龍格庫(kù)塔間斷有限元方法在計(jì)算爆轟問(wèn)題中的應(yīng)用
?龍格庫(kù)塔間斷有限元方法在計(jì)算爆轟問(wèn)題中的應(yīng)用
張磊1,2[收稿日期] xxxx-xx-xxx;[修改日期] xxxx-xx-xx
[基金項(xiàng)目] 國(guó)家973計(jì)劃(2005CB321703)和國(guó)家自然科學(xué)基金(10531080,10729101)資助項(xiàng)目
, 袁禮1
1. 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院計(jì)算數(shù)學(xué)所,科學(xué)與工程計(jì)算國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100190;
2. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院,北京100083
[摘要] 構(gòu)造了求解帶源項(xiàng)守恒律方程組的龍格庫(kù)塔間斷有限元(RKDG)方法,并分別結(jié)合源項(xiàng)的Strang分裂法和無(wú)分裂法數(shù)值求解模型守恒律方程和反應(yīng)歐拉方程。為了和有限體積型WENO方法進(jìn)行比較,設(shè)計(jì)了計(jì)算源項(xiàng)的WENO重構(gòu)格式。對(duì)一維帶源項(xiàng)守恒律的計(jì)算表明,對(duì)于非剛性問(wèn)題,RKDG方法比有限體積型FVWENO方法的誤差更小,而對(duì)于剛性問(wèn)題,RKDG方法對(duì)于間斷面位置的捕捉更為精確。對(duì)于一二維爆轟波問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果表明,RKDG方法對(duì)于爆轟波結(jié)構(gòu)的分辨和爆轟波位置的捕捉能力更強(qiáng)。
[關(guān)鍵詞] 龍格庫(kù)塔間斷有限元方法;爆轟波;反應(yīng)Euler方程;剛性源項(xiàng)
[中圖分類號(hào)] O241.82 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A
引言
在非平衡氣體動(dòng)力學(xué)中,爆轟問(wèn)題通常被描述成無(wú)粘性的化學(xué)反應(yīng)流動(dòng)問(wèn)題,其物理模型是一個(gè)非齊次雙曲守恒律方程組,通常被稱作反應(yīng)歐拉方程組(reactive Euler equations),其中非齊次項(xiàng)(源項(xiàng))通常被解釋為由于化學(xué)反應(yīng)引起的混合組分的質(zhì)量變化率[1]。
最簡(jiǎn)單的反應(yīng)歐拉方程組假定混合氣體僅僅由兩種組分構(gòu)成:已燃?xì)怏w(burnt gas)和未燃?xì)怏w(unburnt gas)[2]。當(dāng)混合氣體達(dá)到點(diǎn)火溫度時(shí),未燃?xì)怏w通過(guò)一個(gè)不可逆的化學(xué)反應(yīng)轉(zhuǎn)化為已燃?xì)怏w,因此,混合氣體狀態(tài)可以用一個(gè)標(biāo)量,即未燃?xì)怏w的質(zhì)量分?jǐn)?shù)Y來(lái)表示,進(jìn)一步假設(shè)混合氣體各組分具有相同的比熱比和比氣體常數(shù)R,則二維反應(yīng)歐拉方程組可以寫成如下形式
, (1)
其中,各個(gè)變量和函數(shù)的具體形式為
式中是混合氣體的密度,分別是沿方向的速度分量,分別是壓力,總能量,溫度。稱為化學(xué)反應(yīng)率,通常用Arrhenius模型
(2)
其中是化學(xué)反應(yīng)率因子,是活化能。此外混合氣體的狀態(tài)方程和溫度分別為
(3)
其中為單位質(zhì)量未燃?xì)怏w發(fā)生化學(xué)反應(yīng)所釋放的熱量。
