應(yīng)用彈塑性力學(xué) 李同林 第四章(1)

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1、第四章彈性變形·塑性變形·本構(gòu)方程 當(dāng)我們要確定物體變形時其內(nèi)部的應(yīng)力分布和變形規(guī)律時，單從靜力平衡條件去研究是解決不了問題的。因此,彈塑性力學(xué)研究的問題大多是靜不定問題。要使靜不定問題得到解答,就必須從靜力平衡、幾何變形和物性關(guān)系三個方面來進(jìn)行研究.考慮這三個方面，就可以構(gòu)成三類方程，即力學(xué)方程、幾何方程和物性方程。綜合求解這三類方程,同時再滿足具體問題的邊界條件,從理論上講就可使問題得到解答。 在第二、三兩章中,我們已經(jīng)分別從靜力學(xué)和幾何學(xué)兩方面研究了受力物體所應(yīng)滿足的各種方程,即平衡微分方程式(２-44）和幾何方程式（3－2）等.所以，現(xiàn)在的問題是，必須考慮物體的物性，也即考慮物體變

2、形時應(yīng)力和應(yīng)變間的關(guān)系。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在力學(xué)中常稱之為本構(gòu)關(guān)系或本構(gòu)方程。本章將介紹物體產(chǎn)生變形時的彈性和塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。 大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系是相輔相成的，有應(yīng)力就會有應(yīng)變,而有應(yīng)變就會有應(yīng)力。對于每一種具體的固體材料，在一定條件下，應(yīng)力和應(yīng)變之間有著確定的關(guān)系，這種關(guān)系反映了材料客觀固有的特性。下面我們以在材料力學(xué)所熟知的典型塑性金屬材料低碳鋼軸向拉伸試驗(yàn)所得的應(yīng)力應(yīng)變曲線（如圖４—1所示)為例來說明和總結(jié)固體材料產(chǎn)生彈性變形和塑性變形的特點(diǎn)，并由此說明塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系比彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系要復(fù)雜的多。 在圖４-1中，OA段為比例變形階段.在這一階段中，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)

3、系是線性的,即可用虎克定律來表示： 　 　　 　σ＝Eε 　　 　 　　 　 　 　 　　 　 　 (4—１） 式中E為彈性模量，在彈性變形過程中,Ｅ為常數(shù)。A點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力稱為比例極限，記作σP。由A點(diǎn)到Ｂ點(diǎn)，已經(jīng)不能用線性關(guān)系來表示，但變形仍是彈性的。B點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力稱為彈性極限，記作σr。對于許多材料,Ａ點(diǎn)到B點(diǎn)的間距很小,也即σＰ與σr數(shù)值非常接近，通常并不加以區(qū)分，而均以σr表示,并認(rèn)為當(dāng)應(yīng)力小于σr時,應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系滿足式（4—1)。在當(dāng)應(yīng)力小于σr時，逐漸卸去載荷，隨著應(yīng)力的減小，應(yīng)變也漸漸消失，最

4、終物體變形完全得以恢復(fù)。若重新加載則應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系將沿由Ｏ到B的原路徑重現(xiàn)。BF段稱為屈服階段.C點(diǎn)和D點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力分別稱為材料的上屈服極限和下屈服極限。應(yīng)力到達(dá)D點(diǎn)時，材料開始屈服。一般來說，上屈服極限受外界因素的影響較大，如試件截面形狀、大小、加載速率等，都對它有影響。因此在實(shí)際應(yīng)用中一般都采用下屈服極限作為材料的屈服極限，并記作σｓ.有些材料的屈服流動階段是很長的，應(yīng)變值可以達(dá)到０。０1。由Ｅ點(diǎn)開始，材料出現(xiàn)了強(qiáng)化現(xiàn)象,即試件只有在應(yīng)力增加時，應(yīng)變才能增加。如果在材料的屈服階段或強(qiáng)化階段內(nèi)卸去載荷，則應(yīng)力應(yīng)變不會順原路徑返回,而是沿著一條平行于OA線的MO＇＇'（或ＨO’、KO＇＇)路徑返

5、回。這說明材料雖然產(chǎn)生了塑性變形,但它的彈性性質(zhì)卻并沒有變化。如果在點(diǎn)O'''（或O'、Ｏ'’）重新再加載，則應(yīng)力應(yīng)變曲線仍將沿著O''＇ＭFG （或O＇HEFG、O''ＫFG）變化，在Ｍ點(diǎn)（或Ｈ點(diǎn)、K點(diǎn))材料重新進(jìn)入塑性變形階段。顯然,這就相當(dāng)于提高了材料的屈服極限。經(jīng)過卸載又加載，使材料的屈服極限升高,塑性降低,增加了材料抵抗變形能力的現(xiàn)象，稱為強(qiáng)化（或硬化）。顯然，我們注意到材料變形一旦進(jìn)人塑性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變就不再具有一一對應(yīng)的關(guān)系。在Ｆ點(diǎn)之前，試件處于均勻應(yīng)變狀態(tài)，到達(dá)Ｆ點(diǎn)后，試件往往開始出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象。如果再繼續(xù)加載則變形將主要集中于頸縮區(qū)進(jìn)行,F點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力是材料強(qiáng)化階段的最大

6、應(yīng)力,稱為強(qiáng)度極限，用Qa表示。由于頸縮區(qū)的截面逐漸縮小,所以試件很快受拉被剪斷。試件在斷裂之前。一般產(chǎn)生有較大的塑性變形.韌性較好的低碳鋼材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線所反映的變形特征既典型又具有代表性.這也為大量固體材料的力學(xué)試驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)。綜上所述.并對大量固體材料力學(xué)試驗(yàn)資料綜合分析知，固體材料彈性變形具有以下特點(diǎn)： （1）彈性變形是可逆的。物體在變形過程中,外力所做的功以能量(應(yīng)變能）的形式貯存在物體內(nèi),當(dāng)卸載時,彈性應(yīng)變能將全部釋放出來，物體的變形得以完全恢復(fù)。 (2）無論材料是處于單向應(yīng)力狀態(tài),還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在線彈性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變成線性比例關(guān)系. 　（３

7、）對材料加載或卸載,其應(yīng)力應(yīng)變曲線路徑相同.因此,應(yīng)力與應(yīng)變是一一對應(yīng)的關(guān)系。 　而固體材料的塑性變形具有以下特點(diǎn)： 　 　(l)塑性變形不可恢復(fù)，所以外力功不可逆。塑性變形的產(chǎn)生過程，必定要消耗能量(稱耗散能或形變功）. 　?。?）在塑性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系是非線性的.因此,不能應(yīng)用疊加原理。又因?yàn)榧虞d與卸載的規(guī)律不同，應(yīng)力與應(yīng)變也不再存在一一對應(yīng)的關(guān)系,也即應(yīng)力與相應(yīng)的應(yīng)變不能唯一地確定,而應(yīng)當(dāng)考慮到加載的路徑(即加載歷史）。 　 （3）當(dāng)受力固體產(chǎn)生塑性變形時，將同時存在有產(chǎn)生彈性變形的彈性區(qū)域和產(chǎn)生塑性變形的塑性區(qū)域。并且隨著載荷的變化，兩區(qū)域的分界面也會產(chǎn)

8、生變化。 但判斷物體中某一點(diǎn)是否由彈性狀態(tài)轉(zhuǎn)變到塑性狀態(tài)，必然要滿足一定的條件(或判據(jù)),這一條件就稱為屈服條件。在分析物體的塑性變形時,材料的屈服條件是非常重要的關(guān)系式(詳見§4-4）。 　無疑，在彈性區(qū)，材料在加載或卸載的過程中都服從應(yīng)力應(yīng)變成線性比例關(guān)系，即廣義虎克定律（詳見§4-3）。但在塑性區(qū),加載過程服從塑性規(guī)律，而在卸載過程中則服從彈性的虎克定律。為了考慮材料的變形歷史、應(yīng)研究應(yīng)力和應(yīng)變增量之間的關(guān)系,以這種關(guān)系為基礎(chǔ)的理論，稱為增量理論。在比例變形條件下，通過對增量理論的應(yīng)力和應(yīng)變增量關(guān)系的積分，就可以得到全量理論的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系。增量形式的應(yīng)力與應(yīng)變增量的關(guān)

