概率統(tǒng)計(jì)、離散型隨機(jī)變量及其分布列.ppt

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1、第2講 概率統(tǒng)計(jì)、離散型隨機(jī)變量及其分布列,1.隨機(jī)事件的概率 (1)隨機(jī)事件的概率范圍:0P(A)1;必然事件的 概率為1;不可能事件的概率為0. (2)古典概型的概率 P(A)= = .,A中所含的基本事件數(shù) 基本事件總數(shù),,2.互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率P(A+B)=P(A) +P(B). 3.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(AB)=P(A)P(B). 4.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么它在 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為 Pn(k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,,n.,5.離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)設(shè)離散型隨機(jī)變

2、量可能取的值為x1,x2,,xi,, 取每一個(gè)值xi的概率為P( =xi)=pi,則稱下表: 為離散型隨機(jī)變量 的分布列. (2)離散型隨機(jī)變量的分布列具有兩個(gè)性質(zhì): pi0,p1+p2++pi+=1(i=1,2,3,). 6.常見的離散型隨機(jī)變量的分布 (1)兩點(diǎn)分布 分布列為(其中0

3、的二項(xiàng)分布,記為 B(n,p).,7.離散型隨機(jī)變量的期望與方差 若離散型隨機(jī)變量的分布列為 則稱E =x1p1+x2p2++xnpn+為 的數(shù)學(xué)期望,簡(jiǎn) 稱期望. D =(x1-E )2p1+(x2-E )2p2++(xn- E )2pn+叫做隨機(jī)變量 的方差.,8.統(tǒng)計(jì) (1)抽樣方法:簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣. (2)利用樣本頻率分布估計(jì)總體分布 頻率分布表和頻率分布直方圖. 總體密度曲線.,9.正態(tài)分布 (1)一般地,如果對(duì)任意實(shí)數(shù)a

4、x軸上方,與x軸不相交. 曲線是單峰的,它關(guān)于直線x= 對(duì)稱.,曲線在x= 處達(dá)到峰值 . 曲線與x軸之間的面積為1. 當(dāng) 一定時(shí),曲線隨著 的變化而沿x軸平移. 當(dāng) 一定時(shí),曲線的形狀由 確定, 越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中; 越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.,(3)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 P( -

5、六組:第一組,成績(jī)大于等于13秒且小于14秒;第二組,成績(jī)大于等于14秒且小于15秒;第六組,成績(jī)大于等于18秒且小于等于19秒.下圖是按上述分組方法,得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績(jī)小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x,成績(jī)大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y,則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為 ( ),A.0.9,35B.0.9,45 C.0.1,35D.0.1,45 解析 P( <17)=1-P(17 19) =1-(0.061+0.041)=0.9, 即x=0.9,y=(0.34+0.36)150=35人. 探究提高 在統(tǒng)計(jì)中,為了考查一個(gè)總體的情況,通常是從總體

6、中抽取一個(gè)樣本,用樣本的有關(guān)情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況.這種估計(jì)大體分為兩類,一類,A,是用樣本頻率分布估計(jì)總體分布,另一類是用樣本的某種數(shù)字特征(例如平均數(shù)、方差等)去估計(jì)總體的相應(yīng)數(shù)字特征.,變式訓(xùn)練1 (2009湖南理,13)一個(gè)總體分為A,B兩層,其個(gè)體數(shù)之比為41,用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本,已知B層中甲、乙都被抽到的概率為 ,則總體中的個(gè)體數(shù)為 . 解析 設(shè)總體中個(gè)體數(shù)為x,則B層中有 個(gè)個(gè)體,共需在B中抽2個(gè)個(gè)體. ,x=40.,40,二、古典概型 例2 某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2 000名,各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表: 已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽

7、到初二年級(jí)女生的概率是0.19. (1)求x的值; (2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生,問應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名?,(3)已知y245,z245,求初三年級(jí)中女生比男生多的概率. 思維啟迪 求初三年級(jí)中女生比男生多的概率時(shí),先找出男女生人數(shù)分布的所有可能,再找出女生比男生多的人數(shù)的所有可能. 解析(1) = 0.19 x=380. (2)初三年級(jí)人數(shù)為 y+z=2 000-(373+377+380+370)=500, 現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生,應(yīng)在初三年級(jí)抽取的人數(shù)為: 500=12(名),(3)設(shè)初三年級(jí)女生比男生多的事件為A,初三年級(jí)女生、男生數(shù)記為(y,z),

