2013年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 四邊形綜合題

2013年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 四邊形綜合題 一、選擇題 1. 如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，順次連接四邊形ABCD 各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2…，如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn．下列結(jié)論正確的有（　?。? ①四邊形A2B2C2D2是矩形； ②四邊形A4B4C4D4是菱形； ③四邊形A5B5C5D5的周長是 ④四邊形AnBnCnDn的面積是． A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④ 考點：三角形中位線定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)。 專題：規(guī)律型。 分析：首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形ABCD中各邊長的長度關(guān)系規(guī)律，然后對以下選項作出分析與判斷： ①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)作出判斷； ②根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)作出判斷； ③由四邊形的周長公式：周長＝邊長之和，來計算四邊形A5B5C5D5 的周長； ④根據(jù)四邊形AnBnCnDn 的面積與四邊形ABCD的面積間的數(shù)量關(guān)系來求其面積． 解答：解：①連接A1C1，B1D1． ∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD 各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1 ， ∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC； ∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1， ∴四邊形ABCD是平行四邊形； ∴B1D1＝A1C1（平行四邊形的兩條對角線相等）； ∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位線定理）， ∴四邊形A2B2C2D2 是菱形； 故本選項錯誤； ②由①知，四邊形A2B2C2D2是菱形； ∴根據(jù)中位線定理知，四邊形A4B4C4D4是菱形；故本選項正確； ③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××AB，B5C5 ＝B3C3＝×B1C1＝××BC， ∴四邊形A5B5C5D5的周長是2×（a+b）＝；故本選項正確； ④∵四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD， ∴S四邊形ABCD＝ab； 由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 四邊形AnBnCnDn的面積是； 故本選項錯誤； 綜上所述，②③④正確； 故選C． 點評：本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）．解答此題時，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關(guān)系． 2.如圖，在平行四邊形 ABCD中(AB≠BC)，直線EF 經(jīng)過其對角線的交點O,且分別交AD、BC于點M、 N，交BA、DC的延長線于點E、F，下列結(jié)論： ①AO=BO；②OE=OF； ③△EAM∽△EBN； ④△EAO≌△CNO，其中正確的是 A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④ 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 分析：①根據(jù)平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)即可求得AO≠BO，即可求得①錯誤； ②易證△AOE≌△COF，即可求得EO=FO； ③根據(jù)相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN； ④易證△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根據(jù)全等三角形的傳遞性即可判定該選項錯誤． 答案：解：①平行四邊形中鄰邊垂直則該平行四邊形為矩形，故本題中AC≠BD，即AO≠BO，故①錯誤； ②∵AB∥CD， ∴∠E=∠F， 又∵∠EOA=∠FOC，AO=CO ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF，故②正確； ③∵AD∥BC， ∴△EAM∽△EBN，故③正確； ④∵△AOE≌△COF，且△FCO和△CNO， 故△EAO和△CNO不相似，故④錯誤， 即②③正確． 故選B． 點評：本題考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了平行四邊形對邊平行的性質(zhì)，本題中求證△AOE≌△COF是解題的關(guān)鍵． 3. 如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ) A B C D F E G 10題圖 A．1 B．2 C．3 D．4 考點：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理 分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE﹣S△FEC，求得面積比較即可． 解答：解：①正確．因為AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG； ②正確．因為：EF=DE=CD=2，設(shè)BG=FG=x，則CG=6﹣x．在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC； ③正確．因為CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF； ④錯誤．過F作FH⊥DC， ∵BC⊥DH， ∴FH∥GC， ∴△EFH∽△EGC， ∴=， EF=DE=2，GF=3， ∴EG=5， ∴==， ∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）=≠3． 故選C． 點評：本題綜合性較強，考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算，有一定的難度． 4. 己知直角梯形ABCD中，AD∥BC．∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分別是BC、CD邊的中點．連接BF、DF交于點P．