高考數(shù)學(xué)(理科)二輪專題復(fù)習(xí)專題五第2講橢圓、雙曲線、拋物線

第 2 講 橢圓、雙曲線、拋物線 考情解讀 (1)以選擇、填空的形式考查，主要考查圓錐曲線的標準方程、性質(zhì)(特別是離心率)， 以及圓錐曲線之間的關(guān)系，突出考查基礎(chǔ)知識、基本技能，屬于基礎(chǔ)題． (2)以解答題的形式 考查，主要考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)及標準方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常 常在知識的交匯點處命題，有時以探究的形式出現(xiàn)，有時以證明題的形式出現(xiàn)．該部分題目 多數(shù)為綜合性問題，考查分析問題、解決問題的能力，綜合運用知識的能力等，屬于中、高 檔題，一般難度較大． 圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質(zhì) 名稱 定義 橢圓 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a 雙曲線 ||PF1|－|PF2||＝ 拋物線 |PF|＝|PM|，點 F 不在 ＞|F1F2|) 標準方程 x2 y2 a2＋b2＝1(a＞b＞0) 圖形  x2 y2 2a(2a＜|F1F2|) － a2  b2＝1(a＞0，b ＞0) 直線 l 上，PM⊥l 于 M y2＝2px(p＞0) 范圍 頂點 |x|≤a，|y|≤b (±a,0)(0，±b) |x|≥a (±a,0) x≥0 (0,0) (  ，0) 對稱性 焦點 關(guān)于 x 軸，y 軸和原點對稱 (±c,0) 關(guān)于 x 軸對稱 p 2 幾何性  軸 長軸長 2a，短軸長 實軸長 2a，虛軸長 質(zhì) 2b 2b e＝  ＝ e＝  ＝ 離心率 c a b2 1－a2(0 c a b2 1＋a2(e  e＝1 ＜e＜1) ＞1) x＝－ 準線 p 2 y＝±  x 漸近線 b a (2)已知拋物線 x2＝2py(p>0)的焦點與雙曲線 x2－y2＝－  的一個焦點重合，且在拋物線上有一 由余弦定理可得 cos∠F2PF1＝ ＝－  . A.   ＋   ＝1 B. ＋   ＝1 熱點一 圓錐曲線的定義與標準方程 x2 y2 | 例 1 (1)若橢圓 C：9 ＋ 2 ＝1 的焦點為 F1，F(xiàn)2，點 P 在橢圓 C 上，且PF2|＝4 則∠F1PF2 等于 ( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 1 2 P 2 動點 P 到 x 軸的距離為 m， 到直線 l：x－y－4＝0 的距離為 n，則 m＋n 的最小值為________． 思維啟迪 (1) 1F2 中利用余弦定理求∠F1PF2；(2)根據(jù)拋物線定義得 m＝|PF|－1.再利用數(shù) 形結(jié)合求最值． 答案 (1)C (2) 5－1 解析 (1)由題意得 a＝3，c＝ 7，所以|PF1|＝2. F2PF1 中， 42＋22－(2 7)2 1 2×4×2 2 又因為 cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°. (2)易知 x2＝2py(p>0)的焦點為 F(0,1)，故 p＝2， 因此拋物線方程為 x2＝4y. 根據(jù)拋物線的定義可知 m＝|PF|－1， 設(shè)|PH|＝n(H 為點 P 到直線 l 所作垂線的垂足)， 因此 m＋n＝|PF|－1＋|PH|. 易知當(dāng) F，P，H 三點共線時 m＋n 最小， |－1－4| 因此其最小值為|FH|－1＝ －1＝ 5－1. 5 思維升華 (1)對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中 要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，雙曲線的定義中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物線上的點到焦點的距 離與到準線的距離相等的轉(zhuǎn)化． (2)注意數(shù)形結(jié)合，畫出合理草圖． x2 y2 3 2＋                     2 (1)已知橢圓 C：a b2＝1(a>b>0)的離心率為 .