在實(shí)際爆轟波問(wèn)題中,化學(xué)反應(yīng)的時(shí)間尺度遠(yuǎn)小于流體流動(dòng)的時(shí)間尺度,所以非齊次方程組具有很強(qiáng)的剛性,給數(shù)值求解帶來(lái)很大困難。無(wú)論對(duì)源項(xiàng)用不用算子分裂方法,采用顯格式還是隱格式,在處理間斷解問(wèn)題時(shí),都可能得到非物理解。這是因?yàn)楫?dāng)源項(xiàng)不能用足夠的空間和時(shí)間分辨率進(jìn)行求解時(shí),激波捕捉方法會(huì)得到錯(cuò)誤的爆轟波傳播速度[3,4,5]。文[5]發(fā)現(xiàn),當(dāng)空間分辨率不夠時(shí),一個(gè)同時(shí)含有已燃?xì)怏w和未燃?xì)怏w的網(wǎng)格中會(huì)發(fā)生虛假反應(yīng),數(shù)值爆轟波會(huì)以每個(gè)時(shí)間步一個(gè)空間步長(zhǎng)的速度傳播。文[6]也指出計(jì)算的數(shù)值誤差極可能促成溫度敏感化學(xué)反應(yīng)的提早發(fā)生。因此,要獲得正確的爆轟波位置,常用的解決方案是采用合適的點(diǎn)火溫度模型來(lái)抑制虛假反應(yīng)[3],或者采用網(wǎng)格自適應(yīng)方法[7, 8, 9]來(lái)保證反應(yīng)區(qū)域內(nèi)有足夠多的網(wǎng)格點(diǎn),或者采用高精度高分辨率方法來(lái)保證對(duì)反應(yīng)區(qū)有足夠高的分辨率。由于后兩種途徑有更好的普適性而受到更多的關(guān)注。
由Cockburn和Shu等人發(fā)展的龍格庫(kù)塔間斷有限元方法(Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Method,RKDG)是一類具有高精度和高分辨率的數(shù)值方法[10],在解決含有間斷現(xiàn)象的問(wèn)題中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用,它被廣泛地發(fā)展和應(yīng)用于水動(dòng)力學(xué),氣動(dòng)力學(xué),波傳播,半導(dǎo)體中的電荷傳輸?shù)葐?wèn)題。該方法既保持了一般有限元方法和有限體積方法的優(yōu)點(diǎn),又克服了各自的不足。該方法可采用局部高階插值的方法構(gòu)造基函數(shù),具有靈活處理間斷和邊界條件以及可顯式求解的能力,克服了一般有限元方法不適于間斷問(wèn)題的缺點(diǎn),以及一般有限體積方法必須通過(guò)擴(kuò)大模板進(jìn)行重構(gòu)來(lái)提高精度的不足。RKDG方法所具有的單元上連續(xù)分布的高精度高分辨率逼近特性有望能更好地模擬爆轟波問(wèn)題。
本文應(yīng)用RKDG方法,結(jié)合化學(xué)源項(xiàng)的無(wú)分裂方法及算子分裂方法,對(duì)爆轟波問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬,并和有限體積型WENO(FVWENO)方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。由于FVWENO方法需要利用流動(dòng)變量單元平均值來(lái)計(jì)算源項(xiàng)的單元積分,本文采用Simpson積分公式,其積分點(diǎn)處的流動(dòng)變量采用WENO重構(gòu)以提高計(jì)算精度。對(duì)于帶源項(xiàng)的一維守恒律的數(shù)值測(cè)試結(jié)果表明,對(duì)于非剛性問(wèn)題,RKDG方法計(jì)算結(jié)果的誤差更??;而對(duì)于剛性問(wèn)題,RKDG方法對(duì)于間斷波位置的捕捉能力更強(qiáng)。對(duì)典型的一二維爆轟波算例,包括二維不穩(wěn)定爆轟波和爆轟波繞過(guò)90°拐角的衍射問(wèn)題的數(shù)值模擬結(jié)果顯示RKDG法仍有一定優(yōu)勢(shì)。
1 數(shù)值方法
1.1 空間離散
本文的空間離散采用RKDG方法[10]。設(shè)是區(qū)域的一個(gè)有限剖分。單元表示多邊形單元的一條邊界,表示單元邊界的外法向。是單元上的局部有限元空間,取作次多項(xiàng)式集合。,在間斷有限元空間
中尋找近似解,其中。
首先在單元上用試探函數(shù)乘以方程(1)的兩端,并用近似解代替方程(1)的精確解,用代替試探函數(shù),將(1)寫成變分形式,并由分部積分和Green公式,可得
(4)
對(duì)于(4)式的后三項(xiàng),采用數(shù)值積分計(jì)算
(5)
(6)
(7)