連接CP并延長交AB于點Q，連揍AF，則下列結(jié)論不正確的是( )． A．CP平分∠BCD B．四邊形ABED為平行四邊形 C，CQ將直角梯形ABCD分為面積相等的兩部分 D．△ABF為等腰三角形 【考點】直角梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題；幾何綜合題． 【分析】本題可用排除法證明，即證明A、B、D正確，C不正確；易證△BCF≌△DCE（SAS），得∠FBC=∠EDC，∴△BPE≌△DPF，∴BP=DP；∴△BPC≌△DPC，∴∠BCP=∠DCP，∴A正確；∵AD=BE且AB∥BE，所以，四邊形ABED為平行四邊形，B正確；∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正確； 【解答】證明：易證△BCF≌△DCE（SAS）， ∴∠FBC=∠EDC，BF=ED； ∴△BPE≌△DPF（AAS）， ∴BP=DP， ∴△BPC≌△DPC（SSS）， ∴∠BCP=∠DCP，即A正確； 又∵AD=BE且AB∥BE， ∴四邊形ABED為平行四邊形，B正確； ∵BF=ED，AB=ED， ∴AB=BF，即D正確； 綜上，選項A、B、D正確； 故選C． 【點評】本題考查了等腰三角形、平行四邊形和全等三角形的判定，熟記以上圖形的性質(zhì)，并能靈活運用其性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵，本題綜合性較好． 5.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為AD上一點，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，則AC的長為（　?。? A、9cm B、14cm C、15cm D、18cm 考點：平行線分線段成比例；平行四邊形的性質(zhì)。 分析：延長FG交CB的延長線于點H．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得BC=AD=6cm，BC∥AD．根據(jù)AAS可以證明△AFE≌△BHE，則BH=AF=2cm，再根據(jù)BC∥AD，得，求得CG的長，從而求得AC的長． 解答： 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BC=AD=6cm，BC∥AD． ∴∠EAF=∠EBH，∠AFE=∠BHE， 又AE=BE， ∴△AFE≌△BHE， ∴BH=AF=2cm． ∵BC∥AD， ∴， 即， 則CG=12， 則AC=AG+CG=15（cm）． 故選C． 點評：此題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線分線段成比例定理．此題中要能夠巧妙構(gòu)造輔助線 6.下列四邊形中，對角線相等且互相垂直平分的是（　　） A、平行四邊形 B、正方形 C、等腰梯形 D、矩形 考點：等腰梯形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 專題：常規(guī)題型． 分析：利用對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形作出判斷即可． 解答：解：對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形， 故選B． 點評：本題考查了等腰梯形、平行四邊形、正方形及矩形的對角線的性質(zhì)，牢記特殊的四邊形的判定定理是解決此類問題的關(guān)鍵． 7. 如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD= ，點P在四邊形ABCD上，若P到BD的距離為，則點P的個數(shù)為（　?。? A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】B 【考點】解直角三角形；點到直線的距離． 【專題】幾何綜合題． 【分析】首先作出AB、AD邊上的點P（點A）到BD的垂線段AE，即點P到BD的最長距離，作出BC、CD的點P（點C）到BD的垂線段CF，即點P到BD的最長距離，由已知計算出AE、CF的長與比較得出答案． 【解答】解：過點A作AE⊥BD于E，過點C作CF⊥BD于F， ∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD= ，∴∠ABD=∠ADB=45°， ∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∴AE=AB?tan∠ABD=2 ?tan45°=2 =2＞ ， 所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為 的點2個， ∴CF=CD?tan∠CDF= =1，所以在邊BC和CD上沒有到BD的距離為 的點， 所以P到BD的距離為的點有2個，故選：B． 【點評】此題考查的知識點是解直角三角形和點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是先求出各邊上點到BD的最大距離比較得出答案． 8. 如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過點O作射線OM、ON分別交AB、BC于點E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于點P．則下列結(jié)論中： （1）圖形中全等的三角形只有兩對； （2）正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍； （3）BE+BF=OA； （4）AE2+CF2=2OP?OB，正確的結(jié)論有（　?。﹤€． A、1 　 B、2　　　　　　C、3 　　D、4 考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。 分析：本題考查正方形的性質(zhì)，四邊相等，四個角都是直角，對角線相等，垂直且互相平分，且平分每一組對角． 解答：解：（1）從圖中可看出全等的三角形至少有四對．故（1）錯誤． （2）△OBE的面積和△OFC的面積相等，故正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍，故（2）正確． （3）BE+BF是邊長，故BE+BF=OA是正確的． （4）因為AE=BF，CF=BE，故AE2+CF2=2OP?OB是正確的． 故選C． 點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)等． 9. 已知正六邊形的邊心距為，則它的周長是（　?。? A、6 B、12 C、6 D、12 考點：正多邊形和圓。 專題：計算題。 分析：設(shè)正六邊形的中心是O，一邊是AB，過O作OG⊥AB與G，在直角△OAG中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得邊長AB，從而求出周長． 解答：解：如圖，在Rt△AOG中，OG=，∠AOG=30°， ∴OA=OG÷cos 30°=÷2． 這個正六邊形的周長=12． 故選B． 點評：此題主要考查正多邊形的計算問題，屬于常規(guī)題．解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形． 二、填空題 1. 