2013年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 函數(shù)與四邊形綜合

2013年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 函數(shù)與四邊形綜合 1．如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積為　 ▲ 2 。 y x O A B C D 2．如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸上，將菱形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至OA’B’C’的位置.若OB=，∠C=120°，則點(diǎn)B’的坐標(biāo)為（▲） A. B. C. D. 3．如圖，直角梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（，0）、（2，0）和（2，3），AB∥CD，∠C＝90°，CD＝CB． （1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)原點(diǎn)O與點(diǎn)（7，1），且對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)點(diǎn)（4，3）與y軸平行的直線，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （3）在（2）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得PA＋PB＋PC＋PD最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）D（－1，3）……………………（2分） （2）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋c 由題意得：，∴ ∴ y＝－x2＋x．……………………………………………………………（5分） （3）顯然AC、BD的交點(diǎn)Q滿足QA＋QB＋QC＋QD最小， 直線AC的解析式為y＝2x－1，……………………………………………（6分） 直線BD的解析式為y＝－x＋2，……………………………………………（7分） ∴ Q（1，1）…………………………………………………………………（8分） 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－x2＋x＝1， ∴ 點(diǎn)Q在此拋物線上，……………………………………………………（9分） ∴ 存在點(diǎn)P（1，1）使得PA＋PB＋PC＋PD最?。?0分） 4．如圖，OB是矩形OABC的對(duì)角線，拋物線y＝－x＋x＋6經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)． (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)D、E分別是OC、OB上的點(diǎn)，OD＝5，OE＝2EB，過(guò)D、E的直線交軸于F，試說(shuō)明OE⊥ DF； (3)若點(diǎn)M是(2)中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． y x A B C D E O F M N P 圖2 圖1 y x A B C D E O F G M N P y x A B C D E O F ．解：（1）設(shè)x＝0，則y＝6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），……1分， 又矩形OABC，則BC∥x軸，∵拋物線y＝－x＋x＋6過(guò)B、C兩點(diǎn)，則B、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x＝對(duì)稱(chēng)，……2分 ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，6) ……3分 (2) 如圖1，作EG^x軸于點(diǎn)G，則EG//BA， ∴△OEG~△OBH，∴＝＝，又∵OE＝2EB， ∴＝，∴＝＝，∴OG＝2，EG＝4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，4)．……4分 又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，5)，設(shè)直線DE的解析式為y＝kx+b，則，解得k＝－，b＝5．∴直線DE的解析式為：y＝－x+5，……5分 設(shè)y＝0，則x＝10，則OF＝10，GF＝OF－OG＝8， ∴＝＝＝，又∠OGE＝∠EGF＝90°，∴△OGE∽△EGF，∴∠EOG＝∠FEG ∴∠FEO＝∠FEG＋∠OEG＝∠EOG＋∠OEG＝90°……7分 其他證法酌情給分 (3) 答：存在． j 如圖1，當(dāng)OD＝DM＝MN＝NO＝5時(shí)，四邊形ODMN為菱形．作MP^y軸于點(diǎn)P，則MP//x軸，∴△MPD~△FOD，∴＝＝． 又∵OF＝10． 在Rt△ODF中，F(xiàn)D＝＝＝5， ∴＝＝， ∴MP＝2，PD＝．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2，5+)． ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2，)． k 如圖2，當(dāng)OD＝DN＝NM＝MO＝5時(shí)，四邊形ODNM為菱形．延長(zhǎng)NM交x軸于點(diǎn)P，則MP^x軸． y x A B C D E O F M N P 圖3 ∵點(diǎn)M在直線y＝－x+5上，∴設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為 (a，－a+5)，在Rt△OPM中，OP 2+PM 2＝OM 2， ∴a2+(－a+5)2＝52，解得a1＝4，a2＝0(舍去)， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，3)，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4，8)． l 如圖3，當(dāng)OM＝MD＝DN＝NO時(shí)，四邊形OMDN為菱形．連接NM，交OD于點(diǎn)P， 則NM與OD互相垂直平分， ∴yM＝y(tǒng)N＝OP＝，∴-xM+5＝，∴xM＝5， ∴xN＝ -xM＝ -5，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-5，)． 綜上所述，x軸上方的點(diǎn)N有三個(gè)，分別為 N1(-2，)， N2(4，8)，N3(-5，)．……10分（每個(gè)1分） 5．如圖，四邊形是平行四邊形，拋物線過(guò)三點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn).一動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)同時(shí)停止. （1）求拋物線的解析式； （2）若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為何值時(shí)，四邊形是等腰梯形？ （3）當(dāng)為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？ 解： （1）四邊形是平行四邊形， 拋物線過(guò)點(diǎn)， 由題意，有解得 所求拋物線的解析式為 （2）將拋物線的解析式配方，得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為 欲使四邊形為等腰梯形，則有 （3）欲使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似， 有或 即或 ①若在軸的同側(cè).當(dāng)時(shí)，=， 當(dāng)時(shí)，即解得 ②若在軸的異側(cè).當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，即.解得 .故舍去. 當(dāng)或或或秒時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似. 6已知拋物線（）與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.直線分別與軸，軸相交于兩點(diǎn)，并且與直線相交于點(diǎn). (1)填空：試用含的代數(shù)式分別表示點(diǎn)與的坐標(biāo)，則； (2)如圖，將沿軸翻折，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)′恰好落在拋物線上，′與軸交于點(diǎn)，連結(jié)，求的值和四邊形的面積； (3)在拋物線（）上是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由. 第（2）題 x y B C O D A M N N′ x y B C O A M N 備用圖 （1） （2）由題意得點(diǎn)與點(diǎn)′關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，， 將′的坐標(biāo)代入得，（不合題意，舍去），. ，點(diǎn)到軸的距離為3.， ，直線的解析式為， 它與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)到軸的距離為.. （3）當(dāng)點(diǎn)在軸的左側(cè)時(shí)，若是平行四邊形，則平行且等于， 把向上平移個(gè)單位得到，坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式， 得： （不舍題意，舍去），，. 當(dāng)點(diǎn)在軸的右側(cè)時(shí)，若是平行四邊形，則與互相平分， ． 與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，， 將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：，（不合題意，舍去），，． 存在這樣的點(diǎn)或，能使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形． 7如圖14（1），拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．