雙曲線 x2－y2＝1 的漸近線與橢 圓 C 有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為 16，則橢圓 C 的方程為( ) x2 y2 x2 y2 8 2 12 6 C. ＋   ＝1 D. ＋   ＝1 x2 y2 x2 y2 16 4 20 5 (2) 如圖，過拋物線 y2＝2px(p>0)的焦點 F 的直線交拋物線于點 A，B，交其準線 l 于點 C，若 |BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為( ) 解析 (1)∵橢圓的離心率為   ，∴  ＝       ＝   ， ∴漸近線 x±y＝0 與橢圓 x2＋4y2＝4b2 在第一象限的交點為è b，    bø，5 A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3x 答案 (1)D (2)C a2－b2 3 c 3 2 a a 2 ∴a＝2b.∴橢圓方程為 x2＋4y2＝4b2. ∵雙曲線 x2－y2＝1 的漸近線方程為 x±y＝0，  æ2 5 5  2 5 ö ∴由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為    b×    b＝4，∴b2＝5，∴a2＝ ∴橢圓 C 的方程為 ＋   ＝1. 2 5 2 5 5 5 4b2＝20. x2 y2 20 5 (2) | | 如圖，分別過 A，B 作 AA1⊥l 于 A1，BB1⊥l 于 B1，由拋物線的定義知，AF|＝|AA1|，BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°，∴∠A1AF＝60°. 連接 A1F A1AF 為等邊三角形， 過 F 作 FF1⊥AA1 于 F1，則 F1 為 AA1 的中點， 例 2 (1)已知離心率為 e 的雙曲線和離心率為   2 2     2 C.     D．3 A.è0， B.è0， 1 1 3 設(shè) l 交 x 軸于 N，則|NF|＝|A1F1|＝2|AA1|＝2|AF|，即 p＝2，∴拋物線方程為 y2＝3x，故選 C. 熱點二 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 2 的橢圓有相同的焦點 F1，F(xiàn)2，P 是兩曲線的 π 一個公共點，若∠F1PF2＝3，則 e 等于( ) 5 5 A. B. 6 2 x2 y2 a2 (2)設(shè) F1，F(xiàn)2 分別是橢圓a2＋b2＝1 (a>b>0)的左，右焦點，若在直線 x＝ c 上存在點 P，使線段 PF1 的中垂線過點 F2，則橢圓的離心率的取值范圍是( ) æ 2ù æ 3ù 2 û 3 û C.ë  2 ，1ø D.ë  3 ，1ø é 2 ö é 3 ö 坐標為(   ，y)，考察 y 存在的條件． 2  2 2 (2)設(shè) Pè c ，yø，線段 F1P 的中點 Q 的坐標為è2c，2ø， y2＝               ，y2≥0， 即 3c2－a2>0，即 e2>  ，故   <e<1. 此時 F2 為中點，即   －c＝2c，得 e＝ c                3 綜上，得   ≤e<1， 思維啟迪 (1) F1F2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定義和已知條件消元；(2)可設(shè)點 P a2 c 答案 (1)C (2)D 解析 (1)設(shè)橢圓的長半軸長為 a1，雙曲線的實半軸長為 a2，焦距為 2c，|PF1|＝m，|PF2|＝n， 且不妨設(shè) m>n，由 m＋n＝2a1，m－n＝2a2 得 m＝a1＋a2，n＝a1－a2. π 又∠F1PF2＝3， ∴4c2＝m2＋n2－mn＝a21＋3a2， a2 3a2 1 3 6    1              2 ∴c2＋ c22＝4，即 ＋e2＝4，解得 e＝ ，故選 C. ( ) æa2 ö æb2 yö cy cy －2c2 當(dāng) kQF2 存在時，則 kF1P＝a2＋c2，kQF2＝b2 ， 由 kF1P· kQF2＝－1，得 (a2＋c2)· (2c2－b2) c2 但注意到 b2－2c2≠0，即 2c2－b2>0， 1 3 3 3 當(dāng) kQF2 不存在時，b2－2c2＝0，y＝0， a2 3 ， 3 3 即所求的橢圓離心率的取值范圍是ë  3  ，1ø. 作圓交雙曲線的漸近線于異于原點的兩點 A、B，若(AO＋AF)· OF＝0，則雙曲線的離心率 e 為 AO＋AF＝2AC，由題意得， 2AC· OF＝0， ∴  ＝tan 45°＝1， 則雙曲線的離心率 e＝    1＋(  )2＝   2，故選 C. é 3 ö 思維升華 解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于 a，b，c 的方程或不等式，再根據(jù) a，b，c 的關(guān)系消掉 b 得到 a，c 的關(guān)系式．建立關(guān)于 a，b，c 的方 程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等． x2 y2    (1)已知 O 為坐標原點，雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦點為 F，以 OF 為直徑 → → → ( ) A．