9、系和全量形式的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系都是非線性的關(guān)系式,它們就是塑性變形的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（詳見§4－7）。 此外，若對材料加載，應(yīng)力超過屈服極限后，卸去載荷,然后再反向加載（即由軸向拉伸改為壓縮）,則這時產(chǎn)生的新的屈服極限將有所降低,如圖4—２所示，σｓ'＇＜σｓ'且σｓ＇'〈σs。這種具有強(qiáng)化性質(zhì)的材料隨著塑性變形的增加，屈服極限在一個方向上提高，而在相反方向上降低的效應(yīng)，是德國的包辛格（J。　Bausｃhingｅr）首先發(fā)現(xiàn)的,故稱之為包辛格效應(yīng).包辛格效應(yīng)使材料具有各向異性性質(zhì)。由于這一效應(yīng)的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜,一般塑性理論（在本教程)中都忽略它的影響。 綜上所述可知，塑性力學(xué)要比彈性力學(xué)的理

10、論復(fù)雜得多。為研究塑性力學(xué)的需要,這里我們在第一章緒論中對固體材料所做基本假設(shè)的基礎(chǔ)上，再提出以下附加假設(shè)，這些附加假設(shè)都是建立在一些金屬材料的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的,它們是:　 (1)球應(yīng)力引起了全部體變(即體積改變量）,而不包含畸變（即形狀改變量)，體變是彈性的.因此，球應(yīng)力不影響屈服條件. (2）偏斜應(yīng)力引起了全部畸變，而不包括體變，塑性變形僅是由應(yīng)力偏量引起的.因此，在塑性變形過程中，材料其有不可壓縮性（即體積應(yīng)變?yōu)榱?。 　　 (3)不考慮時間因素對材料性質(zhì)的影響，即認(rèn)為材料是非粘性的。 　 　 此外必須指出,上述附加假設(shè)的前兩條對于一般巖土類材料是不適用的。有關(guān)巖土

11、類材料的討論請見§４—５。 §4—2 彈塑性力學(xué)中常用的簡化力學(xué)模型 不同的固體材料，力學(xué)性質(zhì)各不相同。即便是同一種固體材料，在不同的物理環(huán)境和受力狀態(tài)中,所測得的反映其力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線也各不相同。盡管材料力學(xué)性質(zhì)復(fù)雜多變，但仍是有規(guī)律可循的，也就是說可將各種反映材料力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，進(jìn)行分析歸類并加以總結(jié)，從而提出相應(yīng)的變形體力學(xué)模型。 　 對于不同的材料,不同的應(yīng)用領(lǐng)域，可以采用不同的變形體模型.在確定力學(xué)模型時,要特別注意使所選取的力學(xué)模型必須符合材料的實(shí)際情況，這是非常重要的，因?yàn)橹挥羞@樣才能使計(jì)算結(jié)果反映結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中的真實(shí)應(yīng)力及應(yīng)力狀態(tài)。另一方面要注意

12、所選取的力學(xué)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)足夠簡單,以便在求解具體問題時，不出現(xiàn)過大的數(shù)學(xué)上的困難。關(guān)于彈塑性力學(xué)中常用的簡化力學(xué)模型分析如下: (1）理想彈塑性力學(xué)模型 當(dāng)材料進(jìn)行塑性狀態(tài)后，具有明顯的屈服流動階段,而強(qiáng)化程度較小。若不考慮材料的強(qiáng)化性質(zhì),則可得到如圖4—3所示理想彈塑性模型，又稱為彈性完全塑性模型。在圖4-３中,線段OA表示材料處于彈性階段,線段ＡB表示材料處于塑性階段，應(yīng)力可用如下公式求出： 由于公式(4—2)只包括了材料常數(shù)E和εs，故不能描述應(yīng)力應(yīng)變曲線的全部特征，又由于在ε=εｓ處解析式有變化,故給具體計(jì)算帶來一定困難。這一力學(xué)模型抓住

13、了韌性材料的主要特征,因而與實(shí)際情況符合得較好。 (２)理想線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型 　當(dāng)材料有顯著強(qiáng)化率，而屈服流動不明顯時,可不考慮材料的塑性 流動,而采用如圖4－4所示線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型.圖中有兩條直線，其解析表達(dá)式為： 式中Ｅ及E1分別表示線段OA及AB的斜率。具有這種應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的材料，稱為彈塑性線性強(qiáng)化材料。由于OA和AB是兩條直線，故有時也稱之為雙線性強(qiáng)化模型.顯然，這種模型和理想彈塑性力學(xué)模型雖然相差不大,但具體計(jì)算卻要復(fù)雜得多。 　 　 在許多實(shí)際工程問題中，彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小得多，因而可以忽略彈性應(yīng)變.于是上述兩種力學(xué)模型又可簡化為理想剛塑性力學(xué)模型.

14、 (3)理想剛塑性力學(xué)模型 如圖4－5所示，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為: 上式表明在應(yīng)力到達(dá)屈服極限之前，應(yīng)變?yōu)榱?這種模型又稱為剛性完全塑性力學(xué)模型,它特別適宜于塑性極限載荷的分析。 （４)理想線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型 　如圖４-6所示，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 　 (５)冪強(qiáng)化力學(xué)模型 為了避免在ε=εs處的變化,有時可以采用冪強(qiáng)化力學(xué)模型，即取： 　　　 式中ｎ為幕強(qiáng)化系數(shù),介于0與1之間。式(4—6)所代表的曲線(如圖４-７所示）在ε=0處與σ軸相切,而且有： 式(4－7）的第一式代表理想彈性模型，若將式中 的A用彈性模

15、量E代替,則為虎克定律式(４－1)； 第二式若將A用σs代替，則為理想塑性(或稱理想 剛塑性）力學(xué)模型.通過求解式(４-7)則可得ε=１，即 兩條直線在ε=1處相交.由于冪強(qiáng)化模型也只有兩 個參數(shù)A和n,因而也不可能準(zhǔn)確地表示材料的 所有特征。但由于它的解析式比較簡單,而且n可以 在較大范圍內(nèi)變化，所以也經(jīng)常被采用. §4-3 　彈性本構(gòu)方程·彈性應(yīng)變能函數(shù)·彈性常數(shù)間的關(guān)系 ４—3-1 　廣義虎克定律——彈性本構(gòu)方程 大量的試驗(yàn)研究結(jié)果表明,在許多工程材料的彈性范圍內(nèi)，單向的應(yīng)力與應(yīng)變之間存在著線性關(guān)系。若取過某點(diǎn)的x方向?yàn)閱屋S向力方向,則簡單拉（壓）時的虎克定律為： σx

16、=Eεｘ.由于這種關(guān)系反映出來的材料變形屬性，應(yīng)不隨應(yīng)力狀態(tài)的不同而變化,因而人們認(rèn)為，對于各種復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)也應(yīng)有性質(zhì)相同的關(guān)系,故可將上述應(yīng)力應(yīng)變線性比例關(guān)系推廣到一般情況，即在彈性變形過程中，任一點(diǎn)的每一應(yīng)力分量都是六個獨(dú)立的應(yīng)變分量的線性函數(shù);反之亦然.這種形式的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,稱為廣義虎克定律或彈性本構(gòu)方程①，表達(dá)為數(shù)學(xué)形式則為: 式中是amn（ｍ、ｎ=１，2，…,6)共36個，是材料彈性性質(zhì)的表征。由均勻性假設(shè)知，這種彈性性質(zhì)應(yīng)與點(diǎn)的位置坐標(biāo)無關(guān)，于是彈性系數(shù)amn都是與位置無關(guān)的常數(shù)，故稱為彈性常數(shù)。如果采用張量記法,則式（4—8）可縮寫為: 式（4-9)中的aiｊkｔ

17、與式（4—8）中的amn的對應(yīng)關(guān)系如表4—1所示。 例如：Ｃ１2 = C1122，C34=C３31２或C3321，… 　 現(xiàn)在的問題是:廣義虎克定律中的36個彈性常數(shù)是否都彼此無關(guān)?如果不是，那么在各種情況（如在各向同性體情況等）下，它們之間有什么關(guān)系?特別是對各種各向異性材料,它們之間又有什么關(guān)系？在回答這些問題之前，我們先引入彈性應(yīng)變能的概念,并給出在普遍情況下應(yīng)變能的計(jì)算公式。 4—3-2 彈性應(yīng)變能函數(shù) 　　 　現(xiàn)設(shè)物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)，在物體產(chǎn)生彈性變形的過程中，外力沿其作用線方向的位移上作了功。若對于靜載作用下的物體產(chǎn)生彈性變形過程中可以不計(jì)能量（包括動能