把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和頂點D重合，折痕為EF．若BF=4，F(xiàn)C=2，則∠DEF的度數(shù)是　60　°． 考點：翻折變換（折疊問題）。 專題：計算題。 分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠FDC=30°，則∠DFC=60°，所以有∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2，然后利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠DEF的度數(shù)． 解答：解：∵矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和頂點D重合，折痕為EF， ∴DF=BF=4，∠BFE=∠DFE， 在Rt△DFC中，F(xiàn)C=2，DF=4， ∴∠FDC=30°， ∴∠DFC=60°， ∴∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2=60°， ∴∠DEF=∠BFE=60°． 故答案為60． 點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后的兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等．也考查了矩形的性質(zhì)和含30°的直角三角形三邊的關(guān)系． 2. 1. 已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊△CDE，則∠AED的度數(shù)是　　　　 考點：正方形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。 專題：計算題。 分析：當(dāng)E在正方形ABCD內(nèi)時，根據(jù)正方形ABCD，得到AD=CD，∠ADC=90°，根據(jù)等邊△CDE，得到CD=DE，∠CDE=60°，推出AD=DE，得出∠DAE=∠AED，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可； 當(dāng)E在正方形ABCD外時，根據(jù)等邊三角形CDE，推出∠ADE=150°，求出即可． 解答：解：有兩種情況： 當(dāng)E在正方形ABCD內(nèi)時， ∵正方形ABCD， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∵等邊△CDE， ∴CD=DE，∠CDE=60°， ∴∠ADE=90°﹣60°=30°， ∴AD=DE， ∴∠DAE=∠AED=（180°﹣∠ADE）=75°； 當(dāng)E在正方形ABCD外時， ∵等邊三角形CDE， ∴∠EDC=60°， ∴∠ADE=90°+60°=150°， ∴∠AED=∠DAE=（180°﹣∠ADE）=15°． 故答案為：15°或75°． 點評：本題主要考查對正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵． 3. 如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=4，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為　4?。? 考點：角平分線的性質(zhì)；垂線段最短 分析：根據(jù)垂線段最短，當(dāng)DP垂直于BC的時候，DP的長度最小，則結(jié)合已知條件推出∠C=∠ADC，推出△ABC≌△PBD，即可AD=DP． 解答：解：根據(jù)垂線段最短，當(dāng)DP⊥BC的時候，DP的長度最小，∵BD⊥CD，∠ADB=∠C，∠A=90°，∴∠C=∠ADC，∴△ABC≌△PBD，∵AD=4，∴DP=4．故答案為：4． 點評：本題主要考查了直線外一點到直線的距離垂線段最短、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于確定好DP處置于BC． 三、解答題 1. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，過點D作DE⊥BC，垂足為E，并延長DE至F，使EF=DE．連接BF、CD、AC． （1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形； （2）如果DE2=BE?CE，求證四邊形ABFC是矩形． 考點：等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 專題：證明題． 分析：（1）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得AC∥BF，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形； （2）利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對應(yīng)角相等，從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊形是矩形． 解答：證明：（1）連接BD， ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC， ∴AC=BD，∠ACB=∠DBC ∵DE⊥BC，EF=DE， ∴BD=BF，∠DBC=∠FBC， ∴AC=BF，∠ACB=∠CBF ∴AC∥BF， ∴四邊形ABFC是平行四邊形； （2）∵DE2=BE?CE ∴ ， ∵∠DEB=∠DEC=90°， ∴△BDE∽△DEC ∴∠BDC=∠BFC=90°， ∴四邊形ABFC是矩形． 點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等及相似三角形的判定及性質(zhì)等，是一道集合了好幾個知識點的綜合題，但題目的難度不算大． 2. 如圖5所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，DE∥AC交BC的延長線于點E．求證：DE＝BE． 圖5 考點：菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，線段的倍分關(guān)系 專題：四邊形 分析：思路一：易知四邊形ACED是平行四邊形，則AD＝CE＝BC，從而可知BC＝BE，要說明DE＝BE，只需說明DE＝BC即可． 思路二：連接BD，先證∠BDE＝90°，再證∠DBE＝30°，根據(jù)30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半可直接獲得結(jié)論（自己完成證明過程）． 解答：∵ABCD是菱形， ∴AD//BC，AB＝BC＝CD＝DA． 又∵∠ABC＝ 60°， ∴BC＝AC＝AD． ∵DE∥AC ∴ACED為平行四邊形． ∴CE＝AD＝BC，DE＝AC． ∴DE＝CE＝BC， ∴DE＝BE． 點評：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，而平行四邊形的對邊相等，由此可以得出相等的線段，可實現(xiàn)線段的等量代換（轉(zhuǎn)移），這就為證明線段相等或倍、分關(guān)系創(chuàng)造了條件． 3.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．