高考數(shù)學(xué)(理科)二輪專題復(fù)習(xí)專題五第2講橢圓、雙曲線、拋物線

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1、 第?2?講 橢圓、雙曲線、拋物線 考情解讀 (1)以選擇、填空的形式考查，主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)(特別是離心率)， 以及圓錐曲線之間的關(guān)系，突出考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，屬于基礎(chǔ)題．?(2)以解答題的形式 考查，主要考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常 常在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，有時(shí)以探究的形式出現(xiàn)，有時(shí)以證明題的形式出現(xiàn)．該部分題目 多數(shù)為綜合性問(wèn)題，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力等，屬于中、高 檔題，一般難度較大． 圓錐曲線的定

2、義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 名稱 定義 橢圓 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a 雙曲線 ||PF1|－|PF2||＝ 拋物線 |PF|＝|PM|，點(diǎn)?F?不在 ＞|F1F2|) 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2 y2 a2＋b2＝1(a＞b＞0) 圖形  x2?y2 2a(2a＜|F1F2|) － a2??b2＝1(a＞0，b ＞0) 直線?l?上，PM⊥l?于?M y2＝2px(p＞0) 范圍 頂點(diǎn) |x|≤a，|y|≤b (±a,0)(0，±b)

3、|x|≥a (±a,0) x≥0 (0,0) (??，0) 對(duì)稱性 焦點(diǎn) 關(guān)于?x?軸，y?軸和原點(diǎn)對(duì)稱 (±c,0) 關(guān)于?x?軸對(duì)稱 p 2 幾何性  軸 長(zhǎng)軸長(zhǎng)?2a，短軸長(zhǎng)?實(shí)軸長(zhǎng)?2a，虛軸長(zhǎng) 質(zhì) 2b 2b e＝??＝ e＝??＝ 離心率 c a b2 1－a2(0 c a b2 1＋a2(e  e＝1 ＜e＜1) ＞1) x＝－ 準(zhǔn)線 p 2 y＝±??x 漸近線

4、 b a (2)已知拋物線?x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線?x2－y2＝－??的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且在拋物線上有一 由余弦定理可得?cos∠F2PF1＝ ＝－??. A.???＋???＝1 B. ＋???＝1 熱點(diǎn)一 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 x2 y2 | 例?1 (1)若橢圓?C：9?＋?2?＝1?的焦點(diǎn)為?F1，F(xiàn)2，點(diǎn)?P?在橢圓?C?上，且PF2|＝4?則∠F1PF2?等于 ( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 1 2 P 2 動(dòng)點(diǎn)?P?到?x?軸的距離為?m，?到直線?l：

5、x－y－4＝0?的距離為?n，則?m＋n?的最小值為_(kāi)_______． 思維啟迪 (1) 1F2?中利用余弦定理求∠F1PF2；(2)根據(jù)拋物線定義得?m＝|PF|－1.再利用數(shù) 形結(jié)合求最值． 答案 (1)C (2)?5－1 解析 (1)由題意得?a＝3，c＝?7，所以|PF1|＝2. F2PF1?中， 42＋22－(2?7)2 1 2×4×2 2 又因?yàn)?cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°. (2)易知?x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為?F(0,1)，故?p＝2， 因此拋物線方程為?x2＝4y. 根據(jù)

6、拋物線的定義可知?m＝|PF|－1， 設(shè)|PH|＝n(H?為點(diǎn)?P?到直線?l?所作垂線的垂足)， 因此?m＋n＝|PF|－1＋|PH|. 易知當(dāng)?F，P，H?三點(diǎn)共線時(shí)?m＋n?最小， |－1－4| 因此其最小值為|FH|－1＝ －1＝?5－1. 5 思維升華 (1)對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中 要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，雙曲線的定義中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距 離與到準(zhǔn)線的距離相等的轉(zhuǎn)化． (2)注意數(shù)形結(jié)合，畫出合理草圖． x2 y2 3

7、2＋???????????????????? 2 (1)已知橢圓?C：a b2＝1(a>b>0)的離心率為 .雙曲線?x2－y2＝1?的漸近線與橢 圓?C?有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為?16，則橢圓?C?的方程為( ) x2 y2 x2 y2 8 2 12 6 C. ＋???＝1 D. ＋???＝1 x2 y2 x2 y2 16 4 20 5 (2)?如圖，過(guò)拋物線?y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)?F?的直線交拋物線于點(diǎn)?A，B，交其準(zhǔn)線?l?于點(diǎn)?C，若 |BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為( )

8、 解析 (1)∵橢圓的離心率為?? ，∴??＝?????? ＝?? ， ∴漸近線?x±y＝0?與橢圓?x2＋4y2＝4b2?在第一象限的交點(diǎn)為è b，??? b?，5 A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝?3x 答案 (1)D (2)C a2－b2 3 c 3 2 a a 2 ∴a＝2b.∴橢圓方程為?x2＋4y2＝4b2. ∵雙曲線?x2－y2＝1?的漸近線方程為?x±y＝0，  ?2?

