2020-2021學年人教版 九年級下冊 第二十七章 相似 章末訓練【含答案】

人教版 九年級下冊 第二十七章 相似 章末訓練 一、選擇題 1. 2020·紹興如圖，三角尺在燈光照射下形成投影，三角尺與其投影的相似比為2∶5，且三角尺的一邊長為8 cm，則投影三角尺的對應邊長為(　　) A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm　 2. 如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為中心，將△ABO擴大到原來的2倍，得到△A′B′O.若點A的坐標是(1,2)，則點A′的坐標是(　　) A．(2,4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1) 3. 已知△FHB∽△EAD，它們的周長分別為30和15，且FH＝6，則EA的長為(　　) A．3 B．2 C．4 D．5 4. (2019?賀州)如圖，在中，分別是邊上的點，，若，則等于 A．5 B．6 C．7 D．8 5. (2019?貴港)如圖，在中，點，分別在，邊上，，，若，，則線段的長為 A． B． C． D．5 6. （2020·營口）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且=，則的值為（　?。? A． B． C． D． 7. （2020·重慶A卷）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原點為位似中心，在原點的同側畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2:1，則線段DF的長度為（ ） A． B． C． D． 8. 2019·紹興如圖27－Y－5①，一個長、寬均為3，高為8的長方體容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6.將長方體容器繞底面一棱進行旋轉傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖②是此時的示意圖，則圖②中的水面高度為(　　) 　　 A.eqB.eqB.　　 C.eqD.eqD. 二、填空題 9. （2020·吉林）如圖，在中，，分別是邊，的中點．若的面積為．則四邊形的面積為_______． 10. (2019?郴州)若，則__________． 11. （2020·東營）如圖，P為平行四邊形ABCD邊BC邊上一點，E、F分別為PA、PD上的點，且PA=3PE，PD=3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別記為、、，若=2，則+= ． 12. (綏化)在平面直角坐標系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是關于原點O的位似圖形，若點A的坐標為(2，4)，則其對應點A1的坐標是______． 13. 如圖，直線y＝－x－3交x軸于點A，交y軸于點B，P是x軸上一動點，以點P為圓心，以1個單位長度為半徑作⊙P，當⊙P與直線AB相切時，點P的坐標是________________． 14. (2019?瀘州)如圖，在等腰中，，，點在邊上，，點在邊上，，垂足為，則長為__________． 15. （2020·蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，點在第一象限內，連接、已知，則_________. 16. （2020·長沙）如圖，點P在以MN為直徑的半圓上運動，（點P與M,N不重合）PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于點E，交PQ于點F. (1) ＝____________． (2)若,則＝____________． 三、解答題 17. （2020·涼山州）（7分）如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC＝120 mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？ 18. （2020·杭州）如圖，在中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，，． （1）求證：． （2）設， ①若BC＝12，求線段BE的長； ②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積． 19. (2019?張家界)如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線AC，延長AB至點E，使，連接DE，分別交BC，AC交于點F，G． (1)求證：； (2)若，，求FG的長． 20. （2020·蘇州）如圖，在矩形中，是的中點，，垂足為. （1）求證：； （2）若，，求的長. 21. (2019?菏澤)如圖，和是有公共頂點的等腰直角三角形，． (1)如圖1，連接，，的廷長線交于點，交于點，求證：； (2)如圖2，把繞點順時針旋轉，當點落在上時，連接，，的延長線交于點，若，，求的面積． 22. （2020·江蘇徐州）我們知道：如圖①，點B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱點B為線段AC的黃金分割點.它們的比值為. （1）在圖①中，若AC=20cm，則AB的長為 cm； （2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點B的對應點H，得折痕CG.試說明：G是AB的黃金分割點； （3）如圖③，小明進一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點E（AE>DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點F，延長EF、CB交于點P.他發(fā)現(xiàn)當PB與BC滿足某種關系時，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點.請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由. 圖① 圖 ② 圖③ 23. （2020?麗水）如圖，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°． （1）求BC邊上的高線長． （2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF． ①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數(shù)． ②如圖3，連結AP，當PF⊥AC時，求AP的長. 24. （2020·泰安）（12分）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC﹦∠CDE﹦90°，連接BD，AB﹦BD，點F是線段CE上一點． 探究發(fā)現(xiàn)： （1）當點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過探究，得到結論：BD⊥DF．你認為此結論是否成立？___________．（填“是”或“否”） 拓展延伸： （2）將（1）中的條件與結論互換，即：若BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由． 