18、與熱量）的損失.于是，根據(jù)功能原理可以認(rèn)為:產(chǎn)生此變形的外力在加載過程中所作的功將以一種能的形式被積累在物體內(nèi),此能量稱為彈性應(yīng)變能，或稱彈性變形能，并且物體的彈性應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力功。這就是變形能原理。若彈性應(yīng)變能用U表示，外力功用We,表示，則有: 在加載過程中，變形體的外力和內(nèi)力都要作功。在小變形條件下，根據(jù)機(jī)械能守恒定理,則可認(rèn)為這一過程中的外力功和內(nèi)力功（用Wi表示）之和為零,也即: 于是有： 　因?yàn)閮?nèi)力是由于材料對應(yīng)變的抵抗而產(chǎn)生的,所以在靜力加載過程中，內(nèi)力與變形方向反，內(nèi)力功取負(fù)值。 　 　這里所談的內(nèi)力實(shí)際上就是指物體內(nèi)的應(yīng)力，也即一點(diǎn)

19、單元體各微截面上作用的應(yīng)力。顯然,整個物體的內(nèi)力功,就等于物體內(nèi)每一點(diǎn)處(單元體)由于變形應(yīng)力所作的內(nèi)力功的總和。應(yīng)當(dāng)注意到，當(dāng)我們?nèi)∥矬w內(nèi)一點(diǎn)(單元體)作為研究對象時，則該單元體各微截面上作用的應(yīng)力,就應(yīng)視為該單元體的外力了，見圖２－12所示，當(dāng)單元體各邊長dx、dy、dｚ因變形都產(chǎn)生有位移分量δｕ、δｖ、δw時,應(yīng)力分量σij和應(yīng)變分量εiｊ也應(yīng)有相應(yīng)的增量,由此可計(jì)算出單元體上應(yīng)力所作的功。 　 首先考察單元體上外法線與x軸相平行的微截面上拉力(或壓力）所作的功,如圖4－8(a）所示。當(dāng)有應(yīng)變增量δεx時,則兩平行微截面間的相對位移為δεｘｄ x。略去右側(cè)截面上正應(yīng)力增量勢dx一項(xiàng)

20、（因該項(xiàng)力所作的功為高階微量),則得單元體x方向的拉力（或壓力) σxdydｚ所作的功為（b）式第一項(xiàng).同理可得單元體y、z方向上的拉力（或壓力)所作的功為(b)式后兩項(xiàng)： 再考察單元體xＯy平面內(nèi)剪力在剪變形上所作的功。如圖4－8(ｂ）所示,當(dāng)有剪應(yīng)變增量δγｘｙ時,同理略去剪應(yīng)力增量dx，單元體兩側(cè)面上作用的剪力ｘydｙｄz組成力偶ｘｙdydzdx，則該力偶所作的功為式(c)第一項(xiàng)。同理再考察單元體ｙOz或zＯｘ截面上剪力作的功，可得式（ｃ）后兩項(xiàng): 綜上所述，物體內(nèi)一點(diǎn)單元體各微截面上的全部外力在微小變形增量上所作的功為: 考慮到dxdydｚ是單元體的體積，因此單元

21、體中單位體積內(nèi)外力在微小應(yīng)變增量上所作的功為： 　根據(jù)外力功與應(yīng)變能的關(guān)系，單位體積內(nèi)外力在微小應(yīng)變增量上所作的功應(yīng)等于單位體積內(nèi)應(yīng)變能的全部增量δU0，即： 從零應(yīng)變狀態(tài)到達(dá)某一應(yīng)變狀態(tài)εiｊ的過程中,積累在彈性體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，稱為應(yīng)變能密度或應(yīng)變比能，記為U0.則為： 于是整個彈性體內(nèi)的應(yīng)變能為： 　　 由式(4—13）知,δU０.是單位體積應(yīng)變能增量，因而由式(4—１4)知應(yīng)變比能U0是應(yīng)變狀態(tài)的函數(shù)，即: 則可表示為函數(shù)的全微分，也即： 與式（4－1３）相比較，即得： 函數(shù)U0稱為彈性應(yīng)變比能函數(shù)或彈性勢。此式表明，應(yīng)力分量等于彈

22、性應(yīng)變比能函數(shù)對相應(yīng)的應(yīng)變分量求一階偏導(dǎo)數(shù),且該式適用于一般彈性體，可縮記為： 4-３—３ 彈性常數(shù)間的關(guān)系 現(xiàn)在我們來回答前面提出的問題，即式（４-８)中的36個彈性常數(shù)之間有什么關(guān)系？我們先從最復(fù)雜的情況開始,逐個加以討論。 　 1　 極端各向異性體 　 　 如果在物體內(nèi)的任一點(diǎn),沿任何兩個不同方向上的彈性性質(zhì)都互不相同時,則稱該物體為極端各向異性體.在實(shí)際工程材料中,這種情況雖然很少見到,但其36個彈性常數(shù)之間也存在有某些內(nèi)在聯(lián)系. 現(xiàn)將式(4-8)中第一式對εy求偏導(dǎo),第二式對εx求偏導(dǎo)，則有： 根據(jù)式(４-18）的結(jié)論有: 　 由于應(yīng)變比能U0是應(yīng)

23、變分量的連續(xù)函數(shù)，故式（f）中兩式應(yīng)相等，聯(lián)系式（ｅ）得:a1２=a21.同理可證明3６個彈性常數(shù)之間存在有以下關(guān)系; 　因此，可知這３6個彈性常數(shù)中,對極端各向異性體,獨(dú)立的彈性常數(shù)只有2１個.于是極端各向異性體從零應(yīng)變狀態(tài)到應(yīng)變狀態(tài)為εij的過程中，積累在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能為： 注意上式中不帶系數(shù)的項(xiàng)均為合并項(xiàng)。 2 正交各向異性體 如果在物體內(nèi)的每一點(diǎn)都有三個互相正交的彈性對稱面,在侮個面兩邊的對稱方向上彈性相同，但在這三個方向上彈性各不相同.這種物體就稱為正交各向異性體。例如工程上常見的雙向配筋不同的鋼筋混凝土構(gòu)件、木材以及煤巖等。 若?。ⅲS在一彈性

24、對稱面內(nèi)，則z軸顛倒方向時，如圖4—9 （a）所示,由于ｘOy平面兩側(cè)彈性相同，由式（４－21）所得的Ｕ０值應(yīng)不變,因?yàn)閁0只取決于彈性常數(shù)和最終的應(yīng)變狀態(tài)，同坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。因此,只要xOy為平面兩邊彈性相同,變形結(jié)果也相同。而U０的數(shù)值與z軸怎樣設(shè)取無關(guān).于是對于彈性體應(yīng)有： 若同理再討論另兩個彈性對稱平面,則在式（ｇ)所得結(jié)果基礎(chǔ)上，還應(yīng)有: 因此,對于正交各向異性體，獨(dú)立的物性參數(shù)只剩下９個。則由式（4-8）得正交各向異性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為： 應(yīng)變比能為： 　 從以上討論可以看出，如果所設(shè)的ｘ、y、ｚ軸恰在應(yīng)變的主方向上，則有γｘy=γyz=γzx=0，

25、同時由式(4—22）可得ｘy=yz=zx=0,即所設(shè)x、y、ｚ方向也恰是應(yīng)力的主方向。因此結(jié)論是:只要是正交各向異性體，其應(yīng)變主方向與應(yīng)力主方向相重合.至于下面將討論的橫觀各向同性體和各向同性體,則更是如此。 3 橫觀各向同性體 　　 有一類正交各向異性體,其特點(diǎn)是在平行于某一平面的所有各個方向(即所謂橫向)都具有相同的彈性，我們將這類正交異性體稱為橫觀各向同性體.許多成層的巖石就屬于這一類。 現(xiàn)把ｙ軸設(shè)在縱向，而z、x軸設(shè)在上述平面內(nèi)的橫向。由于xOz平面內(nèi)的任意方向彈性都相同,因此把原有的εｘ和εz的數(shù)值對調(diào),對Ｕ0應(yīng)無影響。同樣把γxy與γｚｙ的數(shù)值對調(diào)，對U0也應(yīng)該無

26、影響。于是對照式(4－22)可知： 則相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為： 也可將式（4－24)改為用應(yīng)力表示應(yīng)變的形式： 對比材料力學(xué)的公式，令: 則式(4－25）可寫成： 由于在ｘOy平面內(nèi)各向同性，故由材料力學(xué)的證明知： 因此，對于橫觀各向同性體，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有5個,它們是:E1、E2、μ1、μ2、G２。 　 若將式(4－24）中的各系數(shù)代人式（4-21）中,則可得橫觀各向同性體的彈性應(yīng)變比能表達(dá)式。 　 4 各向同性體 若在物體內(nèi)的任一點(diǎn),沿任何方向的物性都相同，則稱為各向同性體。例如許多金屬材料、水泥,以及許多巖石材料等。聯(lián)系上面對橫