8、 由(2)知y+z=500,且y,zN*, 基本事件空間包含的基本事件有: (245,255)、(246,254)、(247,253)、、(255,245)共11個(gè), 事件A包含的基本事件有:(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5個(gè) P(A)=,探究提高 (1)有關(guān)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù),這常常用到排列、組合的有關(guān)知識(shí). (2)對(duì)于較復(fù)雜的題目要注意正確分類,分類時(shí)應(yīng)不重不漏. 變式訓(xùn)練2 (2009江蘇,5)現(xiàn)有5根竹竿,它們的長(zhǎng)度(單位:m)分別為2.5,2.6,2.7,2.

9、8,2.9,若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿,則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3 m的概率為 . 解析 從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根竹竿共有 =10種抽取方法,而抽取的兩根竹竿長(zhǎng)度恰好相差0.3 m的情況有2種.則P= =0.2.,0.2,三、 相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),例3 甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是 和 .假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒有影響;每人各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響. (1)求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率; (2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率; (3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則中止其射擊.則乙恰好射擊5次后

10、被中止射擊的概率是多少? 思維啟迪 (1)第(1)問先求其對(duì)立事件的概率. (2)第(2)問利用相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式.,(3)第(3)問中,甲恰好射擊5次被中止,可分為前3次擊中后兩次未擊中和前2次有一次未擊中,第3次擊中,后兩次未擊中兩種情況.,解析 (1)甲至少一次未擊中目標(biāo)的概率P1是 P1=P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4) =1-P4(0)=1- . (2)甲射擊4次恰擊中2次的概率為 P2= , 乙射擊4次恰擊中3次的概率為 P3= ,,由乘法公式,所求概率 P=P2P3= . (3)乙恰好5次停止射擊,則最后兩次未擊

11、中,前三次或都擊中或第一與第二次恰有一次擊中,第三次必?fù)糁?故所求概率為 .,探究提高 (1)注意區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件,互斥事件是在同一試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的情況,相互獨(dú)立事件是指幾個(gè)事件的發(fā)生與否互不影響,當(dāng)然可以同時(shí)發(fā)生. (2)一個(gè)事件若正面情況比較多,反面情況較少,則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解.對(duì)于“至少”,“至多”等問題往往用這種方法求解.,變式訓(xùn)練3 在每道單項(xiàng)選擇題給出的4個(gè)備選答案中,只有一個(gè)是正確的.若對(duì)4道選擇題中的每一道都任意選定一個(gè)答案,求這4道題中: (1)恰有兩道題答對(duì)的概率; (2)至少答對(duì)一道題的概率. 解析 (1)視“選擇每道題的

12、答案”為一次試驗(yàn),則這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),且每次試驗(yàn)中“選擇正確”這一事件發(fā)生的概率為 . 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式得: 恰有兩道題答對(duì)的概率為 P4(2)= .,(2)方法一 至少有一道題答對(duì)的概率為 1-P4(0)=1- =1- . 方法二 至少有一道題答對(duì)的概率為,四、 隨機(jī)變量的分布列、均值與方差,例4 (2009濰坊模擬)甲、乙兩人玩投籃游戲,規(guī)則如下:兩人輪流投籃,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投籃,結(jié)束游戲,已知甲 每次投中的概率為 ,乙每次投中的概率為 .求: (1)乙投籃次數(shù)不超過1次的概率; (2)記甲、乙兩人投籃次數(shù)和為 ,求 的分布列

13、和數(shù)學(xué)期望. 思維啟迪 (1)乙投籃次數(shù)不超過一次有三種情況. (2)正確理解并記準(zhǔn)均值與方差的計(jì)算公式.,解析 記“甲投籃投中”為事件A,“乙投籃投中”為事B. 方法一 “乙投籃次數(shù)不超過1次”包括三種情況:一種是甲第1次投籃投中,另一種是甲第1次投籃未投中而乙第1次投籃投中,再一種是甲、乙第1次投籃均未投中而甲第2次投籃投中, 所求的概率是P=P(A+ B+ A)=P(A)+P( B)+P( A) =P(A)+P( )P(B)+P( )P( )P(A)= . 答 乙投籃次數(shù)不超過1次的概率為 .,方法二 “乙投籃次數(shù)不超過1次”的對(duì)立事件是“乙投籃2次”,所以,所求的

