guī)律得到 C（3， 2），接著利用兩直線平移的問題設(shè) CD 的解析式為 y＝2x+b，然后把

27、C 點(diǎn)坐標(biāo)代入求出 b 即可得到直線 CD 的解析式；先確定 B（0，3），再求出直線 CD 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2， 0）；易得 CD 平移到經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)的直線解析式為 y＝2x+3，然后求出直線 y＝2x+3 與 x 軸 的交點(diǎn)坐標(biāo)． 【解答】解：把 A（5，m）代入 y＝﹣x+3 得 m＝﹣5+3＝﹣2，則 A（5，﹣2）， ∵點(diǎn) A 向左平移 2 個(gè)單位，再向上平移 4 個(gè)單位，得到點(diǎn) C， ∴C（3，2）， ∵過點(diǎn) C 且與 y＝2x 平行的直線交 y 軸于點(diǎn) D， ∴CD 的解析式可設(shè)為 y＝2x+b， 把 C（3，2）代入得

28、6+b＝2，解得 b＝﹣4， ∴直線 CD 的解析式為 y＝2x﹣4； 當(dāng) x＝0 時(shí)，y＝﹣x+3＝3，則 B（0，3）， 當(dāng) y＝0 時(shí)，2x﹣4＝0，解得 x＝2，則直線 CD 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）； 14 易得 CD 平移到經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)的直線解析式為 y＝2x+3， 當(dāng) y＝0 時(shí)，2x+3＝0，解得 x＝﹣ ，則直線 y＝2x+3 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ，0）， 所以當(dāng)平移到經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)，直線 CD 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是﹣ ， 故答案為：﹣ ． 16．如圖，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，

29、AC，BD 交于點(diǎn) O．以點(diǎn) B 為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 矩形 ABCD，得到矩形 BEFG，點(diǎn) A，D，C 的對應(yīng)點(diǎn)分別為 G，F(xiàn)，E，連接 OG，OF，則在旋 轉(zhuǎn)過程中△OGF 的面積最大值為 ． 【分析】利用矩形的性質(zhì)及勾股定理求出 BD 的長，進(jìn)一步得到 OB 的長，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩 形 ABCD 過程中，點(diǎn) F 的軌跡為以點(diǎn) B 為圓心，BD 為半徑的圓，延長 FG 交⊙B 于 M，則 BG 垂直平分 FM，過點(diǎn) O 作 OH⊥FM 于點(diǎn) H，當(dāng) OH 取最大值時(shí)， 有最大值，當(dāng)矩形 ABCD OFG 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) O，B，G 在同一條直線上時(shí)，點(diǎn) H 與點(diǎn) G

30、重合，此時(shí) OH 有最大值，求出 OG， OH 的長度，可直接由三角形的面積公式求出△OGF 的面積最大值． 【解答】解：∵ABCD 為矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD， 在 Rt△ABD 中，AB＝4，AD＝3， ∴BD＝  ＝5， ∴OB＝ BD＝ ∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形 ABCD，得到矩形 BEFG， ∴BG＝AB＝4，GF＝AD＝3，∠BGF＝90°， 如圖 1，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形 ABCD 過程中，點(diǎn) F 的軌跡為以點(diǎn) B 為圓心，BD 為半徑的圓，延 長 FG 交⊙B 于 M，則 BG 垂直平分 FM， 過點(diǎn) O 作

31、OH⊥FM 于點(diǎn) H， 則 ＝ FG OH， OFG 15 ∴當(dāng) OH 取最大值時(shí)， 有最大值， OFG 如圖 2，當(dāng)矩形 ABCD 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) O，B，G 在同一條直線上時(shí)，點(diǎn) H 與點(diǎn) G 重合，此時(shí) OH 有最大值， 此時(shí) OH＝OG＝OB+BH＝ BD+BH＝ +4＝  ， ∴ ＝ FG OH＝ ×3× OFG 故答案為： ．  ＝ ， 三．解答題（共 7 小題） 17．《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．問人數(shù)、 羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每

32、人出 5 錢，還差 45 錢；若每人出 7 錢，還差 3 錢．問合伙人、羊價(jià)各是多少？ 設(shè)合伙人為 x 人，羊價(jià)為 y 錢，根據(jù)題意甲、乙兩位同學(xué)得到如下方程組： 甲同學(xué)： 16 2 2 乙同學(xué)： 請你判斷哪位同學(xué)所列方程組正確，并幫助解答． 【分析】設(shè)合伙人為 x 人，羊價(jià)為 y 錢，根據(jù)“若每人出 5 錢，還差 45 錢；若每人出 7 錢，還差 3 錢”，即可得出關(guān)于 x，y 的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)合伙人為 x 人，羊價(jià)為 y 錢， 依題意，得： ， ∴甲同學(xué)列的方程組正確， 解該方程組