27、觀各向同性體的討論可知，對于各向同性體來說,現(xiàn)在不僅在ｘOz平面內(nèi)各方向彈性相同，而且在空間任何方向上的彈性都相同。采用上面同樣的方法可證明: 由于是各向同性，故在式(4—2６）中令： 于是各向同性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為： 式（４—２8）可縮寫為; 式(4—29)中令。材料力學(xué)中已證明了： 上式中Ｇ就是工程中使用的剪切彈性模量，E稱為楊氏彈性模，μ稱為泊松（Pｏiｓｓon ）比。式（4—2８）也可改寫為用應(yīng)變表示應(yīng)力的形式: 若令: 上式中的λ稱為拉梅（Ｌaｍe)常數(shù).已知體積應(yīng)變,則上式可寫為: 若將式（4—３１）中各彈性系數(shù)代入式(4-23),即

28、可得各向同性體的應(yīng)變比能為： 　　 綜上所述,對于各向同性彈性體，彈性常數(shù)只有三個，分別是Ｅ、Ｇ、μ，由式（4－30）知,獨(dú)立的彈性常數(shù)只有兩個,通常選用楊氏彈性模量Ｅ和泊松比μ. 　 若將式(4-28)左邊三式相加，則得: 于是由平均應(yīng)力，平均應(yīng)變，則得： 若令： 則式(４-3６）變?yōu)椋? 式（ｍ）反映了球應(yīng)力與體積應(yīng)變的比例關(guān)系，式中Ｋ稱為體積彈性模量,再由式（４ — 2９）得: 又應(yīng)用式（４—3６）,并加以整理得: 顯然式(（n)方括號項(xiàng)為零，子是得： 式(p)表明應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量成正比.我們注意到第一偏應(yīng)力不變量，J１=Ｓiｊ=0

29、,因此式(p)中只有5個方程是獨(dú)立的，必須與式（m）聯(lián)立,才構(gòu)成與廣義虎克定律式（4—28)或式（4—33）等價的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式.于是,關(guān)于各向同性體的用球應(yīng)力和偏應(yīng)力表示的廣義虎克定律為： 若從式（4－30)和式（4-32)求出μ和E，則可得： 根據(jù)材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)知： 于是由式(4－34)得到Uo>0.這表明，對于各向同性材料,應(yīng)變能函數(shù)Uo恒為正值。 例4—1將一橡皮方塊放入與它等體積的鐵盒內(nèi),在上面用鐵蓋封閉,使鐵蓋承受均勻壓力ｐ，如圖4—l0所示。假設(shè)把鐵蓋和鐵盒視為剛體，且不計(jì)橡皮與鐵之間的摩擦。試求： 　 （1)鐵盒內(nèi)側(cè)面所受的壓力q以及橡皮塊的體積

30、應(yīng)變θ； 　 (２）若將橡皮換成剛體或不可壓縮體時,其體積應(yīng)變將有什么變化。 　 　 解:取xｙz坐標(biāo)系的ｚ方向與壓力p方向一致,則有： 因εx＝εy=０，故得到側(cè)向壓力ｑ為: 體積應(yīng)變?yōu)椋? 當(dāng)換成剛體時，E→∞，因此θ = 0;當(dāng)換成不可壓縮體時，μ=1/2，因此,θ =　0. §4—4屈服函數(shù)·主應(yīng)力空間·常用屈服條件 4—4－１屈服函數(shù)與應(yīng)力空間 由本章中關(guān)于材料彈性變形和塑性變形的討論及其特點(diǎn)的總結(jié)可看出,塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系比彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系要復(fù)雜得多。并且我們必須要做的一項(xiàng)工作就是首先要判斷材料是處于彈性狀態(tài)還是已經(jīng)進(jìn)人到塑性狀態(tài)，而進(jìn)行這一判斷所依據(jù)

31、的準(zhǔn)則，就稱為屈服條件，又稱塑性條件。當(dāng)材料處于單向拉伸（或壓縮）應(yīng)力狀態(tài)時,我們通過簡單的試驗(yàn)〔如圖4-1所示）就可使這一問題容易地得到解決：當(dāng)應(yīng)力小于屈服極限σs時,材料處于彈性狀態(tài),當(dāng)達(dá)到屈服極限σs時,便認(rèn)為材料已進(jìn)人塑性狀態(tài)。即便是對那些應(yīng)力應(yīng)變曲線上彈塑性分界不明顯的材料，通常將對應(yīng)于塑性應(yīng)變?yōu)棣舠＝0。2%時的應(yīng)力σ0．2作為屈服極限來判明，如圖4—11所示。但是,當(dāng)材料一旦處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時,問題就不那么簡單了。因?yàn)橐稽c(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通常是由六個應(yīng)力分量所共同確定，因而不能簡單地選擇其中某一個應(yīng)力分量的數(shù)值來作為判斷材料是否進(jìn)人塑性狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn),而是應(yīng)該考慮到所有這些應(yīng)力分量對材料進(jìn)

32、入塑性狀態(tài)的貢獻(xiàn)。當(dāng)然，也不能采用只根據(jù)不同的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行試驗(yàn)的方法來確定材料的屈服條件。因?yàn)橐M(jìn)行次數(shù)如此可觀的實(shí)驗(yàn)是不切實(shí)際的,并且所需實(shí)驗(yàn)設(shè)備和實(shí)驗(yàn)方法也較復(fù)雜，甚至是目前根本做不到的.那么在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的屈服條件如何確立呢? 人們根據(jù)材料破壞的現(xiàn)象，總結(jié)材料破壞的規(guī)律，逐漸認(rèn)識到：不管固體材料產(chǎn)生斷裂或塑性屈服的表面現(xiàn)象多么復(fù)雜，對應(yīng)某種破壞形式都具有共同的某一決定強(qiáng)度的因素。對于同一種材料，無論它處于何種應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)導(dǎo)致它產(chǎn)生某種破壞的這一共同的因素達(dá)到某一個極限值時，材料就會產(chǎn)生相應(yīng)的破壞。因此。我們可以通過材料的簡單力學(xué)試驗(yàn)來確定這個因素的極限值.現(xiàn)在的問題就是考慮根據(jù)簡

33、單受力狀態(tài)的試驗(yàn)結(jié)果去建立同復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下所有的應(yīng)力分量都相關(guān)的關(guān)系，也即屈服條件。 在一般情況下，屈服條件與所考慮的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān),或者說,屈服條件是該點(diǎn)六個獨(dú)立的應(yīng)力分量的函數(shù),即為: f(σij)稱為屈服函數(shù).式(4-4０)表示在一個六維應(yīng)力空間內(nèi)的超曲面。所謂六維應(yīng)力空間是以六個應(yīng)力分量σx,σy，…的全體所構(gòu)成的抽象空間。因?yàn)橛闪鶄€應(yīng)力分量組成，所以稱它為六維應(yīng)力空間?？臻g內(nèi)的任一點(diǎn)都代表一個確定的應(yīng)力狀態(tài)。。f（σｉj)是這個空間內(nèi)的一個曲面。因?yàn)樗煌谄胀ǖ膸缀慰臻g內(nèi)的曲面，所以稱為超曲面。該曲面上的任意一點(diǎn)(稱為應(yīng)力點(diǎn))都表示一個屈服應(yīng)力狀態(tài),所以又稱屈服面。例如，在單

34、向拉伸時，屈服應(yīng)力σｓ應(yīng)在屈服面上，如用六維應(yīng)力空間來描述,則該點(diǎn)應(yīng)為超曲面上的一個點(diǎn),且該點(diǎn)坐標(biāo)為（σs,０,0,0，0,０） 對于各向同性材料來說，坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動不應(yīng)當(dāng)影響材料的屈服①。而一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可用該點(diǎn)的主單元體來表示，因此可以取三個應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸.此時，屈服函數(shù)式((4—40）可改寫為： 前面曾經(jīng)談到，球形應(yīng)力狀態(tài)只引起彈性體積變化，而不影響材料的屈服.所以。可以認(rèn)為屈服函數(shù)中只包含應(yīng)力偏量,即; 這樣一來，屈服函數(shù)就轉(zhuǎn)化為用應(yīng)力偏量表示的函數(shù)，而且可以在主應(yīng)力σ１、σ２、σ3所構(gòu)成的空間，即主應(yīng)力空間來討論.主應(yīng)力空間是一個三維空間，物體中任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都可以