9、5 5  2?5?? ∴由圓錐曲線的對(duì)稱性得四邊形在第一象限部分的面積為??? b×??? b＝4，∴b2＝5，∴a2＝ ∴橢圓?C?的方程為 ＋???＝1. 2?5 2?5 5 5 4b2＝20. x2 y2 20 5 (2) | | 如圖，分別過(guò)?A，B?作?AA1⊥l?于?A1，BB1⊥l?于?B1，由拋物線的定義知，AF|＝|AA1|，BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|B

10、B1|， ∴∠BCB1＝30°，∴∠A1AF＝60°. 連接?A1F A1AF?為等邊三角形， 過(guò)?F?作?FF1⊥AA1?于?F1，則?F1?為?AA1?的中點(diǎn)， 例?2 (1)已知離心率為?e?的雙曲線和離心率為???2 2???? 2 C.???? D．3 A.è0， B.è0， 1 1 3 設(shè)?l?交?x?軸于?N，則|NF|＝|A1F1|＝2|AA1|＝2|AF|，即?p＝2，∴拋物線方程為?y2＝3x，故選?C. 熱點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 2?的橢圓有相同的焦點(diǎn)?F1，F(xiàn)2，P?是兩曲線的 π 一個(gè)公共點(diǎn)，若∠F1PF2

11、＝3，則?e?等于( ) 5 5 A. B. 6 2 x2 y2 a2 (2)設(shè)?F1，F(xiàn)2?分別是橢圓a2＋b2＝1?(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，若在直線?x＝?c?上存在點(diǎn)?P，使線段 PF1?的中垂線過(guò)點(diǎn)?F2，則橢圓的離心率的取值范圍是( ) ? 2ù ? 3ù 2?? 3?? C.???2 ，1? D.???3 ，1? é?2 ? é?3 ? 坐標(biāo)為(???，y)，考察?y?存在的條件． 2??2 2 (2)設(shè)?Pè?c?，y?，線段?F1P?的中點(diǎn)?Q?的坐標(biāo)為è2c，2?， y2＝???????

12、??????? ，y2≥0， 即?3c2－a2>0，即?e2>??，故?? n，由?m＋n＝2a1，m－n＝2a2?得?m＝a1＋a2，n＝a1－a2. π 又∠F1PF2＝3，

13、 ∴4c2＝m2＋n2－mn＝a21＋3a2， a2 3a2 1 3 6 ???1????????????? 2 ∴c2＋?c22＝4，即 ＋e2＝4，解得?e＝ ，故選?C. ( ) ?a2 ? ?b2 y? cy cy －2c2 當(dāng)?kQF2?存在時(shí)，則?kF1P＝a2＋c2，kQF2＝b2 ， 由?kF1P·?kQF2＝－1，得 (a2＋c2)·?(2c2－b2) c2 但注意到?b2－2c2≠0，即?2c2－b2>0， 1 3 3 3 當(dāng)?kQF2?不存在時(shí)，b2－2c2＝0，y＝0， a2 3 ， 3 3

14、 即所求的橢圓離心率的取值范圍是???3??，1?. 作圓交雙曲線的漸近線于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)?A、B，若(AO＋AF)·?OF＝0，則雙曲線的離心率?e?為 AO＋AF＝2AC，由題意得， 2AC·?OF＝0， ∴??＝tan?45°＝1， 則雙曲線的離心率?e＝??? 1＋(??)2＝???2，故選?C. é?3 ? 思維升華 解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于?a，b，c 的方程或不等式，再根據(jù)?a，b，c?的關(guān)系消掉?b?得到?a，c?的關(guān)系式．建立關(guān)于?a，b，c?的方 程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、