流通量采用與之相容的數(shù)值流通量代替,數(shù)值流通量定義為為某種形式的Riemann解算器。分別代表邊積分和單元積分的Gauss積分點(diǎn)個(gè)數(shù),和分別代表邊積分和單元積分的Gauss積分點(diǎn)位置[10]。這樣得到半離散的數(shù)值格式
(8)
為了計(jì)算方便,在單元中取正交基函數(shù)(如勒讓德多項(xiàng)式),則質(zhì)量矩陣成為對(duì)角矩陣,故有限元解表示為
(9)
在式(8)中,取試探函數(shù)為所有基函數(shù),得到半離散的常微分方程組
(10)
其中,為單元的質(zhì)量矩陣,和分別為
(11)
和
(12)
高階RKDG方法會(huì)產(chǎn)生數(shù)值振蕩,需要在每一個(gè)時(shí)間步后對(duì)數(shù)值解應(yīng)用斜率限制器,本文采用文獻(xiàn)[10]的TVB限制器。當(dāng)基函數(shù)的階數(shù)增加時(shí),流通量的選擇對(duì)于數(shù)值結(jié)果的影響較小[10],所以本文采用局部的Lax-Friedrichs流通量。
1.2 無(wú)分裂方法和分裂方法
對(duì)于空間離散后得到的常微分方程組(10),如果源項(xiàng)的剛性不太強(qiáng),可以直接采用常微分方程組的求解方法進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)。本文的無(wú)分裂方法是采用三階強(qiáng)穩(wěn)定保持的龍格庫(kù)塔(SSPRK)方法[11]直接求解方程組(10),該方法在空間離散取階基函數(shù)時(shí),可以保證光滑解的三階時(shí)間和空間精度。但當(dāng)源項(xiàng)的剛性比較強(qiáng)時(shí),通常要對(duì)流動(dòng)項(xiàng)和化學(xué)源項(xiàng)分裂求解,即對(duì)于方程組(10)分別求解流動(dòng)項(xiàng)的半離散方程
(13)
和化學(xué)源項(xiàng)的半離散方程
(14)
本文采用的分裂法是具有二階時(shí)間精度的Strang分裂方法[12]
(15)
其中和分別表示以和為時(shí)間步長(zhǎng)求解(14)和(13)的算子。
在分裂方法中,守恒律的半離散方程組(13)仍采用顯式的三階的SSPRK方法求解,而源項(xiàng)的方程組(14)采用常微分方程求解器VODE求解[13]。
1.3 有限體積型WENO方法
本文將比較RKDG方法和高精度的FVWENO方法[14]。在§1.1節(jié)介紹的空間離散中,如果基函數(shù)只取為1,則可得到守恒律方程組(1)的有限體積方法。在二維矩形網(wǎng)格上,半離散有限體積法的方程為
(16)
上式中對(duì)流項(xiàng)的離散采用維數(shù)分裂的基于特征變量的五階WENO格式[14]。在應(yīng)用無(wú)分裂方法計(jì)算時(shí),由于FVWENO方法的待求變量是流動(dòng)變量的網(wǎng)格單元平均值,如果直接用它計(jì)算(16)式中源項(xiàng)的積分,則只有二階空間精度。為盡量提高精度,本文對(duì)一維問(wèn)題采用四階的Simpson公式來(lái)計(jì)算積分
(17)
其中積分點(diǎn)的值和采用基于特征變量的五階WENO重構(gòu)得到。對(duì)于的重構(gòu)會(huì)產(chǎn)生負(fù)權(quán),故需要對(duì)重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行處理[15]。
對(duì)于二維問(wèn)題,可以采用(17)式的張量積形式,這時(shí)積分具有四階精度,但涉及重構(gòu)積分點(diǎn)處值,計(jì)算公式相對(duì)復(fù)雜。為計(jì)算方便,本文采用一種具有三階精度的二維Simpson積分
(18)
其中由方向的單元平均值重構(gòu)得到,由方向的單元平均值重構(gòu)得到,采用兩個(gè)方向重構(gòu)值的平均值。
2 數(shù)值算例
2.1 精度測(cè)試
第一個(gè)例子是一個(gè)帶有源項(xiàng)的Burgers方程
(19)
這個(gè)方程的解是連續(xù)的,其解析解為
(20)
式中控制方程的剛性,即為初值。為了測(cè)試算法的精度,取,此時(shí)問(wèn)題的剛性不強(qiáng)。計(jì)算區(qū)間取為[-15,25],RKDG方法中TVB限制器的常數(shù)取為5,計(jì)算到0,CFL數(shù)取為0.18。表1是數(shù)值解的誤差及其數(shù)值精度階。