14、概率是P=1-P( )=1-P( )P( )P( )=1- . 答 乙投籃次數(shù)不超過1次的概率為 . (2)甲、乙投籃總次數(shù) 的取值1,2,3,4, P( =1)=P(A)= , P( =2)=P( B)=P( )P( )= , P( =3)=P( A)=P( )P( )P(A) = ,,P( =4)=P( )=P( )P( )P( ) = ,,甲、乙投籃次數(shù)總和 的分布列為,甲、乙投籃總次數(shù) 的數(shù)學(xué)期望為E =1 +2 +3 +4 = .,答 甲、乙投籃次數(shù)總和的數(shù)學(xué)期望為 .,探究提高 有些問題的模型顯得較為隱蔽,這時(shí)我們可以多做一點(diǎn)嘗試,弄清其模型,再設(shè)計(jì)

15、相應(yīng)的答題策略.在解答過程中,需注意答題的規(guī)范性. 變式訓(xùn)練4 (2009重慶理,17)某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為 和 ,且各株大樹是否成活互不影響.求移栽的4株大樹中: (1)兩種大樹各成活1株的概率; (2)成活的株數(shù) 的分布列與期望.,解析 設(shè)Ak表示甲種大樹成活k株,k=0,1,2, Bl表示乙種大樹成活l株,l=0,1,2, 則Ak,Bl相互獨(dú)立,由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有P(Ak)= ,P(Bl)= . 據(jù)此算得 P(A0)= ,P(A1)= ,P(A2)= , P(B0)= ,P(B1)= ,

16、P(B2)= . (1)所求概率為P(A1B1)=P(A1)P(B1) = .,(2) 方法一 的所有可能值為0,1,2,3,4,且P( =0)=P(A0B0)=P(A0)P(B0)= , P( =1)=P(A0B1)+P(A1B0)= , P( =2) =P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)= , . P( =3)=P(A1B2)+P(A2B1)= , P( =4)=P(A2B2)= . . 綜上知 的分布列為,從而, 的期望為 E = (株).,方法二 分布列的求法同

17、前,令 分別表示甲、乙兩種大樹成活的株數(shù),則 B , B , 故 E =2 = ,E =2 =1, 從而知E =E +E = (株).,規(guī)律方法總結(jié) 1.古典概型,A包含的基本事件m個(gè)數(shù) 總的基本事件n個(gè)數(shù),,2.互斥事件與對(duì)立事件 互斥事件強(qiáng)調(diào)兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,即在一次試驗(yàn)中兩個(gè)互斥事件可以都不發(fā)生.兩事件是對(duì)立事件,則它們一定互斥,且在一次試驗(yàn)中兩對(duì)立事件有且只有一個(gè)發(fā)生,反過來,兩事件互斥,但不一定對(duì)立.故兩事件互斥是兩事件對(duì)立的必要不充分條件,對(duì)立事件是特殊的互斥事件. 3.求離散型隨機(jī)變量 的期望與方差的方法 (1)理解 的意義,寫出 可能取的全部值. (2)求

18、 取每個(gè)值的概率. (3)寫出 的分布列. (4)由期望的定義求E . (5)由方差的定義求D .,一、選擇題 1.某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子,得到點(diǎn)數(shù)分別為a,b,則 橢圓 的離心率e 的概率是() A. B. C. D. 解析 e= a2b,符合a2b的情況有:當(dāng)b=1時(shí),有a=3,4,5,6四種情況; 當(dāng)b=2時(shí),有a=5,6兩種情況,總共有6種情況. 所以概率為 .,C,2.(2009重慶理,6)鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè),花 生餡湯圓5個(gè),豆沙餡湯圓4個(gè),這三種湯圓的外部 特征完全相同.從中任意舀取4個(gè)湯圓,則每種湯圓 都至少取到1個(gè)的概率為() A. B.