15、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等． x2 y2 ?? (1)已知?O?為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為?F，以?OF?為直徑 → → → ( ) A．2 B．3 C.?2 D.?3 (2)(2014·?課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知?F?為雙曲線?C：x2－my2＝3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)?F?到?C?的一條 漸近線的距離為( ) A.?3 B．3 C.?3m D．3m 答案 (1)C (2)A 解析 (1)設(shè)?OF?的中點(diǎn)為?C，則 → → → →?→ ∴AC⊥OF，∴AO＝AF， 又∠OAF＝90°，

16、∴∠AOF＝45°， 即雙曲線的漸近線的傾斜角為?45°， b a b a (2)雙曲線?C?的標(biāo)準(zhǔn)方程為?? －???＝1(m>0)，其漸近線方程為?y＝± x＝±?? x，即???my＝ x2 y2 3m 3 3??????m 3m????m ±x，不妨選取右焦點(diǎn)?F(?3m＋3，0)到其中一條漸近線?x－?my＝0?的距離求解，得?d＝ 3m＋3 1＋m 軸的交點(diǎn)為?C，已知AB＝ BC. ＝?3.故選?A. 熱點(diǎn)三 直線與圓錐曲線 x2 y2 ?? 例?3 過(guò)橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)的左

17、頂點(diǎn)?A?作斜率為?2?的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為?B，與?y → 6?→ 13 (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)動(dòng)直線?y＝kx＋m?與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?P，且與直線?x＝4?相交于點(diǎn)?Q，若?x?軸上存 在一定點(diǎn)?M(1,0)，使得?PM⊥QM，求橢圓的方程． 思維啟迪 (1)根據(jù)AB＝ BC和點(diǎn)?B?在橢圓上列關(guān)于?a、b?的方程；(2)聯(lián)立直線?y＝kx＋m?與 橢圓方程，利用?Δ＝0，PM·?QM＝0?求解． ∴AB＝(x1＋a，y1)，BC＝(－x1,2a－y1)， ∵AB＝ BC，∴x1＋a＝ (－x1)，y1＝ (2a－y1)，

18、13 13 13 → 6?→ 13 →?→ 解 (1)∵A(－a,0)，設(shè)直線方程為?y＝2(x＋a)，B(x1，y1)， 令?x＝0，則?y＝2a，∴C(0,2a)， → → → 6?→ 6 6 13 12 整理得?x1＝－19a，y1＝19a， 13 12 a2 b2 3 )2＋( 2＝1，∴?? ∵點(diǎn)?B?在橢圓上，∴(19 19)2·?b a2＝4， ＝??，即?1－e2＝??，∴e＝??. ∴ a2－c2?3?????????3??????1 a2?4???????????4??????2 設(shè)?P(x

19、1，y1)則有?x1＝－ 2(3＋4k2)??? 3＋4k2 b2 3 ?? (2)∵a2＝4，可設(shè)?b2＝3t，a2＝4t， ∴橢圓的方程為?3x2＋4y2－12t＝0， ì?3x2＋4y2－12t＝0 由í ，得 ? ?y＝kx＋m (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0， ∵動(dòng)直線?y＝kx＋m?與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?P， ∴Δ＝0，即?64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0， 整理得?m2＝3t＋4k2t， 8km 4km ＝－ ， 3m ??? y1＝kx1＋m＝3＋4k2， 3

20、＋4k2 3＋4k2 ∴P(－ 4km????3m ，?)， 3＋4k2 3＋4k2 ∴橢圓的方程為???＋???＝1. 又?M(1,0)，Q(4,4k＋m)， ∵x?軸上存在一定點(diǎn)?M(1,0)，使得?PM⊥QM， 4km 3m ∴(1＋ ，－ )·(－3，－(4k＋m))＝0?恒成立， 整理得?3＋4k2＝m2. ∴3＋4k2＝3t＋4k2t?恒成立，故?t＝1. x2 y2 4 3 思維升華 待定系數(shù)法是求圓錐曲線方程的基本方法；解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的通法是聯(lián) 立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長(zhǎng)公式等

21、簡(jiǎn)化計(jì)算；涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)， 也可用“點(diǎn)差法”求解． B?是?C?上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段?AB?的中點(diǎn)?M?的橫坐標(biāo)為－?，線段?AB?的中垂線交橢圓?C?于?P， (2)求F2P·?F2Q的取值范圍． 因?yàn)闄E圓?C?過(guò)點(diǎn)(1，?? )， x2 y2 2 2 已知橢圓?C：a2＋b2＝1(a>b>0)的焦距為?2，且過(guò)點(diǎn)(1， )，右焦點(diǎn)為?F2.設(shè)?A， 1 2 Q?兩點(diǎn)． (1)求橢圓?C?的方程； → → 解 (1)因?yàn)榻咕酁?2，所以?a2－b2＝1. 2 2 1 1 2＋ 所以a 2b2  ＝1.故?a