表1 帶有源項(xiàng)的Burgers方程
Table 1 Burgers equation with source term
N
Strang split method
Unsplit method
DG2
R
WENO5
R
DG2
R
WENO5
R
WENOM
R
32
7.66´10-5
-
4.79´10-3
-
7.55´10-5
-
4.78´10-3
-
5.25´10-3
-
64
5.29´10-6
3.86
9.62´10-4
2.31
4.77´10-6
3.98
9.64´10-4
2.31
5.04´10-4
3.38
128
4.58´10-7
3.53
2.42´10-4
1.99
1.91´10-7
4.64
2.43´10-4
1.99
3.19´10-5
3.98
256
8.37´10-8
2.45
5.76´10-5
2.07
1.36´10-8
3.81
5.76´10-5
2.07
2.41´10-6
3.72
512
1.84´10-8
2.18
1.43´10-5
2.01
1.42´10-9
3.26
1.43´10-5
2.01
2.80´10-7
3.11
1024
4.33´10-9
2.09
3.56´10-6
2.00
1.69´10-10
3.07
3.56´10-6
2.00
3.53´10-8
2.99
2048
1.05´10-9
2.04
8.90´10-7
2.00
2.09´10-11
3.02
8.90´10-7
2.00
4.46´10-9
2.99
注:DG2表示P2基函數(shù)的RKDG方法,WENO5表示五階FVWENO方法,
WENOM表示五階FVWENO方法+源項(xiàng)四階精度積分公式(17)
從表1中可以看出,用Strang分裂方法,由于在時(shí)間上只有二階精度,在時(shí)間步長(zhǎng)與空間步長(zhǎng)同階的情況下,即使采用高精度的基函數(shù)DG方法也只能達(dá)到二階精度。而無(wú)分裂的元DG方法和修正FVWENOM方法可以達(dá)到和SSPRK方法同階的三階精度,但沒(méi)有采用高精度源項(xiàng)積分的FVWENO只達(dá)到二階精度,無(wú)論是分裂方法還是無(wú)分裂方法,RKDG方法在網(wǎng)格規(guī)模相同的情況下,其數(shù)值解的誤差明顯要比FVWENO方法的小得多。
2.2 間斷計(jì)算能力測(cè)試
第二個(gè)例子是一個(gè)帶有源項(xiàng)的對(duì)流方程
(21)
取初值為
(22)
是間斷的初始位置,這個(gè)例子的解析解是一個(gè)以速度1向右傳播的間斷解。
文[5]指出,當(dāng)網(wǎng)格數(shù)不夠多時(shí),計(jì)算的間斷波速度變慢甚至是不動(dòng)的。為了衡量方法的間斷捕捉能力,定義數(shù)值平均速度
其中為一維空間步長(zhǎng),為計(jì)算中止時(shí)間,和分別是時(shí)刻初值和數(shù)值解的求和。
計(jì)算中取,CFL數(shù)取0.1,計(jì)算區(qū)間為[0,2],初始間斷位置為。
表2 帶有剛性源項(xiàng)的對(duì)流方程
Table 2 Linear advection equation with stiff source term
N
Strang split method
Unsplit method
DG2
WENO5
DG2
WENO5
WENOM
256
5.3´10-4
4.7´10-4
0.7106
4.8´10-4
4.8´10-4
512
0.7249
4.0´10-2
0.9029
7.8´10-4
0.4032
1024
0.9332
0.8145
0.9689
0.8094
0.8327
2048
0.9877
0.9398
0.9956
0.9387
0.9421
從表2中可以看出,在網(wǎng)格規(guī)模相同的情況下,RKDG方法的數(shù)值平均速度比FVWENO的更接近于1,說(shuō)明前者對(duì)于間斷波的捕捉更為準(zhǔn)確。而對(duì)于同一數(shù)值格式,當(dāng)網(wǎng)格數(shù)較少時(shí),計(jì)算的數(shù)值平均速度是不正確的。只有當(dāng)網(wǎng)格數(shù)足夠多時(shí),各種格式得到的數(shù)值速度才趨近于1。無(wú)分裂的DG2和WENOM比對(duì)應(yīng)的分裂方法的結(jié)果稍微準(zhǔn)確些,這與無(wú)分裂方法比相應(yīng)的分裂方法的精度高一階有關(guān)。