19、 C. D. 解析 從15個(gè)湯圓中選出4個(gè)湯圓共有 種情況, 每種湯圓至少有1個(gè)的情況有 =720種情況,所以各種湯圓至少有1個(gè)的概率為 P= .,C,3.(2009上海理,16)若事件E與F相互獨(dú)立,且P (E)=P(F)= ,則P(EF)的值等于( ) A.0B. C. D. 解析 因?yàn)槭录﨓與事件F相互獨(dú)立, 故P(EF)=P(E)P(F)= .,B,4.從編號(hào)為1,2,,10的10個(gè)大小相同的球中任 取4個(gè),則所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6的概率為( ) A.B.C.D. 解析 從10個(gè)球中任選4個(gè)共有 種取法,所取4個(gè) 球中最大號(hào)碼是6的取法共有 種,所求概率為 P=

20、.,B,5.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分 的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c(0,1)), 已知他投籃一次得分的期望是2,則 的最小 值為() A.B.C.D. 解析 由已知得3a+2b+0c=2, 即3a+2b=2. 其中0

21、人). 答案 60,7.某汽車站每天均有3輛開往省城濟(jì)南的分為上、中、 下等級(jí)的客車,某天袁先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車前 往濟(jì)南辦事,但他不知道客車的車況,也不知道 發(fā)車順序.為了盡可能乘上上等車,他采取如下策 略:先放過一輛,如果第二輛比第一輛好則上第二 輛,否則上第三輛.那么他乘上上等車的概率為 .,解析 共有6種發(fā)生順序:上、中、下上、下、中中、上、下中、下、上下、中、上下、上、中(其中畫橫線的表示袁先生所乘的車),所以他乘坐上等車的概率為 . 答案,8.有一容量為n的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示:,若落在10,20)中的頻數(shù)共9個(gè),則樣本容量n= . 解析 由題意,得樣本

22、數(shù)據(jù)落在10,20)中的頻率為(0.016+0.020)5=0.18. 又落在10,20)中的頻數(shù)共9個(gè),所以 , 解之得n=50.,50,三、解答題 9.(2009陜西文,18)據(jù)統(tǒng)計(jì),某食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被 消費(fèi)者投訴次數(shù)為0、1、2的概率分別 為0.4、0.5、 0.1. (1)求該企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴不超過1次的概率.,(2)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率. 解 (1)設(shè)事件A表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”,事件B表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為1”, P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.

23、 (2)設(shè)事件Ai表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為0”,事件Bi表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為1”,事件Ci表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為2”,事件D表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次”.,P(Ai)=0.4,P(Bi)=0.5,P(Ci)=0.1(i=1,2). 兩個(gè)月中,一個(gè)月被投訴2次,另一個(gè)月被投訴0次的概率為P(A1C2+A2C1), 一、二月份均被投訴1次的概率為P(B1B2), P(D)=P(A1C2+A2C1)+P(B1B2) =P(A1C2)+P(A2C1)+P(B1B2). 由事件的獨(dú)立性得 P(D)=0.40.1+0.40.1+0.50.5=0.33.,10.甲、乙兩位小學(xué)生各有2008

24、年奧運(yùn)吉祥物“福娃”5個(gè) (其中“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”各一 個(gè)),現(xiàn)以投擲一個(gè)骰子的方式進(jìn)行游戲,規(guī)則如下: 當(dāng)出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)時(shí),甲贏得乙一個(gè)福娃;否則 乙贏得甲一個(gè)福娃,規(guī)定擲骰子的次數(shù)達(dá)9次時(shí),或在此 前某人已贏得所有福娃時(shí)游戲終止.記游戲終止時(shí)投擲骰 子的次數(shù)為 . (1)求擲骰子的次數(shù)為7的概率; (2)求 的分布列及數(shù)學(xué)期望E . 解 (1)當(dāng) =7時(shí),甲贏意味著“第七次甲贏,前6次贏 5次,但根據(jù)規(guī)則,前5次中必輸1次”,由規(guī)則,每次甲 贏或乙贏的概率均為 ,因此P( =7)=2,(2)設(shè)游戲終止時(shí)骰子向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m,向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n,則由 , 可得:當(dāng)m=5,n=0或m=0,n=5時(shí), =5; 當(dāng)m=6,n=1或m=1,n=6時(shí), =7 當(dāng)m=7,n=2或m=2,n=7時(shí), =9. 因此 的可能取值是5、7、9. 每次投擲甲贏得乙一個(gè)福娃與乙贏得甲一個(gè)福娃的可能性相同,其概率都是 . P( =5)=2( )5= ,P( =7)= ,,P( =9) =1- . 所以 的分布列是 E =5 +7 +9 = .,返回,

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