22、2＝2，b2＝1. 所以橢圓?C?的方程為???＋y2＝1. (2)由題意，當(dāng)直線?AB?垂直于?x?軸時(shí)，直線?AB?的方程為?x＝－??， 得F2P·?F2Q＝－1. x2 2 1 2 此時(shí)?P(－?2，0)，Q(?2，0)， → → 1 當(dāng)直線?AB?不垂直于?x?軸時(shí)，設(shè)直線?AB?的斜率為?k(k≠0)，M(－2，m)(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2， y2)， í 得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·??? ＝0，則－1＋4mk＝0， 由 2 ìx1 2 ?x2 2 ＋y21＝1， ＋

23、y2＝1，  y1－y2 x1－x2 直線?PQ?的方程為?y－m＝－4m(x＋??)． 故?4mk＝1. 此時(shí)，直線?PQ?的斜率為?k1＝－4m， 1 2 即?y＝－4mx－m. ì?y＝－4mx－m， 聯(lián)立íx2 ???2?＋y2＝1  消去?y， 于是F2P·?F2Q＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋(4mx3＋m)(4mx4＋m) 32m2＋1????????? 32m2＋1 整理得(32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝0. 設(shè)?P(x3，y3)，Q(x4

24、，y4) 16m2 2m2－2 ???????? 所以?x3＋x4＝－32m2＋1，x3x4＝32m2＋1. → → ＝(4m2－1)(x3＋x4)＋(16m2＋1)x3x4＋m2＋1 (4m2－1)(－16m2) (1＋16m2)(2m2－2) ＝ ＋ ＋1＋m2 32m2＋1 由于?M(－??，m)在橢圓的內(nèi)部，故?0

25、＝??；(2)根據(jù)已知條件確定?a， b，c?的等量關(guān)系，然后把?b?用?a，c?代換，求??. 長(zhǎng)為?? ，過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑最短；拋物線通徑長(zhǎng)是?2p，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦中通徑最短． (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α?為弦?AB?的傾斜角)； (4)?? ＋??? 為定值??； 19m2－1 ＝ . 1 7 2 8 → → 19 51 → →?125 → → 125 ?? 綜上，F(xiàn)2P·?F2Q的取值范圍為[－1，232)． 1．對(duì)涉及圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離或焦點(diǎn)弦的問(wèn)題，恰當(dāng)選用定義解題，會(huì)效果明顯，定義 中的定值是標(biāo)

26、準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)． 2．橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為?Ax2＋By2＝1，其中?A、B?是不等的常數(shù)，A>B>0?時(shí)， 表示焦點(diǎn)在?y?軸上的橢圓；B>A>0?時(shí)，表示焦點(diǎn)在?x?軸上的橢圓；AB<0?時(shí)表示雙曲線． c a c a 4．通徑：過(guò)雙曲線、橢圓、拋物線的焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通徑 2b2 a 橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為?a＋c，最短距離為?a－c. 5．拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)： 已知?AB?是拋物線?y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，F(xiàn)?為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． p2 (1)y1y2＝－

27、p2，x1x2＝?4?； 2p sin2α p2 2sin?α (3)?AOB＝ ； 1 1 2 |FA| |FB| p (5)以?AB?為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． ＝??，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為(??? ) 3?????? 3 真題感悟 1．(2014·?湖北)已知?F1，F(xiàn)2?是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P?是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2 π 3 4?3 2?3 A. B. ì ìr1＋r2＝2a1， r1＝a1＋a2， 令?m＝??2＝??2 2當(dāng)???＝??

28、時(shí)，mmax＝ ， 1∴(???)max＝ 解析 拋物線?y2＝2px?的準(zhǔn)線為直線?x＝－??，而點(diǎn)?A(－2,3)在準(zhǔn)線上，所以－??＝－2，即?p＝4， 從而?C：y2＝8x，焦點(diǎn)為?F(2,0)．設(shè)切線方程為?y－3＝k(x＋2)，代入?y2＝8x?得??y2－y＋2k＋3 ＝0(k≠0)①，由于?Δ＝1－4×??(2k＋3)＝0，所以?k＝－2?或?k＝??. 因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以?k＝??. 將?k＝??代入①中，得?y＝8，再代入?y2＝8x?中得?x＝8， 所以直線?BF?的斜率為??. ???? 1 1 a1＋a2 r1∴ ??????e1 e2 c