2 B．3 C. 2 D. 3 (2)(2014· 課標全國Ⅰ)已知 F 為雙曲線 C：x2－my2＝3m(m>0)的一個焦點，則點 F 到 C 的一條 漸近線的距離為( ) A. 3 B．3 C. 3m D．3m 答案 (1)C (2)A 解析 (1)設(shè) OF 的中點為 C，則 → → → → → ∴AC⊥OF，∴AO＝AF， 又∠OAF＝90°，∴∠AOF＝45°， 即雙曲線的漸近線的傾斜角為 45°， b a b a (2)雙曲線 C 的標準方程為   －   ＝1(m>0)，其漸近線方程為 y＝± x＝±   x，即   my＝ x2 y2 3m 3 3      m 3m    m ±x，不妨選取右焦點 F( 3m＋3，0)到其中一條漸近線 x－ my＝0 的距離求解，得 d＝ 3m＋3 1＋m 軸的交點為 C，已知AB＝ BC. ＝ 3.故選 A. 熱點三 直線與圓錐曲線 x2 y2    例 3 過橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)的左頂點 A 作斜率為 2 的直線，與橢圓的另一個交點為 B，與 y → 6 → 13 (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)動直線 y＝kx＋m 與橢圓有且只有一個公共點 P，且與直線 x＝4 相交于點 Q，若 x 軸上存 在一定點 M(1,0)，使得 PM⊥QM，求橢圓的方程． 思維啟迪 (1)根據(jù)AB＝ BC和點 B 在橢圓上列關(guān)于 a、b 的方程；(2)聯(lián)立直線 y＝kx＋m 與 橢圓方程，利用 Δ＝0，PM· QM＝0 求解． ∴AB＝(x1＋a，y1)，BC＝(－x1,2a－y1)， ∵AB＝ BC，∴x1＋a＝ (－x1)，y1＝ (2a－y1)，13 13 13 → 6 → 13 → → 解 (1)∵A(－a,0)，設(shè)直線方程為 y＝2(x＋a)，B(x1，y1)， 令 x＝0，則 y＝2a，∴C(0,2a)， → → → 6 → 6 6 13 12 整理得 x1＝－19a，y1＝19a， 13 12 a2 b2 3 )2＋( 2＝1，∴   ∵點 B 在橢圓上，∴(19 19)2· b a2＝4， ＝  ，即 1－e2＝  ，∴e＝  . ∴ a2－c2 3         3      1 a2 4           4      2 設(shè) P(x1，y1)則有 x1＝－ 2(3＋4k2)    3＋4k2 b2 3    (2)∵a2＝4，可設(shè) b2＝3t，a2＝4t， ∴橢圓的方程為 3x2＋4y2－12t＝0， ìï3x2＋4y2－12t＝0 由í ，得 î ïy＝kx＋m (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0， ∵動直線 y＝kx＋m 與橢圓有且只有一個公共點 P， ∴Δ＝0，即 64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0， 整理得 m2＝3t＋4k2t， 8km 4km ＝－ ， 3m     y1＝kx1＋m＝3＋4k2， 3＋4k2 3＋4k2 ∴P(－ 4km    3m ， )， 3＋4k2 3＋4k2 ∴橢圓的方程為   ＋   ＝1. 又 M(1,0)，Q(4,4k＋m)， ∵x 軸上存在一定點 M(1,0)，使得 PM⊥QM， 4km 3m ∴(1＋ ，－ )·(－3，－(4k＋m))＝0 恒成立， 整理得 3＋4k2＝m2. ∴3＋4k2＝3t＋4k2t 恒成立，故 t＝1. x2 y2 4 3 思維升華 待定系數(shù)法是求圓錐曲線方程的基本方法；解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián) 立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長公式等簡化計算；涉及中點弦問題時， 也可用“點差法”求解． B 是 C 上的兩個動點，線段 AB 的中點 M 的橫坐標為－ ，線段 AB 的中垂線交橢圓 C 于 P， (2)求F2P· F2Q的取值范圍． 因為橢圓 C 過點(1，   )， x2 y2 2 2 已知橢圓 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的焦距為 2，且過點(1， )，右焦點為 F2.設(shè) A， 1 2 Q 兩點． (1)求橢圓 C 的方程； → → 解 (1)因為焦距為 2，所以 a2－b2＝1. 2 2 1 1 2＋ 所以a 2b2  ＝1.故 a2＝2，b2＝1. 