《數(shù)值分析ex12-13《數(shù)值分析》習(xí)題課II.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)值分析ex12-13《數(shù)值分析》習(xí)題課II.ppt（18頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、高斯消元法 矩陣的三角分解 雅可比迭代與賽德爾迭代 迭代法收斂定理 最速下降法,數(shù)值分析習(xí)題課 II,2/20,一、高斯消元法,三角方程組解法、順序消元法、列主元法、追趕法,二、矩陣的三角分解 矩陣的緊湊格式分解、改進(jìn)平方根法,三、向量范數(shù)和矩陣范數(shù) 常用的三種向量范數(shù)、常用的三種矩陣范數(shù)、條件數(shù),四、迭代法及收斂性分析 雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代、收斂定理、誤差定理、初等變分原理,定理3.1 約化主元ak+1,k+1(k) 0 (k=0,1,,n-1)的充分必要條件是 矩陣A的各階順序主子式不為零.,Ex1.如果A是嚴(yán)格主對角占優(yōu)矩陣, 則 det(A) 0. 證: 用反證法。設(shè)det(
2、A) = 0, 則齊次方程組Ax=0有非零解 u =u1, u2, , un T.,設(shè) 考慮Au =0的第k個(gè)等式,,3/20,4/20,兩邊約去 |uk|，得,這與主對角占優(yōu)矛盾, 故det(A) 0。,Ex2.設(shè)A對稱且a11 0,經(jīng)過高斯消元法一步后,A約化為,證明A2 也是對稱矩陣。,證明:設(shè),經(jīng)高斯消元一步后,得,5/20,所以, A2 = A2T,思考: 1.若A是對稱正定矩陣,經(jīng)高斯消元一步后,右下角子矩陣A2也是對稱正定矩陣; 2.若A為對角占優(yōu)矩陣，經(jīng)過高斯消元法一步后，右下角子矩陣A2也是對角占優(yōu)矩陣。,Ex3.對任何一種矩陣的算子范數(shù),證明矩陣A的譜半徑與A的
3、范數(shù)有關(guān)系:(A) || A ||,證:設(shè) 是矩陣A任一特征值,x 是對應(yīng)的特征向量,則,,,,Ex4.若矩陣A是n階對稱矩陣, 則有,證：設(shè) 是A的任一特征值,由于A對稱,故2 是矩陣ATA的特征值,即,6/20,7/20,由2-范數(shù)計(jì)算公式,Ex5.對任意x，yRn，利用向量范數(shù)的三角形不等式證明：,證: || x || = || (x y )+ y || || x y || + || y || || x || || y || || x y || 同理, || y || || x || || y x || =|| x y || || x || || y || || x y |
4、| || x y || || x || || y || || x y || ,Jacobi 迭代法的迭代矩陣,8/20,Gauss-Seidel迭代法的矩陣: BG-S= (D L)-1U,Ax = b, 將矩陣分裂: A = D U L,BJ = D-1(U+L),特征多項(xiàng)式與特征方程: | I D-1(U+L)| = |D-1||D (U+L) | | D (U+L) | = 0,特征多項(xiàng)式與特征方程: |I (D L)-1U| = |(D L )-1||(D L ) U | |(D L ) U | = 0,9/20,Ex6. 若A是嚴(yán)格主對角占優(yōu)矩陣，求證解方程組AX=
5、b的高斯-賽德爾迭代法收斂。,證：高斯-賽德爾迭代矩陣為(D L )-1U,該矩陣的特征方程為,|(D L ) U | = 0,行列式對應(yīng)的矩陣為,當(dāng)| | 1時(shí)，利用A矩陣的主對角占優(yōu)性質(zhì)，得,故C()也是嚴(yán)格主對角占優(yōu)矩陣。由于嚴(yán)格主對角占優(yōu)矩陣的行列式不為零，故不是特征方程 C() = |(D L ) U | = 0 的根。所以當(dāng)A是嚴(yán)格主對角占優(yōu)矩陣時(shí),(D L )-1U的特征值必然滿足：| | < 1，從而高斯-賽德爾迭代矩陣譜半徑小于1，迭代法收斂。,10/20,11/20,Ex7.證明，當(dāng)| | < 1時(shí)，二階約當(dāng)塊 的方冪J m 極限值為零。,證：由于,假設(shè),則有,由數(shù)學(xué)歸納
6、法知,12/20,而| | < 1，故,,思考:三階約當(dāng)塊,的方冪Jm表達(dá)式結(jié)構(gòu),13/20,Ex8.設(shè)A是一個(gè)可逆矩陣，矩陣序列滿足 Xk+1=Xk(2I A Xk )，（k =0，1，2，） 證明:當(dāng) 時(shí),證明：由Xk+1=Xk(2I A Xk )，得 I AXk+1 = I A Xk(2I A Xk )= (I A Xk )2 于是 I AXk =(I A Xk -1)2 =(I A Xk -2)22 = ,14/20,,15/20,練習(xí)2. 設(shè)A=(aij)nn為可逆下三角矩陣，證明A-1仍為下三角矩陣。,練習(xí)1. 分析求解三對角方程組追趕法的計(jì)
7、算工作量。,練習(xí)3. 設(shè)A=(aij)nn為可逆上三角矩陣，證明A-1仍為上三角矩陣。,練習(xí)4. 用列主元法解方程組,練習(xí)5:求矩陣的2-范數(shù), 以及2-范數(shù)意義下的條件數(shù),16/20,練習(xí)6. 設(shè)A =( aij )nn為實(shí)對稱正定矩陣, xR n, b R n,如果 u 使二次函數(shù),取極小值 , 證明 u 是線性方程組 Ax = b的解。,練習(xí)8.有方程組Ax = b,其中A為對稱正定陣,且有迭代公式,討論使迭代序列收斂的 的取值范圍.,練習(xí)7. 寫出n維向量序列X(k) 收斂于向量X* 的定義； 設(shè) ,而 B 是 n 階方陣,證明,17/20,(1) A1 = B ( I + R + R2 + )； (2)任意給定n階矩陣X0,由迭代格式 Xk+1 = Xk R + B ( k = 0，1，2， ) 產(chǎn)生的矩陣序列 Xk 收斂到矩陣A-1； (3)對矩陣序列 Xk ，有誤差估計(jì)式,18/20,練習(xí)9:設(shè)A是n階可逆矩陣,有A的一個(gè)近似逆B,令R=I AB如果 || R || q <1 ，試證明,
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