過點C作CE⊥AB于E，交對角線BD于F，點G為BC中點，連接EG、AF． （1）求EG的長； （2）求證：CF=AB+AF． A B E G C D F 24題圖 考點：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理 分析：（1）根據(jù)BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根據(jù)勾股定理求出BC=2，根據(jù)CE⊥BE，點G為BC的中點即可求出EG； （2）在線段CF上截取CH=BA，連接DH，根據(jù)BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，證出△ABD≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根據(jù)AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，證出△ADF≌△HDF，即可得到答案． 解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°， ∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC==2，∵CE⊥BE，點G為BC的中點，∴EG=BC=． 答：EG的長是． （2）證明：在線段CF上截取CH=BA，連接DH， A B E G C D F 24題答圖 ∵BD⊥CD，BE⊥CE， ∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°， ∵∠EFB=∠DFC， ∴∠EBF=∠DCF， ∵DB=CD，BA=CH， ∴△ABD≌△HCD， ∴AD=DH，∠ADB=∠HDC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC=45°， ∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°， ∴∠ADB=∠HDB， ∵AD=HD，DF=DF， ∴△ADF≌△HDF， ∴AF=HF， ∴CF=CH+HF=AB+AF， ∴CF=AB+AF． 點評：本題主要考查對梯形，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵． 4. 如圖，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線l分別與線段AD、CB的延長線交于點E、F． （1）△ABC與△FOA相似嗎？為什么？ （2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由． 考點：相似三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的性質(zhì)。 專題：證明題；綜合題。 分析：（1）根據(jù)角平分線的定義，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根據(jù)垂直的定義，矩形的性質(zhì)可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可證△ABC與△FOA相似； （2）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判斷． 解答：解：（1）∵直線l垂直平分線段AC， ∴∠AFO=∠CFO， ∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°， ∴∠AFO=∠CAB， ∵∠AOF=∠CBA=90°， ∴△ABC∽△FOA． （2）∵直線l垂直平分線段AC， ∴AF=CF， 可證△AOF≌△AOE， ∴AE=CF，F(xiàn)O=EO． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴四邊形AFCE是平行四邊形， ∴四邊形AFCE是菱形． 點評：考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，綜合性較強，有一定的難度． 5. 如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3．一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點發(fā)發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當(dāng)兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)．設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）． （1）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值； （2）在整個運動過程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍； （3）設(shè)EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由． A D C O B P F E 26題圖 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形 分析：（1）當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點C時，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值； （2）按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點，分為0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四種情況，分別寫出函數(shù)關(guān)系式； （3）存在．當(dāng)△AOH是等腰三角形時，分為AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三種情況，分別畫出圖形，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，列方程求t的值． 解答：解：（1）當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點C時，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2，tan∠CFB=，即tan60=，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點C時，t=1； A D C O B P F E G 26題答圖① （2）當(dāng)0≤t＜1時，S=2t+4； 當(dāng)1≤t＜3時，S=﹣t2+3t+； 當(dāng)3≤t＜4時，S=﹣4t+20； 當(dāng)4≤t＜6時，S=t2﹣12t+36； （3）存在． 