所以橢圓 C 的方程為   ＋y2＝1. (2)由題意，當(dāng)直線 AB 垂直于 x 軸時，直線 AB 的方程為 x＝－  ， 得F2P· F2Q＝－1. x2 2 1 2 此時 P(－ 2，0)，Q( 2，0)， → → 1 當(dāng)直線 AB 不垂直于 x 軸時，設(shè)直線 AB 的斜率為 k(k≠0)，M(－2，m)(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2， y2)， í 得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·    ＝0，則－1＋4mk＝0， 由 2 ìx1 2 îx2 2 ＋y21＝1， ＋y2＝1，  y1－y2 x1－x2 直線 PQ 的方程為 y－m＝－4m(x＋  )． 故 4mk＝1. 此時，直線 PQ 的斜率為 k1＝－4m， 1 2 即 y＝－4mx－m. ìïy＝－4mx－m， 聯(lián)立íx2 ïî 2 ＋y2＝1  消去 y， 于是F2P· F2Q＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋(4mx3＋m)(4mx4＋m) 32m2＋1          32m2＋1 整理得(32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝0. 設(shè) P(x3，y3)，Q(x4，y4) 16m2 2m2－2          所以 x3＋x4＝－32m2＋1，x3x4＝32m2＋1. → → ＝(4m2－1)(x3＋x4)＋(16m2＋1)x3x4＋m2＋1 (4m2－1)(－16m2) (1＋16m2)(2m2－2) ＝ ＋ ＋1＋m2 32m2＋1 由于 M(－  ，m)在橢圓的內(nèi)部，故 0<m2<  ， 令 t＝32m2＋1,1<t<29，則F2P· F2Q＝ －  .32 32t 又 1<t<29，所以－1<F2P· F2Q<   .232 3．求雙曲線、橢圓的離心率的方法：(1)直接求出 a，c，計算 e＝  ；(2)根據(jù)已知條件確定 a， b，c 的等量關(guān)系，然后把 b 用 a，c 代換，求  . 長為   ，過橢圓焦點的弦中通徑最短；拋物線通徑長是 2p，過拋物線焦點的弦中通徑最短． (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α 為弦 AB 的傾斜角)； (4)   ＋    為定值  ； 19m2－1 ＝ . 1 7 2 8 → → 19 51 → → 125 → → 125    綜上，F(xiàn)2P· F2Q的取值范圍為[－1，232)． 1．對涉及圓錐曲線上點到焦點距離或焦點弦的問題，恰當(dāng)選用定義解題，會效果明顯，定義 中的定值是標準方程的基礎(chǔ)． 2．橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為 Ax2＋By2＝1，其中 A、B 是不等的常數(shù)，A>B>0 時， 表示焦點在 y 軸上的橢圓；B>A>0 時，表示焦點在 x 軸上的橢圓；AB<0 時表示雙曲線． c a c a 4．通徑：過雙曲線、橢圓、拋物線的焦點垂直于對稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通徑 2b2 a 橢圓上點到焦點的最長距離為 a＋c，最短距離為 a－c. 5．拋物線焦點弦性質(zhì)： 已知 AB 是拋物線 y2＝2px(p>0)的焦點弦，F(xiàn) 為拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)． p2 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ 4 ； 2p sin2α p2 2sin α (3) AOB＝ ； 1 1 2 |FA| |FB| p (5)以 AB 為直徑的圓與拋物線的準線相切． ＝  ，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為(    ) 3       3 真題感悟 1．(2014· 湖北)已知 F1，F(xiàn)2 是橢圓和雙曲線的公共焦點，P 是它們的一個公共點，且∠F1PF2 π 3 4 3 2 3 A. B. ì ìr1＋r2＝2a1， r1＝a1＋a2， 令 m＝  2＝  2 2當(dāng)   ＝  時，mmax＝ ， 1∴(   )max＝ 解析 拋物線 y2＝2px 的準線為直線 x＝－  ，而點 A(－2,3)在準線上，所以－  ＝－2，即 p＝4， 從而 C：y2＝8x，焦點為 F(2,0)．設(shè)切線方程為 y－3＝k(x＋2)，代入 y2＝8x 得  y2－y＋2k＋3 ＝0(k≠0)①，由于 Δ＝1－4×  (2k＋3)＝0，所以 k＝－2 或 k＝  . 