2010年高考數(shù)學(xué) 考點10解三角形應(yīng)用舉例

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1、考點10 解三角形應(yīng)用舉例 1.（2010·陜西高考理科·Ｔ１7）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距 海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60° 的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？ 【命題立意】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正、余弦定理，考查了解決三角形 問題的能力，屬于中檔題。 【思路點撥】解三角形 【規(guī)范解答】 2.（2010·陜西高考文科·Ｔ１7）在△ABC中，已知B=45°,D是BC邊上的一點， AD

2、=10,AC=14,DC=6，求AB的長. 【命題立意】本題考查了已知三角函數(shù)值求角、正弦定理、余弦定理，考查了解三角形問題的能力， 屬于中檔題。 【思路點撥】解三角形△ADC cosADCADB解三角形△ABD AB 【規(guī)范解答】在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos=, ADC=120°, ADB=60° 在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°， 由正弦定理得, AB=. 3.（2010·江蘇高考·Ｔ１7）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，

3、∠ADE=。 (1) 該小組已測得一組、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出H的值； (2) 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？ 【命題立意】本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。 【思路點撥】（1）分別利用表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解； （2）利用基本不等式求解. 【規(guī)范解答】（1），同理：，。 AD—AB=DB，故得，解得：。 因此，算出的電視塔的高度H是124m。 （2）由題設(shè)知，

4、得， ，（當且僅當時，取等號） 故當時，最大。 因為，則，由的單調(diào)性可知：當時，-最大。 故所求的是m。 4.（2010·安徽高考理科·Ｔ16）設(shè)是銳角三角形，分別是內(nèi)角所對邊長，并且。 (1)求角的值； (2)若，求（其中）。 【命題立意】本題主要考查三角函數(shù)，向量的數(shù)量積，余弦定理等知識的綜合應(yīng)用，考查考生化簡、運算、求解能力。 【思路點撥】先對化簡，求出角；再根據(jù)(2)的條件和余弦定理，構(gòu)造方程組求解。 【規(guī)范解答】（1） ， 由題意，所以， （2），①， ，②， 又，由①、②解得。 5.（2010·福建高考文科·Ｔ21）某港口要將一件重要物品用

5、小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時與輪船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (Ⅱ)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請說明理由。 【命題立意】本題考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、抽象概括能

6、力、運算求解能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想。 【思路點撥】第一步設(shè)相遇時小艇航行的距離為S，利用余弦定理把S表示為關(guān)于t的函數(shù)，利用二次函數(shù)的方法求解S的最小值，并求解此時的速度；第二步利用余弦定理解三角形表示出v，t的關(guān)系式，并利用函數(shù)知識求解速度的范圍；第三步把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根分布問題。 【規(guī)范解答】 (Ⅰ)設(shè)相遇時小艇航行距離為海里，則 故當時，，即小艇以每小時海里的速度航行，相遇時距離最小。 (Ⅱ)若輪船與小艇在處相遇，由題意可得：化簡得，，由于，即，所以當時，取得最小值，即小艇航行速度的最小值為海里每小時。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，，于是

7、有，小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇等價于上述方程有兩個不等正根，，解得：，所以的取值范圍為。 【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、測量距離和高度及工程建筑等生產(chǎn)實際中，有廣泛的應(yīng)用，在物理學(xué)中，有關(guān)向量的計算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特別是新課程的高考)我們發(fā)現(xiàn)以解三角形為背景的應(yīng)用題又開始成為命題的熱點了，可以說這是還原三角學(xué)的本質(zhì)了。解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是： 一．“建模”： 1．準確理解題意，分清已知和未知，準確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語，如視角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等； 2．根據(jù)題意畫出圖形； 3．把要求解的問題歸結(jié)到一

8、個或幾個三角形中，合理運用正弦定理和余弦定理等有關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型； 二．“解?！保赫_求解。注意：算法要簡練，運算要準確。 三．“還原說明”：作出應(yīng)用題的答案。 6.（2010·天津高考文科·Ｔ１7）在ABC中，。 （Ⅰ）證明B=C; （Ⅱ）若=-，求sin的值。 【命題立意】本小題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力。 【思路點撥】（1）只需證明sin（B-C）=0即可； （2）利用倍角公式及和角公式求解。 【規(guī)范解答】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC

9、=0， 即sin（B-C）=0.因為，從而B-C=0. 所以B=C. （Ⅱ）由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=. 又0<2B<,于是sin2B==. 從而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=. 所以 【方法技巧】解題的關(guān)鍵是合理利用三角函數(shù)公式對關(guān)系式進行恒等變形，要注意根據(jù)角的范圍來確定三角函數(shù)的符號的確定。 7.（2010·福建高考理科·Ｔ19）某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/小時的航行

10、速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時與輪船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (Ⅱ)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由。 【命題立意】本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。 【思路點撥】第一步設(shè)相遇時小艇航行的距離為S，把S表示為關(guān)于t的函數(shù)，利用二次函數(shù)的方法求解S的

11、最小值，并求解此時的速度；第二步利用余弦定理解三角形表示出v，t的關(guān)系式，并利用函數(shù)知識求解速度的范圍。 【規(guī)范解答】 (Ⅰ)為使小艇航行距離最短，理想化的航行路線為OT，小艇到達T位置時輪船的航行位移即，，從而（海里/時）； O A B T G H (Ⅱ)若輪船與小艇在H處相遇時，在直角三角形OHT中運用勾股定理有：，等價于 從而 所以當時，， 也就是說，當小艇以30海里每小時的速度，沿北偏東方向行走能以最短的時間遇到輪船。 【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、測量距離和高度及工程建筑等生產(chǎn)實際中，有廣泛的應(yīng)用，在物理學(xué)中，有關(guān)向量的計算也要用到解三角形的方法。近年

12、的高考中(特別是新課程的高考)我們發(fā)現(xiàn)以解三角形為背景的應(yīng)用題又開始成為命題的熱點了，可以說這是還原三角學(xué)的本質(zhì)了。解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是： 一．“建?！保? 1．準確理解題意，分清已知和未知，準確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語，如視角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等； 2．根據(jù)題意畫出圖形； 3．把要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，合理運用正弦定理和余弦定理等有關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型； 二．“解模”：正確求解。注意：算法要簡練，運算要準確。 三．“還原說明”：作出應(yīng)用題的答案。 8.（2010·安徽高考文科·Ｔ16）的面積是30，內(nèi)角所對邊長分別為，。 (1)求； (2)若，求的值。 【命題立意】本題主要考查三角函數(shù)，向量的數(shù)量積，余弦定理等知識的綜合應(yīng)用，考查考生化簡、運算、 求解能力。 【思路點撥】由得的值，再根據(jù)面積公式得的值，從而求數(shù)量積 的值；由余弦定理，代入已知條件及可求a的值。 【規(guī)范解答】由且為三角形內(nèi)角，得. 又=，∴， （1）； （2）， ∴。