理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB==， ∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°， ∴AE=HE=3﹣t或t﹣3， 1）當(dāng)AH=AO=3時，（如圖②），過點E作EM⊥AH于M，則AM=AH=， 在Rt△AME中，cos∠MAE═，即cos30°=， ∴AE=，即3﹣t=或t﹣3=， ∴t=3﹣或t=3+， A D C O B P E H M 26題答圖② 2）當(dāng)HA=HO時，（如圖③）則∠HOA=∠HAO=30°， 又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE， 又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1， 即3﹣t=1或t﹣3=1，∴t=2或t=4； A D C O B P E H 26題答圖③ 3）當(dāng)OH=OA時，（如圖④），則∠OHA=∠OAH=30°， ∴∠HOB=60°=∠HEB，∴點E和點O重合， ∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，t=6（舍去）或t=0； A D C O(E) B P H 26題答圖④ 綜上所述，存在5個這樣的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣或t=3+或t=2或t=2或t=0． 點評：本題考查了特殊三角形、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的有關(guān)知識．關(guān)鍵是根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分類討論． 6.（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù)． （2）如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點M，N是BD邊上的任意兩點，且∠MAN=45°，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． （3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的長． 考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。 分析：（1）根據(jù)高AG與正方形的邊長相等，證明三角形相等，進而證明角相等，從而求出解． （2）用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結(jié)論． （3）設(shè)出線段的長，結(jié)合方程思想，用數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果． 解答：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，，， ∴△ABE≌△AGE． ∴． 同理，． ∴． （2）． ∵，， ∴． ∴． 又∵，， ∴△AMN≌△AHN． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． A B C F D E G （圖①） M N （3）由（1）知，，． 設(shè)，則，． ∵， ∴． 解這個方程，得，（舍去負根）． ∴． ∴． 在（2）中，，， ∴． 設(shè)，則． ∴．即． 點評：本題考查里正方形的性質(zhì)，四邊相等，對角線平分每一組對角，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的知識點等． 7.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分線AE交BC于點E，連接DE． （1）求證：四邊形ABED是菱形； （2）若∠ABC=60°，CE=2BE，試判斷△CDE的形狀，并說明理由． 考點：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)。 專題：幾何綜合題。 分析：（1）根據(jù)AB=AD及AE為∠BAD的平分線可得出∠1=∠2，從而證得△BAE≌△DAE，這樣就得出四邊形ABED為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得出結(jié)論； （2）過點D作DF∥AE交BC于點F，可得出DF=AE，AD=EF=BE，再由CE=2BE得出DE=EF，從而結(jié)合∠ABC=60°，AB∥DE可判斷出結(jié)論． 解答：（1）證明：如圖，∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵AB=AD，AE=AE， ∴△BAE≌△DAE， ∴BE=DE， ∵AD∥BC， ∴∠2=∠3=∠1， ∴AB=BE， ∴AB=BE=DE=AD， ∴四邊形ABED是菱形． （2）解：△CDE是直角三角形． 如圖，過點D作DF∥AE交BC于點F， 則四邊形AEFD是平行四邊形， ∴DF=AE，AD=EF=BE， ∵CE=2BE， ∴BE=EF=FC， ∴DE=EF， 又∵∠ABC=60°，AB∥DE， ∴∠DEF=60°， ∴△DEF是等邊三角形， ∴DF=EF=FC， ∴△CDE是直角三角形． 點評：本題綜合考查了梯形、全等三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)，難度較大，解答本題需要掌握①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半． 8. 如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE． （1）說明四邊形ACEF是平行四邊形； （2）當(dāng)∠B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形，并說明理由． 考點：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定。 分析：（1）證明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可判斷； （2）當(dāng)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可證得AC=EC，根據(jù)菱形的定義即可判斷． 解答：（1）證明：由題意知∠FDC=∠DCA=90°， ∴EF∥CA， ∴∠AEF=∠EAC， ∵AF=CE=AE， ∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA． 又∵AE=EA， ∴△AEC≌△EAF， ∴EF=CA， ∴四邊形ACEF是平行四邊形． （2）當(dāng)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴AC=， ∵DE垂直平分BC， ∴BE=CE， 又∵AE=CE， ∴CE=， ∴AC=CE， ∴四邊形ACEF是菱形． 點評：本題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定方法，正確掌握判定定理是解題的關(guān)鍵． 9. 如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于O，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC的長． （2）求∠AOB的度數(shù)． （3）以O(shè)B、OC為鄰邊作菱形OBEC，求菱形OBEC的面積． 