2.3 一維ZND爆轟波
第三個(gè)算例是一維穩(wěn)定爆轟波問(wèn)題,初始時(shí)刻,假定爆轟波的von Neumann點(diǎn)位于。首先考慮一個(gè)CJ-ZND爆轟波情形。未燃?xì)怏w狀態(tài)為
狀態(tài)方程及Arrhenius模型中各參數(shù)分別為。這些參數(shù)下理論解半反應(yīng)長(zhǎng)度為1[3]。計(jì)算區(qū)間取為[-40,40],網(wǎng)格數(shù)N=400,該網(wǎng)格數(shù)可以分辨反應(yīng)區(qū),計(jì)算的CFL取為0.18。該問(wèn)題的理論爆轟波速度為5.4419。計(jì)算到時(shí)間,此時(shí)爆轟波傳播到27.2附近。圖1是計(jì)算的密度分布的局部放大圖,可以看出RKDG方法的解比FVWENO的更接近于精確解,且間斷面過(guò)渡網(wǎng)格點(diǎn)要少。但是由于RKDG方法使用了TVB型的限制器(限制器常數(shù)取為1.0),算出的von Neumann點(diǎn)比FVWENO的略低,而分裂方法對(duì)于解的影響幾乎看不出。
圖1 CJ-ZND爆轟波結(jié)果局部放大圖
Fig.1 Detail view of CJ-ZND detonation wave
圖2 強(qiáng)ZND爆轟波結(jié)果局部放大圖
Fig.2 Detail view of strong ZND detonation wave
其次,我們考慮一個(gè)強(qiáng)爆轟情形,其未燃?xì)怏w狀態(tài)和前面的CJ-ZND爆轟波波前的相同,狀態(tài)方程及Arrhenius模型中各參數(shù)分別為 。這時(shí)半反應(yīng)長(zhǎng)度為0.01[3],計(jì)算區(qū)間為[-10,110],網(wǎng)格數(shù)N=800。該網(wǎng)格數(shù)對(duì)這個(gè)問(wèn)題是“under-resolved”,即無(wú)法分辨反應(yīng)過(guò)程中組分的空間變化,只能捕捉爆轟波的位置。該情形下理論強(qiáng)爆轟波的速度為4.9093,計(jì)算到時(shí)間,此時(shí)爆轟波傳播到98.186附近。圖2是局部放大圖,圖中實(shí)線是用4000個(gè)網(wǎng)格求得的理論解??梢钥闯鯮KDG方法的間斷面過(guò)渡網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)比FVWENO的更少,而分裂方法對(duì)于兩種數(shù)值方法的影響不大。
2.4 二維不穩(wěn)定爆轟波
第四個(gè)算例考慮一個(gè)初始擾動(dòng)了的CJ-ZND爆轟波經(jīng)過(guò)一段時(shí)間發(fā)展之后,它的化學(xué)反應(yīng)區(qū)里具有胞格這樣一種規(guī)則的結(jié)構(gòu)。初始時(shí)刻,該ZND爆轟波的von Neumann點(diǎn)位于處,右側(cè)的未燃物狀態(tài)為
狀態(tài)方程及Arrhenius模型中各參數(shù)分。初值的周期擾動(dòng)在方向,初始流動(dòng)狀態(tài)其中為在上述參數(shù)下的精確CJ-ZND解。物理區(qū)域?yàn)?。網(wǎng)格數(shù)為,CFL數(shù)取0.18,上下邊界采用反射邊界條件,左右邊界分別采用入流和出流邊界條件。圖3和圖4分別是元RKDG方法和五階WENO方法結(jié)合Strang分裂法的結(jié)果。由于所用的網(wǎng)格足夠密,二者的結(jié)果差別看不出。在兩種方法得到的圖中,都可以清楚的看到三波點(diǎn)沿著爆轟波陣面的橫向移動(dòng)[17]。
圖3 P2-RKDG結(jié)合Strang分裂模擬二維不穩(wěn)定爆轟波結(jié)果,從左到右、從上到下依次為以Dt=1/30為時(shí)間間隔,從t=3/30到8/30的密度等值線圖
Fig.3 Numerical results of 2d unstable detonation wave by P2-RKDG with Strang split.
