2013年中考數(shù)學模擬試題匯編 反比例函數(shù)（三）

2013年中考數(shù)學模擬試題匯編 反比例函數(shù)(三) 7．已知點P的坐標為（m，0），在x軸上存在點Q（不與P重合），以PQ為邊，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使點M落在反比例函數(shù)y＝－ 的圖象上． （1）如圖所示，若點P的坐標為（1，0），圖中已經(jīng)畫出一個符合條件的菱形PQMN，若另一個菱形為PQ1M1N1，求點M1的坐標； （2）探究發(fā)現(xiàn)，當符合上述條件的菱形只有兩個時，一個菱形的頂點M在第四象限，另一個菱形的頂點M1在第二象限．通過改變P點坐標，對直線MM1的解析式y(tǒng)＝kx＋b進行探究可得k＝__________，若點P的坐標為（m，0），則b＝__________（用含m的代數(shù)式表示）； （3）繼續(xù)探究：①若點P的坐標為（m，0），則m在什么范圍時，符合上述條件的菱形分別有兩個、三個、四個？ x y O 備用圖 ②求出符合上述條件的菱形剛好有三個時，點M坐標的所有情況． x y P O Q M N x y P O Q M N Q1 M1 N1 H 解：（1）過M1作M1H⊥PQ1于H，設Q1（x，0）， 顯然點Q1在x軸的負半軸上，點M1在第二象限 ∵P（1，0），∴M1Q1＝PQ1＝1－x ∵∠PQM1＝60°，∴Q1H＝ (1－x )，M1H＝ (1－x ) ∴OH＝－x－ (1－x )＝－ (1＋x ) ∴M1（ (1＋x )，(1－x )） x y P O Q3 M3 N3 (Q1) M1 N1 Q6 M6 N6 ∵點M1在反比例函數(shù)y＝－ 的圖象上 ∴(1＋x )· (1－x )＝－2 ，解得：x＝3（舍去）或x＝－3 ∴M1（－1，2 ） （2）k＝－ ，b＝ m 提示：連接PM1、PM，則∠M1PQ1＝∠OPN＝∠MPN＝60° ∴∠M1PM＝180°，即M1、P、M三點共線且∠M1MN＝60° 可得直線MM1的解析式為y＝－ x＋b，∴k＝－ 若點P的坐標為（m，0），則直線MM1的解析式為y＝－ x＋ m ∴b＝ m （3）①若符合條件的菱形有三個，則其中必有一個菱形的一條邊PN或?qū)蔷€PM所在直線與雙曲線只有一個交點 由∠QPM＝60°或∠PNM＝60°，P（m，0），得直線PM或直線PN的解析式為y＝ x－ m x y P O Q5 M5 N5 (Q4) N2 Q2 M2 M4 N4 令y＝ x－ m＝－ ，得x 2－mx＋2＝0 △＝m 2－8＝0，得m＝±2 ∴當－2 ＜m ＜2 時，△＜0，滿足條件的菱形有兩個 當m＝±2 時，△＝0，滿足條件的菱形有三個 當m ＞2 或m ＜－2 時，△＞0，滿足條件的菱形有四個 ②由①知，當符合條件的菱形剛好有三個時，m＝±2 當m＝2 時，點P的坐標為（2 ，0） 把m＝2 代入x 2－mx＋2＝0，得x 2－2 x＋2＝0 解得x＝ ，∴M1（，－ ） 設Q（x，0），由（1）知，(2 ＋x )· (2 －x )＝－2 解得：x＝4或x＝－4 ∴M2（2－ ，－2 － ），M3（－2＋ ，2 ＋ ） 當m＝－2 時，由對稱性可得：M4（－ ， ），M5（－2－ ，2 － ），M6（2＋ ，－2 ＋ ） 8．如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點O是坐標原點，點A坐標為（1，3），A、B兩點關(guān)于直線y＝x對稱，反比例函數(shù)y＝ （x＞0）圖象經(jīng)過點A，點P是直線y＝x上一動點． （1）填空：B點的坐標為（______，______）； （2）若點C是反比例函數(shù)圖象上一點，是否存在這樣的點C，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點C坐標；若不存在，請說明理由； （3）若點Q是線段OP上一點（Q不與O、P重合），當四邊形AOBP為菱形時，過點Q分別作直線OA和直線AP的垂線，垂足分別為E、F，當QE＋QF＋QB的值最小時，求出Q點坐標． B