因為切點在第一象限，所以 k＝  . 將 k＝  代入①中，得 y＝8，再代入 y2＝8x 中得 x＝8， 所以直線 BF 的斜率為  .      1 1 a1＋a2 r1∴       e1 e2 c c    r2  2 r2 r2 1  2 3       r1 r1 r1 2 4       c 3         e1 e2 3    2 3    4 3 C．3 D．2 答案 A 解析 設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，橢圓長半軸長為 a1，雙曲線實半軸長為 a2， 橢圓、雙曲線的離心率分別為 e1，e2， π 1 由(2c)2＝r2＋r2－2r1r2cos 3， 得 4c2＝r21＋r2－r1r2. 由í 得í î î ïr1－r2＝2a2 ïr2＝a1－a2， ＝ . 1 2 r2 4r1 c r1＋r2－r1r2 4 4 ＝ ＝ ， 1＋( ) － ( － ) ＋ r 1 16 r1 2 3 r 4 3 ， 1 1 4 3 即 ＋ 的最大值為 . 2．(2014· 遼寧)已知點 A(－2,3)在拋物線 C：y2＝2px 的準線上，過點 A 的直線與 C 在第一象限 相切于點 B，記 C 的焦點為 F，則直線 BF 的斜率為( ) 1 2 A. B. 3 4 C. D. 答案 D p p 2 2 k 8 k 1 8 2 1 2 1 2 所以點 B 的坐標為(8,8)， 4 3 押題精練 雙曲線的右支交于點 P，若OE＝  (OF＋OP)，則雙曲線的離心率是_______________． a2 x2 y2                                1．已知圓 x2＋y2＝16上點 E 處的一條切線 l 過雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦點 F，且與 → 1 → → 2 答案 解析 26 4 由題意可知|OE|＝  ， 由OE＝  (OF＋OP)，可知 E 為 FP 的中點． 所以 OE∥PH，且|OE|＝  |PH|， 故|PH|＝2|OE|＝  . 所以|PF|＝2a＋|PH|＝  . 即(2c)2＝(  )2＋( )2， 整理得  ＝    ，即 e＝    . (1)若直線 AP 與 BP 的斜率之積為－ ，求橢圓的離心率； x0 y20 由 A(－a,0)，B(a,0)，得 kAP＝    ，kBP＝    . 如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點為 H，連接 PH， a 4 → 1 → → 2 由雙曲線的性質(zhì)，可知 O 為 FH 的中點， 1 2 a 2 由雙曲線的定義，可知|PF|－|PH|＝2a(P 在雙曲線的右支上)， 5a 2 因為直線 l 與圓相切，所以 PF⊥OE. 又 OE∥PH，所以 PF⊥PH. PFH 中， |FH|2＝|PH|2＋|PF|2， a 5a 2 2 c 26 26 a 4 4 x2 y2    2．設(shè)橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為 A、B，點 P 在橢圓上且異于 A、B 兩點，O 為坐標原點． 1 2 (2)若|AP|＝|OA|，證明：直線 OP 的斜率 k 滿足|k|> 3.    (1)解 設(shè)點 P 的坐標為(x0，y0)，y0≠0. 由題意，有a2＋b2＝1.① y0 y0 x0＋a x0－a 1 0 由 kAP· kBP＝－2，可得 x20＝a2－2y2， 由于 y0≠0，故  a2＝2b2.于是  e2＝ ＝  ，所以橢圓的離心率 e＝   . 消去 y0 并整理，得  x0 k2a2＋b2 代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2èbø2＋4. 整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是 x0＝1＋k2 代入①并整理得(a2－2b2)y20＝0. a2－b2 1 2 a2 2 2 (2)證明 方法一 依題意，直線 OP 的方程為 y＝kx，設(shè)點 P 的坐標為(x0，y0)．由條件得 ìïy0＝kx0， íx2 y2 2 2 ïîa0＋b0＝1. a2b2 2＝ ，② 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及 y0＝kx0， 得(x0＋a)2＋k2x20＝a2. 整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0. －2a     而 x0≠0，于是 x0＝1＋k2， æaö 又 a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即 k2＋1>4， 因此 k2>3，所以|k|> 3. 