33、，得： ． 答：合伙人為 21 人，羊價(jià)為 150 錢． 18．如圖，木工師傅在板材邊角處作直角時(shí)，往往使用“三弧法”，其作法是：①作線段 AB， 分別以 A，B 為圓心，以 AB 長為半徑作弧，兩弧的交點(diǎn)為 C；②以 C 為圓心，仍以 AB 長 為半徑作弧交 AC 的延長線于點(diǎn) D；③連接 BD，BC．根據(jù)以上作法完成以下問題： （1）求∠CBD 的度數(shù)； （2）試說明：sin A+sin D＝1 的理由． 【分析】（1）首先證 ABC 是等邊三角形，推出∠ACB＝60°，再利用三角形的外角的 性質(zhì)即可解決問題． （2）利用特殊角的三角函數(shù)值解決

34、問題即可． 【解答】解：（1）由作圖可知：AC＝AB＝BC， ∴△ABC 是等邊三角形， ∴∠A＝∠ACB＝60°， ∵CD＝CB， ∴∠D＝∠CBD， ∵∠ACB＝∠D+∠CBD， ∴∠CBD＝∠D＝30°． 17 2 2 2 2 2 2 2 （2）∵∠A＝60°，∠D＝30°， ∴sin A＝sin 60°＝（ ∴sin A+sin D＝1  ） ＝ ，sin D＝sin 30°＝ ， 19．《中學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定學(xué)生體質(zhì)健康等級標(biāo)準(zhǔn)為：86 分及以上為優(yōu)秀；76 分﹣ 85

35、分為良好；60 分﹣75 分為及格；59 分及以下為不及格．某校從九年級學(xué)生隨機(jī)抽取 了部分學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測試，得分情況如圖： 完成以下問題： （1） 在抽取的學(xué)生中不及格人數(shù)所占的百分比 4% ； （2） 小明按以下方法計(jì)算出抽取的學(xué)生平均分：（90+78+66+42）÷4＝69．根據(jù)所學(xué)統(tǒng) 計(jì)學(xué)知識判斷小明的算法是否正確．若不正確，寫出正確的算式（不需結(jié)果）． 【分析】（1）在抽取的學(xué)生中不及格人數(shù)所占的百分比 1﹣18%﹣26%﹣52%＝4%； （2）不正確.90×18%+78×26%+66×52%+42×4%． 【解答】解（1）在抽取的學(xué)生中不及格

36、人數(shù)所占的百分比 1﹣18%﹣26%﹣52%＝4%， 故答案為 4%； （2）不正確.90×18%+78×26%+66×52%+42×4%． 20．如圖，⊙O 的圓心 O 在 Rt△ABC 的直角邊 AC 上，⊙O 經(jīng)過 C，D 兩點(diǎn)，與斜邊 AB 交于 點(diǎn) E，連接 BO，ED，有 BO∥ED，作弦 EF⊥AC 于點(diǎn) G，連接 DF （1） 判斷直線 AB 與⊙O 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2） 若⊙O 的半徑為 5，sin∠DFE＝ ，求 EF 的長． 18 【分析】（1）連接 OE，證 OE⊥AB 即可．通過證明△BOC≌△BOE

37、 得證； （2）根據(jù)垂徑定理，EF＝2EG，所以求出 EG 的長即得解．連接 CE，則∠CED＝90°，∠ ECD＝∠F．CD＝10．根據(jù)三角函數(shù)可求 EG 得解． 【解答】（1）證明：連接 OE． ∵ED∥OB， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠OED． 又 OE＝OD， ∴∠2＝∠OED， ∴∠1＝∠3． 又 OB＝OB，OE＝OC， ∴△BCO≌△BEO．（SAS） ∴∠BEO＝∠BCO＝90°，即 OE⊥AB． ∴AB 是⊙O 切線． （2）解：連接 CE， ∵∠F＝∠4，CD＝2?OC＝10； 由于 CD 為⊙

38、O 的直徑， ∴在 Rt△CDE 中有：ED＝CD?sin∠4＝CD?sin∠DFE＝10× ＝6． ∴CE＝ 在 Rt△CEG 中， ∴EG＝ ×8＝  ＝8． ＝sin∠4， ． 根據(jù)垂徑定理得：EF＝2EG＝  ． 19 2 2 21．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，△ABC 的面積為 10，設(shè) AC＝x，BC＝y(tǒng) （1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）令 x+y＝m， ① 當(dāng) m＝12 時(shí)，求△ABC 的周長； ② 求 m 的最小值． 【分析】（1）利

39、用三角形的面積公式找出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）①將 x+y＝20，xy＝20 代入 三角形的周長公式可求出△ABC 的周長；  ＝  中可求出斜邊的長，再利用 ②由 m＝x+y＝  ，結(jié)合（x﹣y） ≥0，xy＝20 可得出 m 的取值范圍，進(jìn)而 可得出 m 的最小值． 【解答】解：（1）∵ ＝ AC BC＝10， ABC ∴y＝ （x＞0）． （2）①∵x+y＝20，xy＝20， ∴ ＝ ＝6 ∴ ＝x+y+ ＝20+6 ABC  ．  ， ②m＝x+y＝  ＝

