2010年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)10解三角形應(yīng)用舉例

考點(diǎn)10 解三角形應(yīng)用舉例 1.（2010·陜西高考理科·Ｔ１7）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距 海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60° 的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？ 【命題立意】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正、余弦定理，考查了解決三角形 問(wèn)題的能力，屬于中檔題。 【思路點(diǎn)撥】解三角形 【規(guī)范解答】 2.（2010·陜西高考文科·Ｔ１7）在△ABC中，已知B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn)， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的長(zhǎng). 【命題立意】本題考查了已知三角函數(shù)值求角、正弦定理、余弦定理，考查了解三角形問(wèn)題的能力， 屬于中檔題。 【思路點(diǎn)撥】解三角形△ADC cosADCADB解三角形△ABD AB 【規(guī)范解答】在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos=, ADC=120°, ADB=60° 在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°， 由正弦定理得, AB=. 3.（2010·江蘇高考·Ｔ１7）某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。 (1) 該小組已測(cè)得一組、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值； (2) 該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測(cè)量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問(wèn)d為多少時(shí)，-最大？ 【命題立意】本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。 【思路點(diǎn)撥】（1）分別利用表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解； （2）利用基本不等式求解. 【規(guī)范解答】（1），同理：，。 AD—AB=DB，故得，解得：。 因此，算出的電視塔的高度H是124m。 （2）由題設(shè)知，得， ，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)） 故當(dāng)時(shí)，最大。 因?yàn)椋瑒t，由的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，-最大。 故所求的是m。 4.（2010·安徽高考理科·Ｔ16）設(shè)是銳角三角形，分別是內(nèi)角所對(duì)邊長(zhǎng)，并且。 (1)求角的值； (2)若，求（其中）。 【命題立意】本題主要考查三角函數(shù)，向量的數(shù)量積，余弦定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查考生化簡(jiǎn)、運(yùn)算、求解能力。 【思路點(diǎn)撥】先對(duì)化簡(jiǎn)，求出角；再根據(jù)(2)的條件和余弦定理，構(gòu)造方程組求解。 【規(guī)范解答】（1） ， 由題意，所以， （2），①， ，②， 又，由①、②解得。 5.（2010·福建高考文科·Ｔ21）某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)小時(shí)與輪船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (Ⅱ)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 【命題立意】本題考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想。 【思路點(diǎn)撥】第一步設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S，利用余弦定理把S表示為關(guān)于t的函數(shù)，利用二次函數(shù)的方法求解S的最小值，并求解此時(shí)的速度；第二步利用余弦定理解三角形表示出v，t的關(guān)系式，并利用函數(shù)知識(shí)求解速度的范圍；第三步把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根分布問(wèn)題。 【規(guī)范解答】 (Ⅰ)設(shè)相遇時(shí)小艇航行距離為海里，則 故當(dāng)時(shí)，，即小艇以每小時(shí)海里的速度航行，相遇時(shí)距離最小。 (Ⅱ)若輪船與小艇在處相遇，由題意可得：化簡(jiǎn)得，，由于，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即小艇航行速度的最小值為海里每小時(shí)。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，，于是有，小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇等價(jià)于上述方程有兩個(gè)不等正根，，解得：，所以的取值范圍為。 【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、測(cè)量距離和高度及工程建筑等生產(chǎn)實(shí)際中，有廣泛的應(yīng)用，在物理學(xué)中，有關(guān)向量的計(jì)算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特別是新課程的高考)我們發(fā)現(xiàn)以解三角形為背景的應(yīng)用題又開(kāi)始成為命題的熱點(diǎn)了，可以說(shuō)這是還原三角學(xué)的本質(zhì)了。解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是： 一．“建模”： 1．準(zhǔn)確理解題意，分清已知和未知，準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語(yǔ)，如視角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等； 2．根據(jù)題意畫(huà)出圖形； 3．把要求解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理等有關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型； 二．“解?！保赫_求解。注意：算法要簡(jiǎn)練，運(yùn)算要準(zhǔn)確。 三．“還原說(shuō)明”：作出應(yīng)用題的答案。 6.（2010·天津高考文科·Ｔ１7）在ABC中，。 （Ⅰ）證明B=C; （Ⅱ）若=-，求sin的值。 【命題立意】本小題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。 【思路點(diǎn)撥】（1）只需證明sin（B-C）=0即可； （2）利用倍角公式及和角公式求解。 【規(guī)范解答】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0， 即sin（B-C）=0.因?yàn)?，從而B(niǎo)-C=0. 所以B=C. （Ⅱ）由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=. 又0<2B<,于是sin2B==. 從而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=. 所以 【方法技巧】解題的關(guān)鍵是合理利用三角函數(shù)公式對(duì)關(guān)系式進(jìn)行恒等變形，要注意根據(jù)角的范圍來(lái)確定三角函數(shù)的符號(hào)的確定。 7.（2010·福建高考理科·Ｔ19）某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)小時(shí)與輪船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (Ⅱ)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由。 【命題立意】本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。 【思路點(diǎn)撥】第一步設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S，把S表示為關(guān)于t的函數(shù)，利用二次函數(shù)的方法求解S的最小值，并求解此時(shí)的速度；第二步利用余弦定理解三角形表示出v，t的關(guān)系式，并利用函數(shù)知識(shí)求解速度的范圍。 【規(guī)范解答】 (Ⅰ)為使小艇航行距離最短，理想化的航行路線為OT，小艇到達(dá)T位置時(shí)輪船的航行位移即，，從而（海里/時(shí)）； O A B T G H (Ⅱ)若輪船與小艇在H處相遇時(shí)，在直角三角形OHT中運(yùn)用勾股定理有：，等價(jià)于 從而 所以當(dāng)時(shí)，， 也就是說(shuō)，當(dāng)小艇以30海里每小時(shí)的速度，沿北偏東方向行走能以最短的時(shí)間遇到輪船。 【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、測(cè)量距離和高度及工程建筑等生產(chǎn)實(shí)際中，有廣泛的應(yīng)用，在物理學(xué)中，有關(guān)向量的計(jì)算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特別是新課程的高考)我們發(fā)現(xiàn)以解三角形為背景的應(yīng)用題又開(kāi)始成為命題的熱點(diǎn)了，可以說(shuō)這是還原三角學(xué)的本質(zhì)了。解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是： 一．“建?！保? 1．準(zhǔn)確理解題意，分清已知和未知，準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語(yǔ)，如視角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等； 2．根據(jù)題意畫(huà)出圖形； 3．把要求解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理等有關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型； 二．“解?！保赫_求解。注意：算法要簡(jiǎn)練，運(yùn)算要準(zhǔn)確。 三．“還原說(shuō)明”：作出應(yīng)用題的答案。 8.（2010·安徽高考文科·Ｔ16）的面積是30，內(nèi)角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，。 (1)求； (2)若，求的值。 【命題立意】本題主要考查三角函數(shù)，向量的數(shù)量積，余弦定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查考生化簡(jiǎn)、運(yùn)算、 求解能力。 【思路點(diǎn)撥】由得的值，再根據(jù)面積公式得的值，從而求數(shù)量積 的值；由余弦定理，代入已知條件及可求a的值。 【規(guī)范解答】由且為三角形內(nèi)角，得. 又=，∴， （1）； （2）， ∴。