方法二 依題意，直線 OP 的方程為 y＝kx，可設(shè)點 P 的坐標為(x0，kx0)． x2 k2x2 2    由點 P 在橢圓上，有a0＋ b20＝1. 因為 a>b>0，kx0≠0， x2 k2x2 2 所以a0＋ a20<1，即(1＋k2)x20<a2.③ 由|AP|＝|OA|及 A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2， －2a . (1＋k2)2 代入③，得(1＋k2) 4a2  <a2，解得 k2>3， 所以|k|> 3. A．1 B.   2  C.   D.   3 (推薦時間：60 分鐘) 一、選擇題 x2 y2 1．已知橢圓 4 ＋b2＝1(0<b<2)，左，右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，過 F1 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點， 若|BF2|＋|AF2|的最大值為 5，則 b 的值是( ) 3 2 A．2 或      B.   6或 答案 D 解析 由橢圓的方程，可知長半軸長 a＝2；由橢圓的定義，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8， 2b2 所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由橢圓的性質(zhì)，可知過橢圓焦點的弦中，通徑最短，即a ＝3， 可求得 b2＝3，即 b＝ 3. x2 y2 y2 x2                            2．已知雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)以及雙曲線a2－b2＝1 的漸近線將第一象限三等分，則雙曲 x2 y2    線a2－b2＝1 的離心率為( ) 2 3 2 3 3 3 C．2 或 3 D. 3或 6 答案 A x2 y2 b 3                                      ＝ 3 解析 由題意，可知雙曲線a2－b2＝1 的漸近線的傾斜角為 30°或 60°，則a 或 3. 則 e＝  ＝ 1＋(  )2＝    或 2. c c2 a a2  ＝ b   2 3 a    3 A. －   ＝1 B.   － ＝1 C.   －  ＝1 D. －   ＝1 線的左焦點，即 λ＋3λ＝36，λ＝9，所以雙曲線的方程為   －  ＝1.故選 B. 0，|OB－OC|＝2|BC－BA|，則其焦距為(    ) 3       3 3       3 解析 由題意，可知|OC|＝|OB|＝  |BC|，且 a＝4， 又|OB－OC|＝2|BC－BA|， 故選 A. x2 y2 2－ 3．已知雙曲線a b2＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是 y＝ 3x，它的一個焦點在拋物線 y2 ＝24x 的準線上，則雙曲線的方程為( ) x2 y2 x2 y2 36 108 9 27 x2 y2 x2 y2 108 36 27 9 答案 B x2 y2 y2                                                                b 解析 由雙曲線a2－b2＝1(a>0， >0)的一條漸近線方程是 y＝ 3x，可設(shè)雙曲線的方程為 x2－ 3 ＝λ(λ>0)． x2 y2    因為雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的一個焦點在拋物線 y2＝24x 的準線上，所以 F(－6,0)是雙曲 x2 y2 9 27 y2 x2 → →    4．已知橢圓a2＋b2＝1 (a>b>0)，A(4,0)為長軸的一個端點，弦 BC 過橢圓的中心 O，且AC· BC＝ → → → → 4 6 4 3 A. B. 8 6 2 3 C. D. 答案 C → → 1 → 2 → → → → 所以，|BC|＝2|AC|.故|OC|＝|AC|. 又AC· BC＝0，所以AC⊥BC. OAC 為等腰直角三角形，|OC|＝|AC|＝2   2. 所以 c2＝a2－b2＝42－ ＝ ，c＝    . 故其焦距為 2c＝    . 4       8      32    4 解析 由已知得焦點坐標為 F(  ，0)， 因此直線 AB 的方程為 y＝   (x－  )， 方法二 聯(lián)立方程得 x2－ x＋ ＝0， → → → → → → → → → → 22 22 16    2＝1，解得 b2＝ 不妨設(shè)點 C 在第一象限，則點 C 的坐標為(2,2)，代入橢圓的方程，得42＋b 3 . 