29、c ???r2??2 r2 r2 1??2 3 ??????r1 r1 r1 2 4 ??????c 3 ????????e1 e2 3 ???2 3 ???4 3 C．3 D．2 答案 A 解析 設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為?a1，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為?a2， 橢圓、雙曲線的離心率分別為?e1，e2， π 1 由(2c)2＝r2＋r2－2r1r2cos?3， 得?4c2＝r21＋r2－r1r2. 由í 得í ? ? ?r1－r2＝2a2 ?r2＝a1－a2， ＝?. 1 2

30、 r2 4r1 c r1＋r2－r1r2 4 4 ＝ ＝ ， 1＋(?)?－ (?－?)?＋ r 1 16 r1 2 3 r 4?3 ， 1 1 4?3 即?＋?的最大值為 . 2．(2014·?遼寧)已知點(diǎn)?A(－2,3)在拋物線?C：y2＝2px?的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)?A?的直線與?C?在第一象限 相切于點(diǎn)?B，記?C?的焦點(diǎn)為?F，則直線?BF?的斜率為( ) 1 2 A. B. 3 4 C. D. 答案 D p p 2 2 k 8 k 1 8 2 1 2 1 2 所以點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為(8,8)，

31、4 3 押題精練 雙曲線的右支交于點(diǎn)?P，若OE＝??(OF＋OP)，則雙曲線的離心率是_______________． a2 x2 y2 ?????????????????????????????? 1．已知圓?x2＋y2＝16上點(diǎn)?E?處的一條切線?l?過(guò)雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)?F，且與 → 1?→ → 2 答案 解析 26 4 由題意可知|OE|＝??， 由OE＝??(OF＋OP)，可知?E?為?FP?的中點(diǎn)． 所以?OE∥PH，且|OE|＝??|P

32、H|， 故|PH|＝2|OE|＝??. 所以|PF|＝2a＋|PH|＝? . 即(2c)2＝(??)2＋( )2， 整理得??＝??? ，即?e＝??? . (1)若直線?AP?與?BP?的斜率之積為－?，求橢圓的離心率； x0 y20 由?A(－a,0)，B(a,0)，得?kAP＝??? ，kBP＝??? . 如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為?H，連接?PH， a 4 → 1?→ → 2 由雙曲線的性質(zhì)，可知?O?為?FH?的中點(diǎn)， 1 2 a 2 由雙曲線的定義，可知|PF|－|PH|＝2a(P?在雙曲線的右支上)， 5a 2 因?yàn)橹本€?l

33、?與圓相切，所以?PF⊥OE. 又?OE∥PH，所以?PF⊥PH. PFH?中， |FH|2＝|PH|2＋|PF|2， a 5a 2 2 c 26 26 a 4 4 x2 y2 ?? 2．設(shè)橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為?A、B，點(diǎn)?P?在橢圓上且異于?A、B?兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)． 1 2 (2)若|AP|＝|OA|，證明：直線?OP?的斜率?k?滿足|k|>?3. ?? (1)解 設(shè)點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為(x0，y0)，y0≠0. 由題意，有a2＋b2＝1.① y0 y0 x0＋a x0－a 1 0 由?kAP·?

34、kBP＝－2，可得?x20＝a2－2y2， 由于?y0≠0，故??a2＝2b2.于是??e2＝ ＝??，所以橢圓的離心率?e＝?? . 消去?y0?并整理，得??x0 k2a2＋b2 代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2èb?2＋4. 整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是?x0＝1＋k2 代入①并整理得(a2－2b2)y20＝0. a2－b2 1 2 a2 2 2 (2)證明 方法一 依題意，直線?OP?的方程為?y＝kx，設(shè)點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為(x0，y0)．由條件得 ì?y0＝kx0， íx2 y2 2 2 ??a0＋b0＝1. a

35、2b2 2＝ ，② 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及?y0＝kx0， 得(x0＋a)2＋k2x20＝a2. 整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0. －2a ??? 而?x0≠0，于是?x0＝1＋k2， ?a? 又?a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即?k2＋1>4， 因此?k2>3，所以|k|>?3. 方法二 依題意，直線?OP?的方程為?y＝kx，可設(shè)點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為(x0，kx0)． x2 k2x2 2??? 由點(diǎn)?P?在橢圓上，有a0＋?b20＝1. 因?yàn)?a>b>0，kx0≠0， x2 k2x2 2