考點：矩形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質(zhì)。 專題：綜合題。 分析：（1）根據(jù)AB的長結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系可得出AC的長度． （2）根據(jù)矩形的對角線互相平分可得出△OBC為等腰三角形，從而利用外角的知識可得出∠AOB的度數(shù)． （3）分別求出△OBC和△BCE的面積，從而可求出菱形OBEC的面積． 解答：解（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∴Rt△ABC中，∠ACB=30°， ∴AC=2AB=4． （2）在矩形ABCD中， ∴AO=OA=2， 又∵AB=2， ∴△AOB是等邊三角形， ∴∠AOB=60°． （3）由勾股定理，得BC=， ． ， 所以菱形OBEC的面積是2． 點評：本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及勾股定理的知識，綜合性較強，注意一些基本知識的掌握是關(guān)鍵． 10.如圖，在四邊形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延長CD到點E，連接AE，使得∠E=∠C． （1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形； （2）若DC=12，求AD的長． 考點：等腰梯形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質(zhì)． 專題：計算題；證明題． 分析：（1）可證明AB∥ED，AE∥BD，即可證明四邊形ABDE是平行四邊形；由∠ABC=120°，∠C=60°，得AB∥ED；∠E= ∠C=∠BDC=30°，得AE∥BD； （2）可證得四邊形ABCD是等腰梯形，AD=BC，易證△BDC是直角三角形，可得BC= DC=6． 解答：證明：（1）∵∠ABC=120°，∠C=60°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥DC，即AB∥ED； 又∠C=60°，∠E= ∠C，∠BDC=30°， ∴∠E=∠BDC=30°， ∴AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形； 解：（2）∵AB∥DC， ∴四邊形ABCD是梯形， ∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°， ∴∠ADC=∠BCD=60°， ∴四邊形ABCD是等腰梯形； ∴BC=AD， ∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°， ∴∠DBC=90°， 又DC=12， ∴AD=BC= DC=6． 點評：本題考查了知識點較多，有等腰梯形、直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，只有牢記這些知識才能熟練運用． 11. 如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過點A作AG∥DB交CB的延長線于點G． （1）求證：DE∥BF； （2）若∠G＝90°，求證：四邊形DEBF是菱形． 考點：菱形的判定；平行線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。 專題：證明題。 分析：（1）根據(jù)已知條件證明∴△ADE≌△CBF，即∠3＝∠CBF，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∴∠BDE＝∠FBD，根據(jù)內(nèi)錯角相等，即可證明DE∥BF， （2）根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可以得出∠1＝∠2，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，從而得出結(jié)論． 解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD． ∵點E、F分別是AB、CD的中點， ∴AE＝AB，CF＝CD．∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF， ∴∠3＝∠CBF，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠2＝∠FBD，∴DE∥BF， （2）∵∠G＝90°，∴四邊形AGBD是矩形，∠ADB＝90°， ∴∠2+∠3＝90°，∴2∠2+2∠3＝180°．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴DE＝AE＝BE，∵AB∥CD，DE∥BF，∴四邊形DEBF是菱形． 點評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定，比較綜合，難度適中．10. 12. 以四邊形ABCD的邊AB．BC．CD．DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為E．F．G．H，順次連接這四個點，得四邊形EFGH． （1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）； （2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設(shè)∠ADC=α（0°＜α＜90°）， ①試用含α的代數(shù)式表示∠HAE； ②求證：HE=HG； ③四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由． 考點：正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；菱形的判定與性質(zhì)． 專題：證明題． 分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形得到角都是直角，且邊都相等即可判斷答案； （2）①∠HAE=90°+a，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，∠BAD=180°﹣a，根據(jù)△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可； ②根據(jù)△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DC=CD，平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，證△HAE≌△HDC，即可得出HE=HG； ③由②同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，證△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出結(jié)論． 