35、用主應(yīng)力空間中相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)矢量來表示，如圖4—１2所示。因此,我們在這一主應(yīng)力空間內(nèi)可以形象地給出屈服函數(shù)的幾何圖象，而直觀的幾何圖形將有助于我們對屈服面的認(rèn)識。 需要說明,在靜水壓力不太大的情況下，靜水壓力不影響材料的塑性性質(zhì)這一假設(shè),對許多金屬材料和飽和土質(zhì)是適用的,但對于巖土一類材料,這一假定并不符合實(shí)際．這時就應(yīng)對式(４—4２）進(jìn)行相應(yīng)的修正. 下面介紹幾種特殊的應(yīng)力狀態(tài)在主應(yīng)力空間中的軌跡： １球應(yīng)力狀態(tài)或靜水應(yīng)力狀態(tài) 關(guān)于球應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力偏量為零.即Ｓ１=S2=S3=０，且σ１=σ2=σ3=σm。顯然在主應(yīng)力空間中，它的軌跡是經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)并與σ1、σ2、σ3三坐標(biāo)軸夾角相同

36、的等傾斜直線Oｎ，如圖４-12所示，其方向余弦為l1=l2=ｌ3=1/√３。Ｏn直線的方程式為： Oｎ直線上各點(diǎn)所對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)是取不同的σm值的球應(yīng)力狀態(tài)。 　　 ２平均應(yīng)力為零 平均應(yīng)力為零,即σm=　0，應(yīng)力偏量Sij不等于零。在主應(yīng)力空間中,它的軌跡是一個平面,該平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)并與On直線相垂直，也即過原點(diǎn)與坐標(biāo)平面成等傾斜的平面，我們稱它為π平面〔圖4－１2）。其方程式為; 　 　設(shè)在主應(yīng)力空間中.任一點(diǎn)的坐標(biāo)矢量用來表示,如圖4—１2所示,它可以分解為在直線On方向上的分量和在π平面上的一個分量(即相當(dāng)于)這就等于把應(yīng)力張量σｉj分解為球應(yīng)力張量，和偏

37、應(yīng)力張量Ｓiｊ。如果我們所研究的問題希望排除球張量而著重考慮偏張量,那么在主應(yīng)力空間中,我們只濡要分析應(yīng)力矢量在，平面上的投影就可以了。 　　 3應(yīng)力偏量為常量 應(yīng)力偏量為常量，即S１＝C１,S２=C2,S３=C3，（Ｃ1、C2、Ｃ3為常數(shù))。這時,σ１－C1＝σ2—C2 =σ３－C３=σm，它在主應(yīng)力空間中的軌跡是與Oｎ線平行但不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線L，如圖4—１3所示。其方程為； 或?qū)憺? 式(d）中，.顯然,直線L上各點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)具有相同的偏張量,即： ４平均應(yīng)力為常量 平均應(yīng)力為常量,即（C為常量).其在主應(yīng)力空間的軌跡為一個與On直線正交但不通

38、過坐標(biāo)原點(diǎn)的平面.顯然該平面與π平面平行。其方程為： 式（ｆ）中的ｄ為該平面與π平面間的距離。顯然，該平面上的各點(diǎn)所對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)具有相同的球張量。 　 我們知道。當(dāng)應(yīng)力σiｊ較小時.材料處于彈性狀態(tài)。這就是說，在主應(yīng)力空間中,圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)有一個彈性變形區(qū)域。在這個區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力的無限小增量ｄσij不會引起塑性變形。當(dāng)應(yīng)力增大到一定程度,材料便進(jìn)人了塑性狀態(tài),這時應(yīng)力的增量dσiｊ就將引起塑性變形(或使塑性變形發(fā)生變化)。因此,我們可以設(shè)想：在主應(yīng)力空間中，坐標(biāo)原點(diǎn)附近的彈性區(qū)是被塑性區(qū)包圍著的，若僅從π平面上來看，彈性區(qū)與塑性區(qū)的分界為一條曲線，而在主應(yīng)力空間中，彈性區(qū)與塑性區(qū)的

39、分界則為一曲面,該曲面就稱為屈服面。它是屈服條件式(４－４１)在主應(yīng)力空間中的軌跡.屈服面的概念是拉伸〔或壓縮）應(yīng)力應(yīng)變曲線的屈服極限概念的推廣。 　　若我們認(rèn)為球應(yīng)力〔靜水壓力）狀態(tài)不影響材料的屈服，則上述屈服面必定是一個與坐標(biāo)軸呈等傾斜的柱體表面，其母線垂直于π平面。顯然我們對屈服面的討論只需研究它與π平面的截跡C就可以了，如圖4-１4所示。曲線C就稱為屈服曲線或屈服軌跡。 　 　　屈服曲線在π平面內(nèi)有下列重要性質(zhì): 　 （1)屈服曲線是一條封閉曲線。并且坐標(biāo)原點(diǎn)被包圍在內(nèi).容易理解，坐標(biāo)原點(diǎn)是一個無應(yīng)力狀態(tài),材料不可能在無應(yīng)力狀態(tài)下屈服，所以屈服曲線必定不過坐標(biāo)原點(diǎn)。同

40、時，初始屈服面內(nèi)是彈性狀態(tài)，所以屈服曲線必定是封閉的,否則將出現(xiàn)在某種應(yīng)力狀態(tài)下材料不屈服的情況,這是不可能的。 ?。ǎ?屈服曲線與任一從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的向徑必相交一次，且僅有一次。在只討論初始屈服的條件下,材料既然在一種應(yīng)力狀態(tài)下達(dá)到屈服，就不可能又在與同一應(yīng)力狀態(tài)相差若千倍的另一應(yīng)力狀態(tài)下再次達(dá)到屈服。初始屈服只有一次。 　 （3)屈服曲線對三個坐標(biāo)軸的正負(fù)方向均為對稱。因?yàn)椴牧险J(rèn)為是各向同性的,所以如果（σ1、σ2、σ３)是屈服時的應(yīng)力狀態(tài)，那么(σ1、σ2、σ3)必定也是屈服時的應(yīng)力狀態(tài).這就表明,屈服軌跡應(yīng)當(dāng)對稱于Ⅰ軸（即坐標(biāo)軸Ⅰ在π平面上的投影）。同樣道理，軌跡C也對稱

41、于Ⅱ軸和Ⅲ軸，如圖４—15所示。這里需要指出的是圖4—15所示僅表示理論曲線，未考慮其外凸性.由于我們假定當(dāng)應(yīng)力分量改變符號時,屈服函數(shù)f（σij）的值保持不變，即ｆ（σij)＝f（—σij),所以，如果我們從屈服軌跡上任一點(diǎn)引一條過原點(diǎn)的線段(表示應(yīng)力按比例卸載,并按同樣的比例向反方向加載），那末它必定在對稱于原點(diǎn)的那一點(diǎn)處與軌跡C相交.由此可見,軌跡Ｃ不僅對稱于軸Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，而且還對稱于與它們垂直的三條直徑，如圖4—15中虛線所示。這就是說,由這六條線段所分割的12個30°幅角中，軌跡的形狀是相同的，因此，我們只需要考慮其中任一幅角里的應(yīng)力矢量就可以了。 　　　 （４）屈服曲線對坐標(biāo)原點(diǎn)

42、為外凸曲線，屈服面為外凸曲面。可以證明,屈服曲線必定是外凸 的(殷綏域，19９０），這就意味著在π平面內(nèi)任何一根直線至多與屈服曲線相交于兩點(diǎn)(除非該直線本身就是屈服軌跡C上的一部分）. 下面再討論一下屈服曲線的可能位置。 　 　為不失一般性，可以假設(shè)軌跡Ｃ通過Ⅲ軸上的A點(diǎn)，如圖４－１6所示.那么,根據(jù)上面討論過的對稱條件，可知B、F點(diǎn)(它們分別在Ⅰ、Ⅱ軸上，且）同樣也是軌跡C上的兩個點(diǎn)，而且連接A、B和A、F點(diǎn)的兩條直線就是外凸的逐段光滑曲線。它通過A、Ｂ及F點(diǎn)，并對稱于Ⅲ軸。同時也對稱干與Ⅲ軸相鄰的兩軸（它們分別垂直于Ⅰ軸和Ⅱ軸，圖中用虛線表示)。顯然，具有上述特征的其他曲線