40、  ． ∵（x﹣y） ≥0，xy＝20， ∴m＝ ∴m 的最小值為 4  ≥ ．  ＝4 ． 22．如圖，P（m，n）是拋物線 y＝﹣  +1 上任意一點(diǎn)，l 是過點(diǎn)（0，2）且與 x 軸平行的 直線，過點(diǎn) P 作直線 PH⊥l，垂足為 H，PH 交 x 軸于 Q． 20 2 2 2 2 2 2 p （1） 【探究】填空：當(dāng) m＝0 時(shí)，OP＝ 1 ，PH＝ 1 ；當(dāng) m＝4 時(shí)，OP＝ 5 ，PH ＝ 5 ． （2） 【證明】對任意 m，n，猜想 OP 與 PH 的大小關(guān)

41、系，并證明你的猜想． （3） 【應(yīng)用】當(dāng) OP＝OH，且 m≠0 時(shí)，求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】（1）根據(jù)勾股定理，可得 OP 的長，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得可得 PH 的長； （2） 根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得 PO 的長， 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得 PH 的長； （3） 當(dāng) OP＝OH，且 m≠0 時(shí)，由（2）可知△OPH 是等邊三角形，進(jìn)而求得∠HOQ＝30°， 解直角三角形即可求得． 【解答】解：（1）當(dāng) m＝0 時(shí)，P（0，1），OP＝1，PH＝2﹣1＝1； 當(dāng) m＝4 時(shí)，y＝﹣3，P（4，﹣3），O

42、P＝ 故答案為：1，1，5，5； （2）猜想：OP＝PH， 證明：PH 交 x 軸與點(diǎn) Q，  ＝5，PH＝2﹣（﹣3）＝5， ∵P 在 y＝﹣ x  +1 上， ∴設(shè) P（m，﹣ m +1），PQ＝|﹣ x +1|，OQ＝|m|， ∵△OPQ 是直角三角形， ∴OP＝  ＝  ＝ ＝ m +1， PH＝2﹣y ＝2+ m ﹣1＝ m +1 OP＝PH． （3）∵OP＝PH， 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴當(dāng) OP＝OH，三角形 OPH 是等邊三角形， ∵OQ⊥PH

43、， ∴∠HOQ＝30°， ∴OQ＝  HQ＝2 ， ∴P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±2  ， ∴P（2 ，﹣2）或（﹣2  ，﹣2）． 23．某次數(shù)學(xué)研究課上師生共同研究以下問題，請幫助完成： 特殊研究：如圖 1，在正方形 ABCD 中，E，F(xiàn) 是正方形內(nèi)兩點(diǎn)，BE∥DF，EF⊥BE． （1）若 BE＝DF，求證：EF 與 BD 互相平分． （2）求證：（BE+DF） +EF ＝2AB 一般應(yīng)用：如圖 2，若 AB＝4，點(diǎn) P 為正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且∠DPB＝135°， 4 ，求 PD 的長．  BP+2PD＝

44、 【分析】特殊研究（1）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得：四邊形 EBFD 是平行四邊形，再由平行四邊形的對角線互相平分得結(jié)論； （2）如圖 2，作輔助線，構(gòu)建矩形 GEFD，利用勾股定理列方程并與矩形的對邊相等相結(jié) 合可得結(jié)論； 一般應(yīng)用：如圖 4，類比如圖 2，構(gòu)建矩形 GEPD，設(shè) BE＝EG＝x，PD＝EG＝y(tǒng)，則 BP＝  x 由勾股定理得：BG +DG ＝BD ，則（x+y） +x ＝（4  ） ，由已知得：  BP+2PD＝4  ， 則 2x+2y＝4 ②，解①和②可得結(jié)論． 【解答】解：特殊研究

45、（1）證明：如圖 1，連接 ED、BF， 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵BE＝DF，BE∥DF， ∴四邊形 EBFD 是平行四邊形， ∴EF 與 BD 互相平分； 規(guī)律探究 （2）如圖 2，過 D 作 DG⊥BE，交 BE 的延長線于 G， ∴∠EGD＝∠GEF＝∠EFD＝90°， ∴四邊形 GEFD 是矩形， ∴EF＝GD，EG＝DF， 在 Rt△BGD 中，BG  +DG  ＝BD  ， ∴（BE+EG） +EF ＝BD ， ∵△ABD 是等腰直角三角

46、形， ∴BD ＝2AB ， ∴（BE+DF）  2  +EF  ＝2AB  ； （2）一般應(yīng)用 如圖 3，過 P 作 PE⊥PD，過 B 作 BE⊥PE，過 D 作 DG⊥BE，得矩形 GEPD， 23 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴GD＝EP，EG＝PD， 設(shè) BE＝EG＝x，PD＝EG＝y(tǒng)，則 BP＝ ∵AB＝4， ∴BD＝4 ，  x 在 Rt△BGD 中，由勾股定理得：BG  +DG  ＝BD  ， ∴（x+y） +x ＝（4 ） ， ∴2x +2xy+y ＝32 ①， ∵  BP+2PD＝4 ， ∴2x+2y＝4 ②， 解①和②得： ， ∴PD＝2 ﹣2 ． 24