［圖14（2）、圖14（3）為解答備用圖］ （1）　　　　　，點(diǎn)A的坐標(biāo)為　　　　　　，點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　?。? （2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積； （3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 圖14（1）　　　　　　圖14（2）　　　　　　　　圖14（3） （4）在拋物線上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形． 解：（1），（-1，0），B（3，0）． （2）如圖14（1），拋物線的頂點(diǎn)為M（1，-4），連結(jié)OM． 則 △AOC的面積=，△MOC的面積=，△MOB的面積=6， ∴ 四邊形 ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9． 說(shuō)明：也可過(guò)點(diǎn)M作拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，將四邊形ABMC的面 積轉(zhuǎn)化為求1個(gè)梯形與2個(gè)直角三角形面積的和． （3）如圖14（2），設(shè)D（m，），連結(jié)OD． 則 0＜m＜3， ＜0． 且 △AOC的面積=，△DOC的面積=， 圖14（2） △DOB的面積=-（）， ∴ 四邊形 ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積 ==． ∴ 存在點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大為． （4）有兩種情況： 圖14（3） 圖14（4） 如圖14（3），過(guò)點(diǎn)B作BQ1⊥BC，交拋物線于點(diǎn)Q1、交y軸于點(diǎn)E，連接Q1C． ∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ∴ 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）． ∴ 直線BE的解析式為． 12分 由 解得 ∴ 點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（-2，5）． 13分 如圖14（4），過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CB，交拋物線于點(diǎn)Q2、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ2． ∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ∴ 點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，0）．∴ 直線CF的解析式為． 14分 由 解得 ∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（1，-4）．綜上，在拋物線上存在點(diǎn)Q1（-2，5）、Q2（1，-4）， 使△BCQ1、△BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形． 8已知：如圖所示，關(guān)于的拋物線與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)． （1）求出此拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）在拋物線上有一點(diǎn)，使四邊形為等腰梯形，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線的解析式； B A O C y x （第26題圖） （3）在（2）中的直線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，軸上有一動(dòng)點(diǎn)．是否存在以為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． B A O C y x 第26題圖 Q4 Q3 Q1 Q2 P3 P1 P2 D C P4 解：（1）根據(jù)題意，得，解得 拋物線的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4） （2），設(shè)直線的解析式為 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) （3）存在．，，， 圖 18 9.如圖18，拋物線F：的頂點(diǎn)為P，拋物線：與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，平移拋物線F使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D得到拋物線F′：，拋物線F′與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C． ⑴當(dāng)a = 1，b=－2，c = 3時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出答案)； ⑵若a、b、c滿足了 ①求b：b′的值； ②探究四邊形OABC的形狀，并說(shuō)明理由． 1） C（3，0）； （2）①拋物線，令=0，則=， ∴A點(diǎn)坐標(biāo)（0，c）． ∵，∴ ，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）． ∵PD⊥軸于D，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）． 根據(jù)題意，得a=a′，c= c′，∴拋物線F′的解析式為． 又∵拋物線F′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（），∴． ∴．又∵，∴．∴b:b′=． ②由①得，拋物線F′為． 令y=0，則． ∴． ∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）． 設(shè)直線OP的解析式為．∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）， ∴，∴，∴． ∵點(diǎn)B是拋物線F與直線OP的交點(diǎn)，∴．∴． ∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．把代入，得． ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），∴四邊形OABC是平行四邊形． 又∵∠AOC=90°，∴四邊形OABC是矩形． 10如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A．B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)． （1）求直線AC的解析式及B．D兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A．P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）請(qǐng)?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。 ∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A．B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0）。 當(dāng)x=0時(shí)，y=3?！郈點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）。設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1（k1≠0），則，解得。 ∴直線AC的解析式為y=3x+3。∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）。 （2）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q。如圖， ①當(dāng)點(diǎn)Q在Q1位置時(shí)，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（2，3）； ②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q2位置時(shí)，點(diǎn)Q2的縱坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線可得點(diǎn)Q2坐標(biāo)為（1+，﹣3）； ③當(dāng)點(diǎn)Q在Q3位置時(shí)，點(diǎn)Q3的縱坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（1﹣，﹣3）。 綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個(gè)，分別為：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。 （3）點(diǎn)B作BB′⊥AC于點(diǎn)F，使B′F=BF，則B′為點(diǎn)B關(guān)于直線AC 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．連接B′D交直線AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求。 過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥x軸于點(diǎn)E。 ∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。 ∴Rt△AOC∽R(shí)t△AFB?！?。 由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3， ∴AC=，AB=4。 ∴，解得?！郆B′=2BF=， 由∠1=∠2可得Rt△AOC∽R(shí)t△B′EB，∴。 ∴?！郆′E=，BE=?！郞E=BE﹣OB=﹣3=． ∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）。 設(shè)直線B′D的解析式為y=k2x+b2（k2≠0），則 ，解得。 ∴直線B'D的解析式為：。 聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得： ，解得。 ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）。