43、不可能位于折線ＦAB的內(nèi)側(cè)。 　　 　其次,考慮到對Ⅲ軸的對稱性,凡是經(jīng)過A點(diǎn)并且是外凸的分段光滑的曲線不可能在直線F’AA'的外側(cè).因此從圖4－17可知，一切滿足各向同性、不計(jì)包辛格效應(yīng)、與球應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，并且外凸等條件的可能的屈服軌跡一定位于正六邊形AＢCＤEFA與A’B’C'D’E’F＇Ａ＇之間。必須強(qiáng)調(diào)指出，并非位于兩個六邊形之間的一切曲線都是許可的,只有外凸的曲線才是可能的屈服軌跡. ４-2—２常用屈服條件 　　　歷史上（從19世紀(jì)中葉開始）曾經(jīng)先后提出許多不同形式的屈服條件，如最大正應(yīng)力條件（G. Galilea ）、最大彈性應(yīng)變條件（B．Sａint　Venａｎｔ）、彈

44、性總能量條件（Ｅ。Belｔrａrni　) ，最大剪應(yīng)力條件（H。Tｒesca ） 、歪形能條件（R. Von Miseｓ)、Ｍoｈｒ條件((）. Moｈr）等等。但經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及工程實(shí)踐的檢驗(yàn)，證明符合工程材料特性，又便于在工程中應(yīng)用的常用屈服條件有以下兩種： 1 Tｒesca屈服條件 18６4年，法國工程師屈雷斯卡（H。Tresea)在做了一系列金屬擠壓實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)在變形的金屬表面有很細(xì)的痕紋,而這些痕紋的方向很接近于最大剪應(yīng)力的方向，因此他認(rèn)為金屬的塑性變形是由于剪切應(yīng)力引起金屬中晶格滑移而形成的。Tｒｅsｃa提出:在物體中,當(dāng)最大剪應(yīng)力τｍax(指絕對值)

45、達(dá)到某一極限值時，材料便進(jìn)人塑性狀態(tài)。當(dāng) σ１≥σ2≥σ3時，這個條件可寫為如下形式: 如果不知道主應(yīng)力的大小和次序,則在主應(yīng)力空間應(yīng)將Tｒｅsca條件寫為： 在式（4一４4）中，如果有一個式子為等式時,則材料便已進(jìn)人塑性狀態(tài)。若將式（4一４4)改寫為一般性公式，則為： 　 在主應(yīng)力空間中，式（4-４5）的幾何軌跡相當(dāng)于圖4一1８（a）中所示正六角柱體。該柱體與σ1σ2平面的截跡［將σ3代人式（4-45）即得]為： 這表示六條直線,如圖4—18（b）所示,也即: 該柱體與π平面的截跡則為一正六邊形,如圖４-18（ｃ)所示。 　　 上面出現(xiàn)的k值，只需通

46、過簡單受力狀態(tài)的試驗(yàn)來測定。如采用單向拉伸試驗(yàn),則σｓ為屈服極限，于是有。σ1＝σｓ,σ2=σ3=0，則由式（4－43）得出： 若采用純剪切試驗(yàn)，則：，為剪切屈服極限τｓ,于是有σ1=τs,σ2＝０，σ3＝-τs得出 比較式（４－48)與式(４一4９）,若Tｒｅsca屈服條件正確，則必有： 最大剪應(yīng)力的假設(shè)，由于和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較一致，因而一般是被接受的。但在使用Tresca條件時，主應(yīng)力的人小和次序應(yīng)該知道，因?yàn)檫@樣才能求出最大剪應(yīng)力τmax如果能知道主應(yīng)力的次序，則使用Tｒesｃa條件是很方便的。因?yàn)閺臄?shù)學(xué)表達(dá)式來看，它是個線性的簡單公式，使用它求解問題是非常方便的.

47、此外.Ｔreｓca的最大剪應(yīng)力屈服條件忽略了中間主應(yīng)力σ2對材料屈服的貢獻(xiàn)，這是它的不足之處。 2 Mises屈服條件 　 上面已經(jīng)指出,Tresca條件在預(yù)知主應(yīng)力大小次序的問題中，應(yīng)用起來很方便。但在一般情況下卻相當(dāng)麻煩。191年德國力學(xué)家米塞斯(Ｒ?！on Mises)指出:在等傾面上，Tresca條件六邊形的六個頂點(diǎn)是由實(shí)驗(yàn)得到的，但是連接六個頂點(diǎn)的直線段卻包含了假定（認(rèn)為中間主應(yīng)力不影響屈服),這種假定是否合適，需經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明.Mｉｓer認(rèn)為：用一個圓來連接這六個頂點(diǎn)似乎更合理,并且可避免因曲線不光滑而造成的數(shù)學(xué)上的困難。Misｅs屈服條件在主應(yīng)力空間中的軌跡是外接

48、于Tresca六角柱體的圓柱體，如圖連一19(a）所示，該圓柱體垂直于正八面體斜面或π平面.因此它在π平面上的截跡則為一半徑等于的圓,如圖4－19（c）所示,它在σ1σ2平面的截跡為外接于六角形的橢圓,如圖4－1９（ｂ)所示。如用方程表示，Mｉles條件可 寫成： 或者寫成為 　　 上兩式中的k為常量，其值可通過簡單應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)來測定。若采用單向拉伸試驗(yàn)，σs，為屈服極限，則σ1=σs，σ２=σ3=0，由式(4－５１）得： 若采用純剪切試驗(yàn)，同理得τs=k，于是知： 也就是說τs≈0。577σs. ?。?2４年漢基（Ｈ。 Hｅｎeｋｙ）對Mｉses條件

49、的物理意義做了解釋.他指出式（4-51）相當(dāng)于形狀改變應(yīng)變能密度①等于某一定值，即: Ｈeｎｃky認(rèn)為:當(dāng)韌性材料的形狀改變應(yīng)變能密度Uod達(dá)到一定數(shù)值ｋ’時，材料便開始屈服。若采用單向拉伸試驗(yàn)，則材料屈服時的，于是知式(4-51）同式（4－5５）是一致的.故也常將Ｍiｓｅs屈服條件稱為畸變能條件. 19３7年納達(dá)依（A。 Nadai）對Miｓｅs,條件的物理意義提出了另外的解釋。Ｎadaｉ認(rèn)為式（4 —51）相當(dāng)于八面體剪應(yīng)力τ8等于某一定值，即 也就是說,當(dāng)八面體剪應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時，材料開始屈服。１952年諾沃日洛夫（B．Ｂ。 Ｈarauricm)又對Miｓes條件

50、的物理意義用剪應(yīng)力的均方值給了又一種解釋(此略）.總之,以上三種解釋雖然表達(dá)形式不同，但實(shí)際上。它們之間是存在有內(nèi)在聯(lián)系的. 　 　有關(guān)驗(yàn)證上述屈服條件的試驗(yàn)資料很多.此處不再詳細(xì)介紹.實(shí)驗(yàn)證明:畸變能條件比最大剪應(yīng)力條件更接近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并且不需要預(yù)先知道主應(yīng)力的大小次序,也考慮到了中間主應(yīng)力σ2對屈服的貢獻(xiàn).圖4—２0給出了薄管實(shí)驗(yàn)與拉扭實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。圖４　— 20（a）為泰勒等人（G?！。?　Tａylor,H.Ｑuinney）的拉扭試驗(yàn)結(jié)果；圖4一20（b）為洛德(W.　Ｌｏdｃ ）薄管試驗(yàn)結(jié)果. 　 例４－2　 有一等截面圓軸,處于彎 扭組合應(yīng)力狀態(tài)下,如圖４-21所示。

51、已 測得材料的屈服極限為σs=3０0MPa ,且已知彎矩Ｍw = １0kN·m,扭矩Ｍn=30kN·ｍ。若取安全系數(shù)為n＝1.2，試按材料力學(xué)有關(guān)公式和強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑。 解:圓軸處于彎扭聯(lián)合作用，故軸內(nèi)危險點(diǎn)橫截面上的兩應(yīng)力分量為： 上式中，而主應(yīng)力為: 顯然。該圓軸內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為σ1=σmａx,σ２＝0,σ3=σｍｉn.且σ1、σ3分別為: 根據(jù)Tresｃa條件知：σ１一σ3=σs，將式(3）代人,并考慮安全系數(shù)后得： 解得: 所以軸徑可取d≥１0.9cm. 　　 根據(jù)Mises條件知:,將式(３)及安全系數(shù)計(jì)入并化簡得: 由式(６)解得

