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1、
專題限時集訓(xùn)(七)
[第7講 解三角形]
(時間：45分鐘)
1．在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，則角B的大小為( )
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
2．在△ABC中，已知AB＝2BC＝4，A＝30°，則△ABC的面積為( )
A．1 B.
C．2 D．2
3．已知向量p＝(cosA，sinA)，q＝(－cosB，sinB)，若A，B，C是銳角△ABC的三個內(nèi)角，則p與q的夾角為( )
A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．以上都
2、不對
4．如圖7－1，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為( )
圖7－1
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
5．已知△ABC的面積為，AC＝，∠ABC＝，則△ABC的周長等于( )
A．3＋ B．3
C．2＋ D.
6．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，則此三角形( )
A．一定是銳角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是鈍角三角形
3、D．可能是直角三角形，也可能是銳角三角形
7．在斜△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且＝，則角A＝( )
A. B. C. D.
8．如圖7－2，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，則sinC的值為( )
圖7－2
A. B.
C. D.
9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b2＋c2－bc＝a2，且·＝－4，則△ABC的面積等于________．
10．如圖7－3，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝3
4、0 m，并在C測得塔頂A的仰角為60°，則塔的高度AB＝________m.
圖7－3
11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知4sin2－cos2C＝，且c＝，則△ABC的面積的最大值為________．
12．在四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，AD＝6，A＋C＝π.
(1)求AC的長；
(2)求四邊形ABCD的面積．
13．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足cos＝，b＋c＝6.·＝3.
(1)求a的值；
(2)求的值．
14．已知在△ABC中，角A，B，C的
5、對邊長分別為a，b，c，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.
(1)求角C的大??；
(2)若a2＝b2＋，試求sin(A－B)的值．
專題限時集訓(xùn)(七)
【基礎(chǔ)演練】
1．B [解析] 在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，由正弦定理得：＝，代入解得sinB＝.又AC
6、B)＝cosC>0，所以p，q的夾角為銳角．
4．A [解析] 在△ABC中，由正弦定理得＝，AB＝50 m.
【提升訓(xùn)練】
5．A [解析] 設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，利用三角形面積公式和余弦定理得：b＝，ac＝，3＝a2＋c2－2ac×，所以3＝(a＋c)2－3ac得a＋c＝3，即△ABC的周長等于3＋.
6．C [解析] 由正弦定理，得＝，即＝，解得sinB＝∈，所以B∈或B∈.當(dāng)B∈時，A＋B∈，則C∈，故△ABC是鈍角三角形；當(dāng)B∈時，△ABC也是鈍角三角形．綜上，△ABC一定是鈍角三角形．故選C.
7．B [解析] ∵＝＝－2cosB，＝，
∴－2cosB
7、＝，∵△ABC為斜三角形，∴cosB≠0，∴sin2A＝1，∵A∈(0，π)，∴2A＝，A＝.
8．D [解析] 設(shè)BD＝a，則由題意可得：BC＝2a，AB＝AD＝a，在△DAB中，由余弦定理得：cosA＝＝＝，所以sinA＝＝.在△ABC中，由正弦定理得，＝，所以＝，解得sinC＝，故選D.
9．2 [解析] 根據(jù)余弦定理可得cosA＝＝，故A＝.由·＝－4，可得bccos120°＝－4，得bc＝8.所以S＝bcsinA＝2.
10．15 [解析] 在△BCD中，根據(jù)正弦定理得
BC＝＝＝15.
在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝15×tan60°＝15.
11. [
8、解析] 因為4sin2－cos2C＝，
所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，
2＋2cosC－2cos2C＋1＝，即cos2C－cosC＋＝0，
解得cosC＝.
由余弦定理得cosC＝＝，
ab＝a2＋b2－7≥2ab－7，ab≤7.(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，“＝”成立)
從而S＝absinC≤·7·＝，即S的最大值為.
12.
解：(1)如圖，連接AC，依題意可知，B＋D＝π，
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝22＋42－2×2×4cosB＝20－16cosB，
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝62＋42－2×6×4cosD＝52－48cosD＝52
9、＋48cosB.由20－16cosB＝52＋48cosB，解得cosB＝－，
從而AC2＝20－16cosB＝28，即AC＝2.
(2)由(1)可知sinB＝sinD＝，
所以S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BCsinB＋AD·CDsinD＝2＋6＝8.
13．解：(1)∵cos＝，∴cosA＝2cos2－1＝.
又∵·＝3，即bccosA＝3，∴bc＝5，
又b＋c＝6，∴或
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，∴a＝2.
(2)
＝
＝＝－.
∵cosA＝，∴cos2A＝2cos2A－1＝－，
∴原式＝－＝.
14．解：(1)由題意
10、得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB.
由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，
再由余弦定理得cosC＝＝.
∵0
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