36、 所以a0＋?a20<1，即(1＋k2)x203， 所以|k|>?3. A．1 B.???2? C.?? D.???3 (推薦時(shí)間：60?分鐘) 一、選擇題 x2 y2 1．已知橢圓?4?＋b2＝1(0

37、F2|的最大值為?5，則?b?的值是( ) 3 2 A．2?或????? B.???6或 答案 D 解析 由橢圓的方程，可知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)?a＝2；由橢圓的定義，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8， 2b2 所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由橢圓的性質(zhì)，可知過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，即a?＝3， 可求得?b2＝3，即?b＝?3. x2 y2 y2 x2 ?????????????????????????? 2．已知雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)以及雙曲線a2－b2＝1?的漸近線將第一象限三等分，則雙曲 x2

38、y2 ?? 線a2－b2＝1?的離心率為( ) 2?3 2?3 3 3 C．2?或?3 D.?3或?6 答案 A x2 y2 b 3 ???????????????????????????????????? ＝?3 解析 由題意，可知雙曲線a2－b2＝1?的漸近線的傾斜角為?30°或?60°，則a 或?3. 則?e＝??＝ 1＋(??)2＝??? 或?2. c c2 a a2  ＝ b???2?3 a????3 A. －?? ＝1 B.???－ ＝1 C.?? －? ＝1 D. －???＝1 線的左焦點(diǎn)，即?λ＋3λ

39、＝36，λ＝9，所以雙曲線的方程為???－? ＝1.故選?B. 0，|OB－OC|＝2|BC－BA|，則其焦距為(??? ) 3?????? 3 3?????? 3 解析 由題意，可知|OC|＝|OB|＝??|BC|，且?a＝4， 又|OB－OC|＝2|BC－BA|， 故選?A. x2 y2 2－ 3．已知雙曲線a b2＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是?y＝?3x，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線?y2 ＝24x?的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為( ) x2 y2 x2 y2 36 108 9 27 x2 y2 x2 y2 108 36 27 9 答案 B x2

40、y2 y2 ?????????????????????????????????????????????????????????????? b 解析 由雙曲線a2－b2＝1(a>0，?>0)的一條漸近線方程是?y＝?3x，可設(shè)雙曲線的方程為?x2－?3 ＝λ(λ>0)． x2 y2 ?? 因?yàn)殡p曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線?y2＝24x?的準(zhǔn)線上，所以?F(－6,0)是雙曲 x2 y2 9 27 y2 x2 →?→ ?? 4．已知橢圓a2＋b2＝1?(a>b>0)，A(4,0)為長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦?BC?過(guò)橢圓的中心?O，且AC·?BC＝

41、 → → → → 4?6 4?3 A. B. 8?6 2?3 C. D. 答案 C → → 1?→ 2 → → → → 所以，|BC|＝2|AC|.故|OC|＝|AC|. 又AC·?BC＝0，所以AC⊥BC. OAC?為等腰直角三角形，|OC|＝|AC|＝2???2. 所以?c2＝a2－b2＝42－ ＝ ，c＝??? . 故其焦距為?2c＝??? . 4?????? 8????? 32??? 4 解析 由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為?F(??，0)， 因此直線?AB?的方程為?y＝?? (x－??)， 方法二 聯(lián)立方程得?x2－ x＋

42、 ＝0， → → → → →?→ → → → → 22 22 16 ?? 2＝1，解得?b2＝ 不妨設(shè)點(diǎn)?C?在第一象限，則點(diǎn)?C?的坐標(biāo)為(2,2)，代入橢圓的方程，得42＋b 3?. 16 32 4?6 3 3 3 8?6 3 5．設(shè)?F?為拋物線?C：y2＝3x?的焦點(diǎn)，過(guò)?F?且傾斜角為?30°的直線交?C?于?A，B?兩點(diǎn)，O?為坐 標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB?的面積為( ) 3?3 9?3 63 9 A. B. C. D. 答案 D 3 4 3 3 3 4 即?4x－4?3y－3＝0. 方法一 聯(lián)立拋物線方程，化

43、簡(jiǎn)得?4y2－12?3y－9＝0， 故|yA－yB|＝?(yA＋yB)2－4yAyB＝6. 1 1 3 9 因此??OAB＝2|OF||yA－yB|＝2×4×6＝4. 21 9 2 16 21 故?xA＋xB＝?2?. 21 3 根據(jù)拋物線的定義有|AB|＝xA＋xB＋p＝?2?＋2＝12， 8 同時(shí)原點(diǎn)到直線?AB?的距離為?h＝ |－3|??????3 ＝?， 42＋(－4?3)2 A．[??，??] B．[??，?? ] C．(?? ，1) D．[??，1) 則PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)， 1