52、： 所以軸徑可取d≥１0。4ｃm 。 §4一５巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則 4—5－1巖土材料的變形特點(diǎn)及主要假設(shè) 　 地質(zhì)或采掘工程中的巖土、煤炭、土壤,結(jié)構(gòu)工程中的混凝土、石料以及工業(yè)陶瓷等材料統(tǒng)稱為巖土材料. 　　在一般的常規(guī)材料試驗(yàn)機(jī)上，進(jìn)行巖土類介質(zhì)的材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)時,由于試驗(yàn)機(jī)壓頭的位移量大于試件的變形量,試件在破壞時,試驗(yàn)機(jī)貯存的彈性變形能立即釋放，對試件產(chǎn)生沖擊作用并導(dǎo)致劇烈破壞，因此得不到材料應(yīng)變軟化階段的規(guī)律，即不能得到全應(yīng)力應(yīng)變曲線.若采用剛性試驗(yàn)機(jī)，并能控制加載速度以適應(yīng)試件的變形速度,就可獲得全應(yīng)力應(yīng)變曲線.巖石和混凝土等材料的具代表性的全應(yīng)力應(yīng)變

53、曲線如圖４-22所示。實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)應(yīng)力較低時,試件材料的內(nèi)部裂隙被壓實(shí)，在這個階段(OA段)，應(yīng)力的數(shù)值增加不大，而壓縮應(yīng)變較大;在內(nèi)部裂隙被壓實(shí)之后,應(yīng)力與應(yīng)變呈現(xiàn)近似線性增長，在這個階段( ＡB段）中，伴有體積變化,而B點(diǎn)的應(yīng)力值稱為屈服強(qiáng)度,隨著應(yīng)力的增加，材料的微裂紋也在不斷發(fā)生與擴(kuò)展，因此應(yīng)力和應(yīng)變之間表現(xiàn)出明顯的非線性增長,也表現(xiàn)出一定的應(yīng)變硬化特性（ＢＣ段），Ｃ點(diǎn)的應(yīng)力值稱為強(qiáng)度極限（壓縮強(qiáng)度極限σｂｃ或拉伸強(qiáng)度極限σbt)在Ｃ點(diǎn)附近，試件總的體積變形從收縮轉(zhuǎn)人擴(kuò)脹,即材料出現(xiàn)宏觀裂紋，裂紋的擴(kuò)展使得材料的變形不斷增加，而應(yīng)力不斷下降,將這一階段(CＤ段)稱為應(yīng)變軟化階段;DE階

54、段則顯示出了材料的剩余強(qiáng)度.在達(dá)到強(qiáng)度極限時積蓄于材料內(nèi)的應(yīng)變能的數(shù)值為峰值左側(cè)曲線OＡBCＦ所包圍的面積，記為Ｕ1,從裂縫到破壞整個過程所消耗的能量為峰值右側(cè)曲線（ＦCＤＥ）所包圍的面積Ｕ2。若U１〉U2,則材料破壞后仍剩余一部分能量，這部分變形能的突然釋放會伴隨有“巖爆”；若U1＜U2，則變形能在試件破壞過程中全部釋放，不會出現(xiàn)巖爆。 　 　綜上所述?？蓪r土材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線大體分為三段。第Ｉ階段( OABC）為應(yīng)力應(yīng)變非線性上升,第Ⅱ階段(ＣD)為應(yīng)變軟化階段，而第Ⅲ階段（ＤE）為剩余強(qiáng)度階段，在有些材料中并不出現(xiàn)該階段.通常在拉伸情況下，材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線的變化規(guī)律與壓縮時相似，

55、但表征各階段的應(yīng)力和應(yīng)變的數(shù)值與壓縮時有很大的差別。巖土材料的受壓強(qiáng)度比受拉時要高得多。 　 關(guān)于巖土類材料，通常是處于三向或雙向受壓狀態(tài)下。在巖石力學(xué)和土力學(xué)中，模擬三向受力狀態(tài)的試驗(yàn)被稱為“三軸試驗(yàn)"口三軸試驗(yàn)中最常見的是模擬三向受力狀態(tài)的一種特殊情況，即在三個相互垂直方向上保持兩方向上的壓力值相等,而改變另一方向上的壓力的大小。這種試驗(yàn)可以在三軸實(shí)驗(yàn)機(jī)上完成，圖4－２３為這種三軸實(shí)驗(yàn)機(jī)的主體構(gòu)造原理示意圖。試驗(yàn)時在圓柱體試件周圍環(huán)繞著流體,把這種流體施以高壓來向試件提供圍壓.在試驗(yàn)過程中，通常使圍壓保持到某一恒定值,用一個可以推進(jìn)的活塞壓頭向試件施加軸向壓力，不斷增大壓力，直到試件

56、產(chǎn)生破壞。一般可以彼此獨(dú)立地控制圍壓和軸向載荷,并且設(shè)有專門的裝置來測量試驗(yàn)時的軸向載荷、圍壓以及變形量。一般圍壓愈低，材料屈服強(qiáng)度也愈低，應(yīng)變軟化階段也愈明顯,隨著圍壓的增大,屈服強(qiáng)度增大,塑性性質(zhì)也明顯增加。圖4—24是伍姆比楊（Wombeyan )大理巖在常規(guī)實(shí)驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行的三軸試驗(yàn)的結(jié)果。圖４-24（a)為伍姆比楊(Woｍｂeyａn)大理巖的三軸壓縮試驗(yàn)中，隨圍壓增,圖4—24（b）為不同圍壓下伍姆比楊大理巖的破裂或流動類型。 　 　 另一種三軸試驗(yàn)就是模擬三個相互垂直方向的壓力各自獨(dú)立變化.為了和上述三軸試驗(yàn)相區(qū)別，通常稱之為“真三軸試驗(yàn)”。真三軸試驗(yàn)通常是在立方體巖石試件的三組相互

57、正交對應(yīng)的表面上,獨(dú)立地加載來進(jìn)行的.試驗(yàn)時要特別注意減小受載巖石試件表面上的摩擦,以使試件獲得三向受力狀態(tài)的良好近似值?？上攵?進(jìn)行真三軸試驗(yàn)要比三軸試驗(yàn)復(fù)雜和困難得多，目前這方面還有許多問題有待解決. 　　 通過以上討論和對大量巖土材料的試驗(yàn)資料的分析，人們認(rèn)識到，由于巖土材料組成上的不均勻性、缺陷以及有裂隙的分布，使得材料在受載過程中細(xì)微裂隙進(jìn)一步擴(kuò)展與運(yùn)動,并導(dǎo)致材料的宏觀強(qiáng)度和剛度的降低。因此，材料的非彈性變形主要是由微裂隙和缺陷的產(chǎn)生與擴(kuò)展所引起的。巖土材料的壓硬性（抗剪強(qiáng)度隨壓應(yīng)力的增高而提高)、剪脹性〔在剪應(yīng)力作用下產(chǎn)生塑性體積應(yīng)變）、等壓屈服（在各向相等的壓力作用下

58、產(chǎn)生塑性屈服），使得巖土塑性理論與金屬塑性理論有著重要的差異.這些差異主要表現(xiàn)為: 　 (1）在靜水壓力不太大或環(huán)境溫度不太高的工程環(huán)境下,巖土類介質(zhì)表現(xiàn)出應(yīng)變軟化的特性。 　 (2）巖土材料的壓硬性決定了巖土的剪切屈服與破壞必須考慮平均應(yīng)力與材料的內(nèi)摩擦性能。 　 （３)材料的彈性系數(shù)與塑性變形無關(guān)是金屬材料的特點(diǎn),而巖土材料則需考慮彈塑性的耦合。 （４)在巖土材料中需考慮奇異屈服面。 　 （5）金屬材料中的正交流動法則在巖土材料中亦不再適用。 　 由于巖土材料與金屬材料在變形特性上的顯著差異，巖土材料的強(qiáng)度準(zhǔn)則（在金屬塑性理論中稱屈服條件,在巖土塑性

59、理論中也可稱為塑性條件）．應(yīng)包含平均應(yīng)力；并且能反映應(yīng)力、應(yīng)變張量中球形分量與偏斜分量之間存在著交叉影響；體積應(yīng)變的屈服則使強(qiáng)度準(zhǔn)則曲面的端部是封閉的,等等。材料變形的復(fù)雜性與描述應(yīng)力應(yīng)變模型的多樣性,是求解巖土材料承載能力時首先遇到的問題。合理簡化應(yīng)力應(yīng)變曲線，正確選擇強(qiáng)度準(zhǔn)則，對求解具有重要意義。由于影響巖土塑性變形的因素較多，且有些因素是不能忽略的，因此巖土塑性理論中的假設(shè)相對較少，主要假設(shè)有： 　（１)連續(xù)性假設(shè)　 雖然巖土介質(zhì)在肉眼可見的尺度內(nèi)呈現(xiàn)不均勻性和不連續(xù)性，但是在進(jìn)行工程問題的力學(xué)分析時，可作為連續(xù)介質(zhì)巖土力學(xué)問題,即在更大的尺度范圍內(nèi)來描述各種力學(xué)量時，取其統(tǒng)計(jì)平