16 32 4 6 3 3 3 8 6 3 5．設(shè) F 為拋物線 C：y2＝3x 的焦點，過 F 且傾斜角為 30°的直線交 C 于 A，B 兩點，O 為坐 標原點，則△OAB 的面積為( ) 3 3 9 3 63 9 A. B. C. D. 答案 D 3 4 3 3 3 4 即 4x－4 3y－3＝0. 方法一 聯(lián)立拋物線方程，化簡得 4y2－12 3y－9＝0， 故|yA－yB|＝ (yA＋yB)2－4yAyB＝6. 1 1 3 9 因此  OAB＝2|OF||yA－yB|＝2×4×6＝4. 21 9 2 16 21 故 xA＋xB＝ 2 . 21 3 根據(jù)拋物線的定義有|AB|＝xA＋xB＋p＝ 2 ＋2＝12， 8 同時原點到直線 AB 的距離為 h＝ |－3|      3 ＝ ， 42＋(－4 3)2 A．[  ，  ] B．[  ，   ] C．(   ，1) D．[  ，1) 則PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)， 1 9 因此  OAB＝2|AB|·h＝4. x2 y2 → → 6．橢圓 M：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為 F1、F2，P 為橢圓 M 上任一點，且PF1· PF2 的最大值的取值范圍是[c2,3c2]，其中 c＝ a2－b2，則橢圓 M 的離心率 e 的取值范圍是( ) 1 1 1 2 4 2 2 2 2 1 2 2 答案 B 解析 設(shè) P(x，y)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， → → PF1· PF2＝x2＋y2－c2. 所以(x2＋y2)max＝a2，所以(PF1· PF2)max＝b2， 所以 c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即  ≤e2≤  ， 27．(2014· 北京)設(shè)雙曲線 C 經(jīng)過點(2,2)，且與   －x ＝1 具有相同漸近線，則 C 的方程為________； 2解析 設(shè)雙曲線 C 的方程為   －x ＝λ， ∴C 的方程為   － ＝1， 解析 由拋物線的定義可得|MQ|＝|MF|，F(xiàn)(  ，0)，又 PQ⊥QF，故 M 為線段 PF 的中點，所 以 M(  ，1)，把 M(  ，1)，代入拋物線 y2＝2px(p>0)得，1＝2p×  ， 9．拋物線 C 的頂點在原點，焦點 F 與雙曲線   －   ＝1 的右焦點重合，過點 P(2,0)且斜率為 1 解析 因為雙曲線   －   ＝1 的右焦點坐標是(3,0)． 所以  ＝3，所以 p＝6. x1＋x2＋p 16＋6   所以  ≤e≤ .故選 B.     答案 － ＝1 y＝±2x     ＝ ＝11.故填 11. → → 又 x2＋y2 可看作 P(x，y)到原點的距離的平方， → → 1 1 4 2 1 2 2 2 二、填空題 y2 4 漸近線方程為________． x2 y2 3 12 y2 4 將點(2,2)代入上式，得 λ＝－3， x2 y2 3 12 其漸近線方程為 y＝±2x. 8．(2014· 浙江東陽中學(xué)階段考試)已知點 P(0,2)，拋物線 C：y2＝2px(p>0)的焦點為 F，線段 PF 與拋物線 C 的交點為 M，過 M 作拋物線準線的垂線，垂足為 Q，若∠PQF＝90°，則 p＝________. 答案 2 p 2 p p p 4 4 4 解得 p＝ 2，故答案為 2. x2 y2 3 6 的直線 l 與拋物線 C 交于 A，B 兩點，則弦 AB 的中點到拋物線準線的距離為________． 答案 11 x2 y2 3 6 p 2 即拋物線的標準方程為 y2＝12x. 設(shè)過點 P(2,0)且斜率為 1 的直線 l 的方程為 y＝x－2， 聯(lián)立 y2＝12x 消去 y 可得 x2－16x＋4＝0，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1＋x2＝16， 所以弦 AB 的中點到拋物線準線的距離為 2 2 x2 y2 10．已知 F1，F(xiàn)2 是雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦點，點 P 在雙曲線上且不與頂點重 合，過 F2 作∠F1PF2 的角平分線的垂線，垂足為 A.若|OA|＝ b，則該雙曲線的離心率為________． 答案 2 解析 延長 F2A 交 PF1 于 B 點，則|PB|＝|PF2|， 依題意可得|BF1|＝|PF1|－|PF2|＝2a. 又因為點 A 是 BF2 的中點． 1 所以得到|OA|＝2|BF1|，所以 b＝a. 所以 c＝ 2a.所以離心率為 2. 三、解答題 11．