44、 9 因此??OAB＝2|AB|·h＝4. x2 y2 →?→ 6．橢圓?M：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為?F1、F2，P?為橢圓?M?上任一點(diǎn)，且PF1·?PF2 的最大值的取值范圍是[c2,3c2]，其中?c＝?a2－b2，則橢圓?M?的離心率?e?的取值范圍是( ) 1 1 1 2 4 2 2 2 2 1 2 2 答案 B 解析 設(shè)?P(x，y)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， → → PF1·?PF2＝x2＋y2－c2. 所以(x2＋y2)max＝a2，所以(PF1·?PF2)max＝b2， 所以?c2≤b2＝a

45、2－c2≤3c2，即??≤e2≤??， 27．(2014·?北京)設(shè)雙曲線?C?經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)，且與???－x?＝1?具有相同漸近線，則?C?的方程為_(kāi)_______； 2解析 設(shè)雙曲線?C?的方程為???－x?＝λ， ∴C?的方程為???－ ＝1， 解析 由拋物線的定義可得|MQ|＝|MF|，F(xiàn)(??，0)，又?PQ⊥QF，故?M?為線段?PF?的中點(diǎn)，所 以?M(??，1)，把?M(??，1)，代入拋物線?y2＝2px(p>0)得，1＝2p×??， 9．拋物線?C?的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)?F?與雙曲線???－???＝1?的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)?P(2,0)且斜率為?1 解析 因

46、為雙曲線???－???＝1?的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)． 所以??＝3，所以?p＝6. x1＋x2＋p 16＋6 ??所以??≤e≤ .故選?B. ????答案 － ＝1 y＝±2x ????＝ ＝11.故填?11. →?→ 又?x2＋y2?可看作?P(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方， →?→ 1 1 4 2 1 2 2 2 二、填空題 y2 4 漸近線方程為_(kāi)_______． x2 y2 3 12 y2 4 將點(diǎn)(2,2)代入上式，得?λ＝－3， x2 y2 3 12 其漸近線方程為?y＝±2x. 8．(2014

47、·?浙江東陽(yáng)中學(xué)階段考試)已知點(diǎn)?P(0,2)，拋物線?C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為?F，線段?PF 與拋物線?C?的交點(diǎn)為?M，過(guò)?M?作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為?Q，若∠PQF＝90°，則?p＝________. 答案 2 p 2 p p p 4 4 4 解得?p＝?2，故答案為?2. x2 y2 3 6 的直線?l?與拋物線?C?交于?A，B?兩點(diǎn)，則弦?AB?的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______． 答案 11 x2 y2 3 6 p 2 即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?y2＝12x. 設(shè)過(guò)點(diǎn)?P(2,0)且斜率為?1?的直

48、線?l?的方程為?y＝x－2， 聯(lián)立?y2＝12x?消去?y?可得?x2－16x＋4＝0，設(shè)?A(x1，y1)，B(x2，y2)，則?x1＋x2＝16， 所以弦?AB?的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為 2 2 x2 y2 10．已知?F1，F(xiàn)2?是雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)?P?在雙曲線上且不與頂點(diǎn)重 合，過(guò)?F2?作∠F1PF2?的角平分線的垂線，垂足為?A.若|OA|＝?b，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______． 答案 2 解析 延長(zhǎng)?F2A?交?PF1?于?B?點(diǎn)，則|PB|＝|PF2|， 依題意可得|BF1|＝|P

49、F1|－|PF2|＝2a. 又因?yàn)辄c(diǎn)?A?是?BF2?的中點(diǎn)． 1 所以得到|OA|＝2|BF1|，所以?b＝a. 所以?c＝?2a.所以離心率為?2. 三、解答題 11．已知曲線?C?上的動(dòng)點(diǎn)?P(x，y)滿足到定點(diǎn)?A(－1,0)的距離與到定點(diǎn)?B(1,0)的距離之比為?2. (1)求曲線?C?的方程； (2)過(guò)點(diǎn)?M(1,2)的直線?l?與曲線?C?交于兩點(diǎn)?M、N，若|MN|＝4，求直線?l?的方程． 解 (1)由題意得|PA|＝?2|PB|， 故?(x＋1)2＋y2＝?2?(x－1)2＋y2， 化簡(jiǎn)得：x2＋y2－6x＋1＝0