解答：（1）答：四邊形EFGH的形狀是正方形． （2）解：①∠HAE=90°+a， 在平行四邊形ABCD中AB∥CD， ∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a， ∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形， ∴∠HAD=∠EAB=45°， ∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+a， 答：用含α的代數(shù)式表示∠HAE是90°+a． ②證明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形， ∴AE=AB，DC=CD， 在平行四邊形ABCD中，AB=CD， ∴AE=DG， ∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形， ∴∠HDA=∠CDG=45°， ∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE， ∵△HAD是等腰直角三角形， ∴HA=HD， ∴△HAE≌△HDC， ∴HE=HG． ③答：四邊形EFGH是正方形， 理由是：由②同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE， ∵HE=HG， ∴GH=GF=EF=HE， ∴四邊形EFGH是菱形， ∵△HAE≌△HDG， ∴∠DHG=∠AHE， ∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°， ∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°， ∴四邊形EFGH是正方形． 點評：本題主要考查對正方形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵． 13. 如圖，在?ABCD中，E為BC的中點，連接DE．延長DE交AB的延長線于點F．求證：AB=BF． 考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。 專題：證明題。 分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先證明△DEC≌△FEB，然后根據(jù)AB=CD，運用等量代換即可得出結(jié)論． 解答：解：由ABCD是平行四邊形得AB∥CD， ∴∠CDE=∠F，∠C=∠EBF． 又∵E為BC的中點， ∴△DEC≌△FEB， ∴DC=FB． 又∵AB=CD， ∴AB=BF． 點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定，難度一般，對于此類題目關(guān)鍵是熟練掌握并運用平行四邊形的性質(zhì)． 14. 如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H． （1）求證：EB=GD； （2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由； （3）若AB=2，AG=，求EB的長． 考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。 分析：（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB從而GAD≌△EAB，即EB=GD； （2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE則在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD； （3）設(shè)BD與AC交于點O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到結(jié)果． 解答：（1）證明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD， ∴∠GAD=∠EAB， 又∵AG=AE，AB=AD， ∴△GAD≌△EAB， ∴EB=GD； （2）EB⊥GD，理由如下：連接BD， 由（1）得：∠ADG=∠ABE，則在△BDH中， ∠DHB=180°﹣（∠HDB+∠HBD）=180°﹣90°=90°， ∴EB⊥GD； （3）設(shè)BD與AC交于點O， ∵AB=AD=2在Rt△ABD中，DB=， ∴EB=GD=． 點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等，并利用證得的條件求得邊長． 15. 如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE． （1）說明四邊形ACEF是平行四邊形； （2）當(dāng)∠B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形，并說明理由． 考點：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定。 分析：（1）證明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可判斷； （2）當(dāng)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可證得AC=EC，根據(jù)菱形的定義即可判斷． 解答：（1）證明：由題意知∠FDC=∠DCA=90°， ∴EF∥CA， ∴∠AEF=∠EAC， ∵AF=CE=AE， ∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA． 又∵AE=EA， ∴△AEC≌△EAF， ∴EF=CA， ∴四邊形ACEF是平行四邊形． （2）當(dāng)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴AC=AB， ∵DE垂直平分BC， ∴BE=CE， 又∵AE=CE， ∴CE=AB ， ∴AC=CE， ∴四邊形ACEF是菱形． 點評：本題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定方法，正確掌握判定定理是解題的關(guān)鍵． 16.如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點P、Q分別在邊AB、BC上，且AP＝BQ． （1）求證：△BDQ≌△ADP； （2）已知AD＝3，AP＝2，求cos∠BPQ的值（結(jié)果保留根號）． 考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。 分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可證得AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，AD∥BC，又由∠A＝60°，易得△ABD是等邊三角形，然后由SAS即可證得△BDQ≌△ADP； （2）首先過點Q作QE⊥AB，交AB的延長線于E，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PE與QE的長，又由勾股定理，即可求得PQ的長，則可求得cos∠BPQ的值． 