x O y A B x O y A 備用圖 B x O y A P C 圖1 解：（1）（3，1） （2）∵反比例函數(shù)y＝ （x＞0）圖象經(jīng)過點A（1，3） ∴k＝1×3＝3 ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝ ∵點P在直線y＝x上，∴設P（m，m） ①若PC為平行四邊形的邊 ∵點A的橫坐標比點B的橫坐標小2，點A的縱坐標比點B的縱坐標大2 ∴若點C在點P下方，則點C的坐標為（m＋2，m－2），如圖1 若點C在點P上方，則點C的坐標為（m－2，m＋2），如圖2 B x O y A P C 圖2 把C（m＋2，m－2）代入反比例函數(shù)的解析式，得： m－2＝ ，解得m＝± ∵m＞0，∴m＝ ∴C1（＋2，－2） 同理可得另一點C2（－2，＋2） ②若PC為平行四邊形的對角線，如圖3 ∵A、B關(guān)于直線y＝x對稱，∴OP⊥AB 此時點C在直線y＝x上，且為直線y＝x與雙曲線y＝ 的交點 B x O y A P C 圖3 由 解得 （舍去） ∴C3（，） 綜上所述，滿足條件的點C有三個，坐標分別為： C1（＋2，－2），C2（－2，＋2），C3（，） （3）連接AQ，設AB與OP的交點為D，如圖4 ∵四邊形AOBP是菱形，∴AO＝AP ∵S△AOP ＝S△AOQ ＋ S△APQ B x O y A P 圖4 Q D E F ∴ OP·AD＝ AO·QE＋ AP·QF ∴QE＋QF＝ 為定值 ∴要使QE＋QF＋QB的值最小，只需QB的值 當QB⊥OP時，QB最小，所以D點即為所求的點 ∵A（1，3），B（3，1），∴D（2，2） ∴當QE＋QF＋QB的值最小時，Q點坐標為（2，2） 9．已知點P（m，n）是反比例函數(shù)y＝ （x＞0）圖象上的動點，PA∥x軸，PB∥y軸，分別交反比例函數(shù)y＝ （x＞0）的圖象于點A、B，點C是直線y＝2x上的一點． （1）請用含m的代數(shù)式分別表示P、A、B三點的坐標； （2）在點P運動過程中，連接AB，△PAB的面積是否變化，若不變，請求出△PAB的面積；若改變，請說明理由； B x O y A P C y＝ y＝ y＝2x （3）在點P運動過程中，以點P、A、B、C為頂點的四邊形能否為平行四邊形，若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由． A B P O x Q y 圖1 解：（1）P（m，），A（ ，），B（m，） （2）∵PA＝m－ ＝ ，PB＝ － ＝ ∴S△PAB ＝ PA·PB＝ ×× ＝ ∴△PAB的面積不變 （3）①若AP是平行四邊形的邊，如圖1、圖2 則AP∥BQ且AP＝BQ 得Q（，）或Q（，） ∵點Q在直線y＝2x上 A B P O x Q y 圖3 A B P O x Q y 圖2 ∴ ＝2× 或 ＝2× 解得m＝ 或m＝1（舍去負值） ∴P（，2）或P（1，6） ②若AP是平行四邊形的對角線，如圖3 則QA∥PB且QA＝PB 得Q（， ＋ ） ∵點Q在直線y＝2x上 ∴ ＋ ＝2× ，解得m＝3（舍去負值） ∴P（3，2） ∴D（2，－6）或D（－3，4） 易知M為BD的中點 由B（1，0），D（2，－6），得M（ ，－3） 由B（1，0），D（－3，4），得M（－1，2） C B y x y＝2x－2 A D E M O C B y x y＝2x－2 A D E M O ∴點M的坐標為（ ，－3）或（－1，2） C B y x y＝2x－2 A P P O H （3）假設存在點P，使以PB為直徑的圓恰好過點C 則∠PCB＝90° 設P（x，－ ），過P作PH⊥y軸于H，易證△CHP∽△BOC 得 ＝ （或 ＝ ） 解得x1＝－2＋2 ，x2＝－2－2 ∴P1（－2＋2 ，－1－ ），P2（－2－2 ，－1＋ ）