60、均值。 　 (２）不計(jì)時間與溫度的影響在多數(shù)情況下，可以忽略蠕變與松弛效應(yīng),并可略去應(yīng)變率對變形規(guī)律的影響。在一般工程問題中,溫度的變化是不大的，可以不計(jì)溫度的影響. 4-5-２巖土材料的變形模型 　 根據(jù)大量巖土材料的試驗(yàn)資料，我們可對巖土材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)行簡化，并將強(qiáng)度極限作為巖土材料變形特性的轉(zhuǎn)折點(diǎn),則可采用以下幾種基本變形模型： ?。?）理想彈塑性模型該模型假設(shè)應(yīng)力達(dá)到最大值后保持不變，而材料的變形仍可繼續(xù)增長，如圖4－25(a）所示，數(shù)學(xué)表達(dá)式為: 該模型適用于材料應(yīng)變軟化不明顯時,即在C點(diǎn)附近存在著一段應(yīng)力下降不明顯的情況。 （2）脆塑

61、性模型如圖４—25（b）所示，在該模型中,應(yīng)力達(dá)到最大值時產(chǎn)生“跌落”,下降后的應(yīng)力值稱為剩余強(qiáng)度，數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 其中Ｂ稱為剩余強(qiáng)度系數(shù)，且0≤B＜１。當(dāng)應(yīng)變軟化劇烈時，采用該模型可以反映出應(yīng)力跌落的特性。 （3）線性軟化模型如圖4－2５（c）所示,將應(yīng)變軟化過程近似為線性的，即： 選取不同的斜率Ｅ1，可以描述材料的不同軟化特性。 考慮到巖土材料應(yīng)力應(yīng)變實(shí)驗(yàn)曲線的多樣性，也可將上述變形模型進(jìn)行不同的組合。 4—5－3巖土材料的強(qiáng)度準(zhǔn)則 　在巖土材料實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)時，材料出現(xiàn)宏觀裂紋.在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，將材料出現(xiàn)宏觀裂紋時，應(yīng)力之間所滿足的條件稱為強(qiáng)度準(zhǔn)則。這種提

62、法與金屬塑性理論中的屈服條件相類似，所以也可將強(qiáng)度準(zhǔn)則稱為塑性條件,該條件表示材料將由彈性狀態(tài)進(jìn)人非彈性變形狀態(tài)，兩者的臨界狀態(tài)即表示材料進(jìn)人塑性或出現(xiàn)宏觀裂紋,其應(yīng)變與變形模型相關(guān)，對于理想彈塑性模型則表示進(jìn)人無約束塑性變形狀態(tài)；對、于脆塑性模型和線性軟化模型則分別代表將產(chǎn)生應(yīng)力跌落和進(jìn)人線性軟化狀態(tài)。在C點(diǎn)(見圖4-22)以后的應(yīng)力組合仍滿足強(qiáng)度準(zhǔn)則,但這時表征材料力學(xué)性能參數(shù)的數(shù)值按不同模型有所差別，例如，對于理想彈塑性模型,力學(xué)性能參數(shù)的值σｂ不變，而在脆塑性模型中強(qiáng)度值由σb降為Kσb，線性軟化模型中強(qiáng)度值的下降與ε及E有關(guān)。因此巖土材料的承載特性不僅與變形模型相關(guān),也與強(qiáng)度準(zhǔn)則有關(guān)

63、。 對于一般巖土材料來說，隨著靜水壓力的增加，屈服應(yīng)力和破壞應(yīng)力都有很大增長。即使在初始各向同性的假定下，也應(yīng)該對式（４-42)進(jìn)行修正,而采用形式為: 的屈服條件。 巖土力學(xué)中的強(qiáng)度準(zhǔn)則通常可表述如下：在介質(zhì)一點(diǎn)單元體的任何微截面上，其剪應(yīng)力τn的大小都不能超過某一臨界值。當(dāng)|τn|達(dá)到該臨界值時，材料就要產(chǎn)生剪切滑移.在最簡單的情況下，上述的臨界值和破裂面上的正應(yīng)力σｎ之間呈線性關(guān)系，即有： 這就是庫倫（Ｃ. Ａ。 Ｃouｌｏｍb)剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則.上式中:C通常為一常量，是固體材料在σｎ=0微截面上的抗剪強(qiáng)度。在巖石力學(xué)中常稱為粘聚力;φ為內(nèi)摩擦角(在巖上力學(xué)中,一般

64、取壓應(yīng)力為正，此時σn前的負(fù)號應(yīng)改為正號）。在更一般的情況下,式(4－61）中的φ將隨(－σn）的增加而減小,也即： 這就是莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則。莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則可用曲線（如雙曲線、拋物線、擺線等）來表示φ值隨σｎ的增加而變化的情況如圖4-２6（b）所示。當(dāng)我們僅考慮φ值為常數(shù)的情形時,就是庫倫剪斷裂準(zhǔn) 則式(4－６1），表示的是一對射線.如圖４—２5（a）所示.介質(zhì)應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力圓應(yīng)處于由這兩條射線或莫爾包絡(luò)線MN和M’N'所包圍的區(qū)域內(nèi),當(dāng)材料產(chǎn)生剪切滑移時,極限應(yīng)力圓應(yīng)與射線或包絡(luò)線相切。莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則的包絡(luò)線可以通過材料的一系列不同應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn),材料產(chǎn)生破壞時的極限應(yīng)力圓來確定.

65、而在庫倫剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則中，則可用單拉抗拉強(qiáng)度σbt與單向抗壓強(qiáng)度σbｃ來表示粘聚力Ｃ和內(nèi)摩擦φ，它們之間的關(guān)系為： 實(shí)驗(yàn)表明，用式（4—6１）或式(4—62)表示材料中的微裂紋即將開始活動可能更恰當(dāng)些，故通常以它們來作為巖土材料的屈服條件。經(jīng)研究證明，庫倫剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則實(shí)際上可認(rèn)為是莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則的線性化表示,所以也常稱之為莫爾一庫倫準(zhǔn)則。 　 為了用主應(yīng)力σ1》σ２》σ３表示庫倫剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則，將: 代人式（４—61)得： 或?qū)懗? 式(4-64）中的兩個主應(yīng)力應(yīng)分別用σ1、σ2和σ3輪換,則可分別得到六個表達(dá)式。而式（４－64）左端的第二項(xiàng)則反映了靜水壓力對屈服條件的影

66、響。我們注意到 則式（4-64)還可寫成為: 式（4-54)或式（４-65）在σ1、σ２、σ3主應(yīng)力空間中形成的屈服面與二平面的截跡為圖4—?。?所示六邊形ABCDEF,該六邊形的邊長相等,但夾角并不相等.而且六邊形的大小是隨著σm的增大而線性縮小，當(dāng)σ1=σ2=σ3=Ccotφ時，圖形收縮成一點(diǎn)Ｏ’.因此，該準(zhǔn)則的屈服面為以π平面上六邊形為底,以Ｏ'為頂?shù)牧忮F體的側(cè)面。由幾何表示可知，在庫倫準(zhǔn)則中考慮到了材料拉壓強(qiáng)度極限的明顯差異以及靜水壓力對強(qiáng)度準(zhǔn)則的影響。 另一種考慮靜水壓力影響的強(qiáng)度準(zhǔn)則是卓柯一普拉格（Trucker—Pｒager,1952）準(zhǔn)則,它是 Miｓes條件的推廣，如圖4－２8所示,可寫成: 式中Ｉ1=和σ1＋σ2＋σ3；α和K均為正的材料常數(shù)，它們與Ｃ和φ的關(guān)系取決于圓錐面與六棱錐面之間的相互關(guān)系.若取兩個錐面的頂點(diǎn)重合，當(dāng)Mises圓的半徑與圖4—27中Ｂ的長度相等,即為外接圓錐時有： 當(dāng)為內(nèi)切圓錐時有： 　　 關(guān)于材料的屈服條件或強(qiáng)度準(zhǔn)則，除已經(jīng)介紹的Ｔresca條件、Mises條件、Coｕｌｏmｂ準(zhǔn)則、Mｏlr