解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，AD∥BC， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等邊三角形，∠ABC＝120°， ∴AD＝BD，∠CBD＝∠A＝60°， ∵AP＝BQ， ∴△BDQ≌△ADP（SAS）； （2）過點Q作QE⊥AB，交AB的延長線于E， ∵△BDQ≌△ADP， ∴BQ＝AP＝2， ∵AD∥BC， ∴∠QBE＝60°， ∴QE＝QB?sin60°＝2×＝，BE＝QB?cos60°＝2×＝1， ∵AB＝AD＝3， ∴PB＝AB－AP＝3－2＝1， ∴PE＝PB＋BE＝2， ∴在Rt△PQE中，PQ＝＝， ∴cos∠BPQ＝＝＝． 點評：此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 17. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線，BE⊥AC，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F．求證：DF=BE． 考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。 專題：證明題。 分析：根據(jù)平行四邊形的對邊相等得出BC=AD，再由兩直線平行內(nèi)錯角相等可得出∠BCA=∠DAC，從而可判斷出△CEB≌△AFD，利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形． ∴BC=AD，BC∥AD． ∴∠BCA=∠DAC ∵BE⊥AC，DE⊥AC． ∴∠CEB=∠AFD=90°． ∴△CEB≌△AFD ∴BE=DF． 點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是利用全等的知識證明線段的相等，這是經(jīng)常用到的，同學(xué)們要注意掌握． 18.在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EG⊥CG． （1）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想． （2）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。 【分析】從圖（1）中尋找證明結(jié)論的思路：延長FE交DC延長線于M，連MG．構(gòu)造出△GFE≌△GMC．易得結(jié)論；在圖（2）、（3）中借鑒此解法證明． 【解答】 解：（1） EG=CG，EG⊥CG． （2分） （2）EG=CG，EG⊥CG． （2分） 證明：延長FE交DC延長線于M，連MG． ∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°， ∴四邊形BEMC是矩形． ∴BE=CM，∠EMC=90°， 又∵BE=EF， ∴EF=CM． ∵∠EMC=90°，F(xiàn)G=DG， ∴MG=FD=FG． ∵BC=EM，BC=CD， ∴EM=CD． ∵EF=CM， ∴FM=DM， ∴∠F=45°． 又FG=DG， ∠CMG=∠EMC=45°， ∴∠F=∠GMC． ∴△GFE≌△GMC． ∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分） ∵∠FMC=90°，MF=MD，F(xiàn)G=DG， ∴MG⊥FD， ∴∠FGE+∠EGM=90°， ∴∠MGC+∠EGM=90°， 即∠EGC=90°， ∴EG⊥CG． （2分） 【點評】此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì)，如何構(gòu)造全等的三角形是難點，因此難度較大． 19. 在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長． 考點：勾股定理的逆定理；全等三角形的判定與性質(zhì)。 分析：根據(jù)題意中的△ABD為等腰直角三角形，顯然應(yīng)分為三種情況：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙構(gòu)造輔助線，出現(xiàn)全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性質(zhì)和勾股定理進行求解． 解答： 解：∵AC=4，BC=2，AB=2， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°． 分三種情況： 如圖（1），過點D作DE⊥CB，垂足為點E．易證△ACB≌△BED， 易求CD=2； 如圖（2），過點D作DE⊥CA，垂足為點E．易證△ACB≌△DEA， 易求CD=2； 如圖（3），過點D作DE⊥CB，垂足為點E，過點A作AF⊥DE，垂足為點F． 易證△AFD≌△DEB，易求CD=3． 點評：此題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理． 20. 如圖，在一方形ABCD中．E為對角線AC上一點，連接EB、ED， （1）求證：△BEC≌△DEC： （2）延長BE交AD于點F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度數(shù)． 考點：正方形的性質(zhì)；對頂角、鄰補角；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)。 專題：證明題。 分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根據(jù)SAS即可證出結(jié)論； （2）根據(jù)對頂角相等求出∠AEF，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠DAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可． 解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA， ∵CE=CE， ∴△BEC≌△DEC． （2）解：∵∠DEB=140°， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠DEC=∠BEC=70°， ∴∠AEF=∠BEC=70°， ∵∠DAB=90°， ∴∠DAC=∠BAC=45°， ∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°． 答：∠AFE的度數(shù)是65°． 點評：本題主要考查對正方形的性質(zhì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，對頂角等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵． 21. 如圖．矩形ABCD的對角線相交于點0．DE∥AC，CE∥BD． （1）求證：四邊形OCED是菱形； （2）若∠ACB=30°，菱形OCED的而積為，求AC的長． 考點：矩形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。 分析：（1）熟記菱形的判定定理，本題可用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形． （2）因為∠ACB=30°可證明菱形的一條對角線和邊長相等，可證明和對角線構(gòu)成等邊三角形，