問題解決： （3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長． 圖（1） 圖（2） 備用圖 人教版 九年級下冊 第二十七章 相似 章末訓練-答案 一、選擇題 1. A　 2. C　解析：根據(jù)以原點O為位似中心，圖形的坐標特點得出，對應點的坐標應乘以－2，故點A的坐標是(1,2)，則點A′的坐標是(－2，－4)． 3. A　 4. B ∵，∴， ∴，即，解得：，故選B． 5. C 設，，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，， ∵，，∴， ∵，∴， ∴， 設，，∴， ∴，∴，∴， 故選C． 6. A 利用平行截割定理求的值．∵DE∥AB，∴==，∵CE+AE=AC，∴=． 7. D ∵A（1,2）,B（1,1），C（3,1），∴AB=1，BC=2,AC=.∵△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2，∴DF=2AB=2． 8. A　[解析] 如圖，過點C作桌面的垂線，垂足為F.設DE＝x，則AD＝8－x.根據(jù)題意，得(8－x＋8)×3×3＝3×3×6，解得x＝4，∴DE＝4.由勾股定理，得CD＝＝5.易知△CDE∽△CBF，∴＝，即＝，∴CF＝.故選A. 二、填空題 9. 點，分別是邊，的中點， ，即 又， 則四邊形的面積為. 故． 10. ∵，∴， 故2y=x，則，故． 11. 18 本題考查了相似三角形的判定、性質，三角形的面積，解題的關鍵是根據(jù)已知條件推出相似三角形，并由相似比得到面積比． ∵PA=3PE，PD=3PF，∠APD =∠EPF，∴△PEF∽△PAD，相似比為1︰3， ∵△PEF的面積為=2，∴=9S=9×2=18， ∴+==18． 12. (－4，－8)或(4，8) ∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此將點A(2，4)的橫、縱坐標乘以±2即得點A1的坐標，∴點A1的坐標是(－4，－8)或(4，8)． 13. (－，0)或(－，0)[解析] 如圖，依題意可知A(－4，0)，B(0，－3)， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5. 設⊙P與直線AB相切于點D，連接PD，則PD⊥AB，PD＝1. 易得△APD∽△ABO， ∴＝，即＝， ∴AP＝，∴OP＝或OP＝， ∴點P的坐標是(－，0)或(－，0)． 14. 如圖，過作于，則∠AHD=90°， ∵在等腰中，，， ∴，， ∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD， ∴， ∴CH=AC–AH=15–DH， ∵，∴， 又∵∠ANH=∠DNF，∴， ∴，∴， ∵，CE+BE=BC=15，∴， ∴， ∴， ∴，故． 15. 或2.8 本題考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，過點C作CD⊥y軸于點D，設AC交y軸于點E，∴CD∥x軸，∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,設BD=DE=x，則OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8. 16. 1； 本題考查了圓的基本性質，角平分線性質，平行相似，相似判定與性質， （1）作EH⊥MN，又∵MN是直徑，NE平分∠MNP，PQ⊥MN，∴易證出PE＝EH＝HF＝PF，EH∥PQ，∴△EMH∽△PMQ，∴，∴； （2）由相似基本圖射影型得：解得又∵，∴QN＝PM，設QN＝PM＝a，MQ＝b，由相似基本圖射影型得：解得，∴解得或（舍去）∴； 因此本題答案為1；． 三、解答題 17. 解：設這個正方形零件的邊長為x mm，則△AEF的邊EF上的高AK＝(80－x)mm． ∵四邊形EFHG是正方形，∴EF∥GH，即EF∥BC．∴△AEF∽△ABC． ∴，即．∴x＝48．∴這個正方形零件的邊長是48 mm． 18. 解： （1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C．∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC． （2）①∵EF∥AB，∴＝＝．∵BC＝12，∴＝，∴BE＝4． ②∵EF∥AB，∴△EFC△BAC，∴＝．∵＝，∴＝．又∵△EFC的面積是20，∴＝，∴S△ABC＝45，即△ABC的面積是45． 19. (1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴，， ∴， ∴， ∵BE=AB，AE=AB+BE， ∴， ∴， ∴． (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴， ∴， ∴，即， 解得，． 20. 解： 證明：（1）∵四邊形是矩形，∴，.∴， ∵，∴.∴，∴. 解：（2）∵，∴. ∵，是的中點，∴.∴在中，. 又∵，∴，∴. 21. (1)∵和是有公共頂點的等腰直角三角形，， ∴，，， 即， 在與中，， ∴，∴， ∵， ∴，∴． (2)在與中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面積． 22. 解： （1）.解：∵，AC=20，∴AB=. （2）延長CG交DA的延長線于點J，由折疊可知：∠BCG=∠ECG， ∵AD∥BC，∴∠J=∠BCG=∠ECG，∴JE=CE.由折疊可知：E、F為AD、BC的中點，∴DE=AE=10， 由勾股定理可得：CE=,∴EJ=，∴AJ=JE-AE=-10， ∵AJ∥BC，∴△AGJ∽△BGC，∴,∴G是AB的黃金分割點. （3）PB=BC，理由如下：∵E為AD的黃金分割點，且AE>DE，∴AE=a. ∵CF⊥BE，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90?,∴∠ABE=∠FCB, 在△BEA和△CFB中，∵，∴△BEA≌△CFB，∴BF=AE=a. ∴,∵AE∥BP，∴△AEF∽△BPF,∴, ∵AE=BF,∴PB=AB，∴PB=BC. 23. 解：（1）如圖1中，過點A作AD⊥BC于D． 在Rt△ABD中，AD＝AB?sin45°＝44． （2）①如圖2中， ∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°． ②如圖3中，由（1）可知：AC， ∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°， ∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB， ∴，即，∴AF＝2，在Rt△AFP，AF＝FP， ∴APAF＝2． 24. （1）是； （2）結論成立． 理由如下： ∵BD⊥DF，ED⊥AD， ∴∠BDC＋∠CDF﹦90°，∠EDF＋∠CDF﹦90°． ∴∠BDC﹦∠EDF． ∵AB﹦BD， ∴∠A﹦∠BDC． ∴∠A﹦∠EDF． 又∵∠A﹦∠E， ∴∠E﹦∠EDF． ∴EF﹦FD． 又∠E＋∠ECD﹦90°， ∴∠ECD﹦∠CDF． ∴CF﹦DF． ∴CF﹦EF． ∴F為CE的中點． （3）在備用圖中，設G為EC的中點，則DG⊥BD． ∴GD﹦EC﹦． 又BD＝AB＝6， 在Rt△GDB中，GB＝＝． ∴CB＝—＝3． 在Rt△ABC中，AC＝＝3． 由條件得：△ABC∽△EDC． ∴＝． ∴CD＝． ∴AD＝AC＋CD＝3＋﹦．