50、(或(x－3)2＋y2＝8)即為所求． (2)當(dāng)直線?l?的斜率不存在時(shí)，直線?l?的方程為?x＝1. 將?x＝1?代入方程?x2＋y2－6x＋1＝0?得?y＝±2， 所以|MN|＝4，滿足題意． 當(dāng)直線?l?的斜率存在時(shí)，設(shè)直線?l?的方程為?y＝kx－k＋2， |3k－k＋2| 由圓心到直線的距離?d＝2＝ ， 1＋k2 解得?k＝0，此時(shí)直線?l?的方程為?y＝2. 綜上所述，滿足題意的直線?l?的方程為?x＝1?或?y＝2. x2 y2 12．設(shè)?F1，F(xiàn)2?分別是橢圓?E：a2＋b2＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，過(guò)?F1?且斜率為?1?

51、的直線?l?與?E 相交于?A，B?兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列． (1)求?E?的離心率； (2)設(shè)點(diǎn)?P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求?E?的方程． 解 (1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 4 因?yàn)?2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝3a. l?的方程為?y＝x＋c，其中?c＝?a2－b2. ＋???＝1，2 2??a b 故??a＝???2 x0 故橢圓?E?的方程為 ＋???＝1. 213．(2013·?北京)已知?A，B，C?是橢圓?W：???＋y?＝1?上的

52、三個(gè)點(diǎn)，O?是坐標(biāo)原點(diǎn)． 2解 (1)由橢圓?W：???＋y?＝1，知?B(2,0) ∴菱形的面積?S＝??|OB|·|AC|＝??×2×???3＝???3. ??則?x1＋x2＝???2 ，x1x2＝ ???????? 2 2a?＋b2 a?＋b ?? 23 a?＋b ????????所以?E?的離心率?e＝??＝ ＝ . ????????????x1＋x2 －a2c 2 c ?? 2將?x＝1?代入???＋y?＝1，得?y＝± . ì?y＝x＋c， 設(shè)?A(x1，y1)，B(x2，y2)，則?A，B?兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組íx2 y2 化簡(jiǎn)得(a2＋b2)x

53、2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0， －2a2c a2(c2－b2) . 因?yàn)橹本€?AB?的斜率為?1， 所以|AB|＝?2|x2－x1|＝?2[(x1＋x2)2－4x1x2]. 4 4ab2 ，得?a2＝2b2， a2－b2 c 2 a a 2 (2)設(shè)?AB?的中點(diǎn)為?N(x0，y0)，由(1)知 ???????????? x0＝ 2 ＝a2＋b2＝－3c，y0＝x0＋c＝3. 由|PA|＝|PB|，得?kPN＝－1， y?＋1 即?0 ＝－1， 得?c＝3，從而?a＝3?2，b＝3. x2 y2 18 9 x2

54、4 (1)當(dāng)點(diǎn)?B?是?W?的右頂點(diǎn)，且四邊形?OABC?為菱形時(shí)，求此菱形的面積； (2)當(dāng)點(diǎn)?B?不是?W?的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形?OABC?是否可能為菱形，并說(shuō)明理由． x2 4 ∴線段?OB?的垂直平分線?x＝1. 在菱形?OABC?中，AC⊥OB， x2 3 4 2 ∴|AC|＝|yA－yC|＝?3. 1 1 2 2 (2)假設(shè)四邊形?OABC?為菱形． ∵點(diǎn)?B?不是?W?的頂點(diǎn)，且直線?AC?不過(guò)原點(diǎn)， ∴可設(shè)?AC?的方程為?y＝kx＋m(k≠0，m≠0)． ì?x2＋4y2＝4， 由í ? ?y＝kx＋m

55、 消?y?并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. ??x1＋x2 y?＋y2 x?＋x2 2 21＋4k 1＋4k2 ? ? － ＝－??≠－1，又?k·?è 4k? ???????2 2 設(shè)?A(x1，y1)，C(x2，y2)，則 4km m ＝－ ，?1 ＝k·?1 ＋m＝ . 4km m ∴線段?AC?中點(diǎn)?Mè－1＋4k2，1＋4k2?， 1 ∵M(jìn)?為?AC?和?OB?交點(diǎn)，∴kOB＝－4k. ? 1?? 1 4 ∴AC?與?OB?不垂直． ∴OABC?不是菱形，這與假設(shè)矛盾． 綜上，四邊形?OABC?不是菱形．