已知曲線 C 上的動點 P(x，y)滿足到定點 A(－1,0)的距離與到定點 B(1,0)的距離之比為 2. (1)求曲線 C 的方程； (2)過點 M(1,2)的直線 l 與曲線 C 交于兩點 M、N，若|MN|＝4，求直線 l 的方程． 解 (1)由題意得|PA|＝ 2|PB|， 故 (x＋1)2＋y2＝ 2 (x－1)2＋y2， 化簡得：x2＋y2－6x＋1＝0(或(x－3)2＋y2＝8)即為所求． (2)當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，直線 l 的方程為 x＝1. 將 x＝1 代入方程 x2＋y2－6x＋1＝0 得 y＝±2， 所以|MN|＝4，滿足題意． 當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線 l 的方程為 y＝kx－k＋2， |3k－k＋2| 由圓心到直線的距離 d＝2＝ ， 1＋k2 解得 k＝0，此時直線 l 的方程為 y＝2. 綜上所述，滿足題意的直線 l 的方程為 x＝1 或 y＝2. x2 y2 12．設(shè) F1，F(xiàn)2 分別是橢圓 E：a2＋b2＝1(a>b>0)的左，右焦點，過 F1 且斜率為 1 的直線 l 與 E 相交于 A，B 兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列． (1)求 E 的離心率； (2)設(shè)點 P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求 E 的方程． 解 (1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 4 因為 2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝3a. l 的方程為 y＝x＋c，其中 c＝ a2－b2. ＋   ＝1，2 2ïîa b 故  a＝   2 x0 故橢圓 E 的方程為 ＋   ＝1. 213．(2013· 北京)已知 A，B，C 是橢圓 W：   ＋y ＝1 上的三個點，O 是坐標原點． 2解 (1)由橢圓 W：   ＋y ＝1，知 B(2,0) ∴菱形的面積 S＝  |OB|·|AC|＝  ×2×   3＝   3.   則 x1＋x2＝   2 ，x1x2＝          2 2a ＋b2 a ＋b    23 a ＋b         所以 E 的離心率 e＝  ＝ ＝ .             x1＋x2 －a2c 2 c    2將 x＝1 代入   ＋y ＝1，得 y＝± . ìïy＝x＋c， 設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 A，B 兩點坐標滿足方程組íx2 y2 化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0， －2a2c a2(c2－b2) . 因為直線 AB 的斜率為 1， 所以|AB|＝ 2|x2－x1|＝ 2[(x1＋x2)2－4x1x2]. 4 4ab2 ，得 a2＝2b2， a2－b2 c 2 a a 2 (2)設(shè) AB 的中點為 N(x0，y0)，由(1)知              x0＝ 2 ＝a2＋b2＝－3c，y0＝x0＋c＝3. 由|PA|＝|PB|，得 kPN＝－1， y ＋1 即 0 ＝－1， 得 c＝3，從而 a＝3 2，b＝3. x2 y2 18 9 x2 4 (1)當(dāng)點 B 是 W 的右頂點，且四邊形 OABC 為菱形時，求此菱形的面積； (2)當(dāng)點 B 不是 W 的頂點時，判斷四邊形 OABC 是否可能為菱形，并說明理由． x2 4 ∴線段 OB 的垂直平分線 x＝1. 在菱形 OABC 中，AC⊥OB， x2 3 4 2 ∴|AC|＝|yA－yC|＝ 3. 1 1 2 2 (2)假設(shè)四邊形 OABC 為菱形． ∵點 B 不是 W 的頂點，且直線 AC 不過原點， ∴可設(shè) AC 的方程為 y＝kx＋m(k≠0，m≠0)． ìïx2＋4y2＝4， 由í î ïy＝kx＋m 消 y 并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.   x1＋x2 y ＋y2 x ＋x2 2 21＋4k 1＋4k2 æ ö － ＝－  ≠－1，又 k· è 4kø        2 2 設(shè) A(x1，y1)，C(x2，y2)，則 4km m ＝－ ， 1 ＝k· 1 ＋m＝ . 4km m ∴線段 AC 中點 Mè－1＋4k2，1＋4k2ø， 1 ∵M 為 AC 和 OB 交點，∴kOB＝－4k. æ 1 ö 1 4 ∴AC 與 OB 不垂直． ∴OABC 不是菱形，這與假設(shè)矛盾． 綜上，四邊形 OABC 不是菱形．