Sequences from left to right and top to bottom correspond to those from t=3/30 to 8/30 with timestep Dt=1/30
圖4 五階FVWENO結(jié)合Strang分裂模擬二維不穩(wěn)定爆轟波結(jié)果,
從左到右、從上到下依次為以Dt=1/30為時(shí)間間隔,從t=3/30到8/30的密度等值線圖
Fig.4 Numerical results of 2d unstable detonation wave by fifth order FVWENO with Strang split.
Sequences from left to right and top to bottom correspond to those from t=3/30 to 8/30 with timestep Dt=1/30
2.5 CJ-ZND爆轟波繞過(guò)拐角的衍射現(xiàn)象
第五個(gè)算例為一個(gè)CJ-ZND爆轟波繞過(guò)一個(gè)的拐角,計(jì)算區(qū)域?yàn)?,其中是一固壁,初始時(shí)刻一向右傳播的CJ-ZND爆轟波位于固壁上面處。右側(cè)的未燃?xì)怏w狀態(tài)為狀態(tài)方程及Arrhenius模型中的參數(shù)分別為 計(jì)算取到時(shí)間,CFL數(shù)取為0.18,網(wǎng)格數(shù)為。上下邊界和壁面采用反射邊界條件,左右邊界分別采用入流和出流邊界條件。
當(dāng)爆轟波傳播到拐角后,支撐爆轟波燃燒的激波在壁面附近的強(qiáng)度減弱,溫度降低,沿著繞射激波,激波后面的溫度將會(huì)明顯地降低到比相應(yīng)ZND波的溫度低,這時(shí)化學(xué)反應(yīng)將會(huì)停止。隨著未反應(yīng)激波垂直于豎直墻的表面繼續(xù)往前傳播,緊跟其后的流體溫度將會(huì)上升,這時(shí)依賴于活化能的強(qiáng)度,如果波后溫度相對(duì)于活化能足夠高,燃料可被重新點(diǎn)燃,爆燃波被重新激發(fā),并在遠(yuǎn)處與水平向右傳播的爆轟波相連接。圖5(a)和5(b)分別是用階RKDG和五階WENO結(jié)合Strang分裂得到的結(jié)果,可以清楚的看到爆轟波繞過(guò)拐角后爆燃波和前導(dǎo)激波分離的現(xiàn)象。我們將FVWENO在網(wǎng)格上的計(jì)算結(jié)果作為更準(zhǔn)確的參考解,并取的截面進(jìn)行了比較,發(fā)現(xiàn)在網(wǎng)格上RKDG的結(jié)果和參考解的符合程度要略好于FVWENO的結(jié)果。
(a) RKDG方法的密度等值線圖
(a) Density contour of P2 RKDG method
(b) FVWENO方法的密度等值線圖
(b) Density contour of 5th order FVWENO
圖5 CJ-ZND爆轟波繞過(guò)90°拐角
Fig. 5 CJ-ZND detonation wave passing a 90° corner
圖6 x=25截面的密度
Fig. 6 Density of slice plane x=25
3 結(jié)論
本文采用龍格庫(kù)塔間斷有限元方法對(duì)帶有源項(xiàng)的守恒律方程組進(jìn)行了數(shù)值求解并和有限體積型WENO方法進(jìn)行了比較。數(shù)值結(jié)果表明,間斷有限元方法不僅在光滑的區(qū)域具有較高精度,而且具有非常好的間斷捕捉能力,因而可以更好的模擬爆轟波的ZND結(jié)構(gòu)。即使對(duì)于強(qiáng)剛性問(wèn)題,由于RKDG法在單元內(nèi)通過(guò)選取適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)提高數(shù)值精度,能夠在較少的網(wǎng)格數(shù)下得到正確的爆轟波位置,克服了一般有限體積方法在求解強(qiáng)剛性問(wèn)題時(shí)由于網(wǎng)格分辨率不夠而容易產(chǎn)生虛假反應(yīng)的現(xiàn)象,而且由于RKDG方法不要求近似解的全局連續(xù)性,因此非常易于自適應(yīng)和并行計(jì)算,有望成為模擬復(fù)雜化學(xué)反應(yīng)流動(dòng)的一種有效方法。
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作者簡(jiǎn)介:
1. 張磊(1977-),男,北京,講師,在讀博士生,主要從事間斷有限元方法及在流動(dòng)計(jì)算中應(yīng)用的研究。通信地址:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院,北京100083
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身份證號(hào),130603197704170319
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