2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)熱身訓(xùn)練 5.2數(shù)列綜合應(yīng)用

2014年高考一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)熱身訓(xùn)練：5.2數(shù)列綜合應(yīng)用 一、選擇題（每小題6分，共36分） 1.（2013·沈陽模擬）設(shè)數(shù)列{(-1)n}的前n項(xiàng)和為Sn，則對任意正整數(shù)n，Sn=( ) () (B) (C) (D) 2．?dāng)?shù)列{an}、{bn}都是等差數(shù)列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60，則{an＋bn}的前20項(xiàng)和為( ) ()700 (B)710 (C)720 (D)730 3.(易錯(cuò)題)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(n∈N*)，設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,則使Sn＜-5成立的自然數(shù)n( ) （）有最大值63 （B）有最小值63 （C）有最大值31 （D）有最小值31 4.已知實(shí)數(shù)等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和.若a2·a3=2a1,且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5等于( ) （）35 （B）33 （C）31 （D）29 5.已知數(shù)列{an}、{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為a1、b1，且a1+b1=5，a1>b1，a1、b1∈N*(n∈N*)，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和等于( ) （）65 （B）75 （C）85 （D）95 6.（2012·合肥模擬）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若＜-1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使得Sn＜0的n的最小值為( ) ()11 (B)19 (C)20 (D)21 二、填空題（每小題6分，共18分） 7.設(shè)若則n的值為________. 8.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱數(shù)列｛an｝為“和等比數(shù)列”.若數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列，則數(shù)列{bn}________（填“是”或“不是”）“和等比數(shù)列”. 9.某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)科研人員，第1名得全部資金的一半多一萬元，第2名得剩下的一半多一萬元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬元，到第10名恰好資金分完，則此科研單位共拿出________萬元資金進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)． 三、解答題（每小題15分，共30分） 10.（預(yù)測題）已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為60,且a6為a1和a21的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*)，且b1=3，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 11.（預(yù)測題）設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,…)是等差數(shù)列，且公差為d,若數(shù)列{an}中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”. (1)若a1=4,d=2，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”. （2）若an=2n-7(n∈N*),試判斷數(shù)列{an}是否是“封閉數(shù)列”，為什么？ （3）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若公差d=1,a1＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使若存在，求{an}的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由. 【探究創(chuàng)新】 （16分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對一切正整數(shù)n,點(diǎn)Pn(n,Sn)都在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，且在點(diǎn)Pn(n,Sn)處的切線的斜率為kn. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 答案解析 1.【解析】選D.∵數(shù)列{(-1)n}是首項(xiàng)與公比均為-1的等比數(shù)列, ∴. 2．【解題指南】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，｛｝仍然是等差數(shù)列，所以利用等差數(shù)列的求和公式求解即可. 【解析】選C.由題意知{}也為等差數(shù)列，所以{an＋bn}的前20項(xiàng)和為： 3．【解析】選B. = ∴∴n+2＞26,∴n＞62. 又n∈N*，∴n有最小值63. 4.【解析】選C.由a2·a3=a1·a4=2a1得a4=2, 又a4+2a7=,∴a7=, 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a7=, ∴,∴q=,a1=16, ∴. 5.【解析】選C.應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得 an=a1+n-1,bn=b1+n-1, ∴ , ∴數(shù)列也是等差數(shù)列，且前10項(xiàng)和為. 【方法技巧】構(gòu)造等差數(shù)列求解 在等差數(shù)列相關(guān)問題中，有些數(shù)列不能直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，但是通過對數(shù)列變形可以構(gòu)造成等差數(shù)列. （1）由遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列 一般是從研究遞推公式的特點(diǎn)入手，如遞推公式an+1=2an+3·2n+1的特點(diǎn)是除以2n+1就可以得到下標(biāo)和指數(shù)相同了，從而構(gòu)造成等差數(shù)列{}. （2）由前n項(xiàng)和Sn構(gòu)造等差數(shù)列. （3）由并項(xiàng)、拆項(xiàng)構(gòu)造等差數(shù)列. 6.【解題指南】解答本題首先要搞清條件“”及“Sn有最大值”如何使用，從而列出關(guān)于a1,d的不等式組，求出的取值范圍，進(jìn)而求出使得Sn＜0的n的最小值. 【解析】選C.方法一：由題意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0, 由得. ∵ 由Sn=0得n=0或 ∵ ∴Sn＜0的解集為{n∈N*|} 故使得Sn＜0的n的最小值為20. 方法二：由題意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0, 由a10＞0知S19＞0,由a11＜0知S21＜0, 由a10+a11＜0知S20＜0,故選C. 7.【解析】, ∴ 解得n=6. 答案：6 8.【解題指南】解決本題的關(guān)鍵是正確理解“和等比數(shù)列”的定義，然后求解. 【解析】數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列，所以 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=n2,T2n=4n2,所以=4,因此數(shù)列{bn}是“和等比數(shù)列”. 答案：是 9.【解析】設(shè)第10名到第1名得到的獎(jiǎng)金數(shù)分別是a1,a2,…,a10, 則 則 即an=2an-1, 因此每人得的獎(jiǎng)金額組成以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列， 所以 答案：2 046 10.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0), 則 解得∴an=2n+3. (2)由bn+1-bn=an, ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*)， bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+2) 當(dāng)n=1時(shí)，b1=3也適合上式, ∴bn=n(n+2)(n∈N*). ∴ . 11.【解析】(1)an=4+(n-1)·2=2n+2, 對任意的m,n∈N*,有am+an=(2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2, ∵m+n+1∈N*于是，令p=m+n+1,則有ap=2p+2∈{an}. (2)∵a1=-5,a2=-3,∴a1+a2=-8,令an=a1+a2=-8,即2n-7=-8解得n=-,所以數(shù)列{an}不是封閉數(shù)列. （3）由{an}是“封閉數(shù)列”，得：對任意m,n∈N*，必存在p∈N*使a1+(n-1)+a1+(m-1) =a1+(p-1)成立，于是有a1=p-m-n+1為整數(shù)， 又∵a1＞0,∴a1是正整數(shù). 若a1=1,則所以不符合題意， 若a1=2,則所以 =而 所以符合題意， 若a1=3,則所以 = 綜上所述，a1=2時(shí)存在數(shù)列{an}是“封閉數(shù)列”，此時(shí)an=n+1(n∈N*). 【探究創(chuàng)新】 【解題指南】(1)將點(diǎn)Pn代入函數(shù)f(x)后，利用Sn與an的關(guān)系，求得an; (2)先求f(x)在點(diǎn)Pn處的斜率kn，代入bn后利用錯(cuò)位相減法求出Tn. 【解析】 (1)∵點(diǎn)Pn(n,Sn)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上， ∴Sn=n2+2n(n∈N*) 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+1, 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3滿足上式， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1. (2)由f(x)=x2+2x,求導(dǎo)得f′(x)=2x+2. ∵在點(diǎn)Pn(n,Sn)處的切線的斜率為kn, ∴kn=2n+2, ∴bn= ∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n, 用錯(cuò)位相減法可求得 【變式備選】已知等差數(shù)列{an}滿足：an+1＞an(n∈N*),a1=1,該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1，1，3后順次成為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng). (1)分別求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式an,bn. (2)設(shè)(n∈N*),若＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值. 【解析】(1)設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的公差與公比. 由題意知，a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分別加上1,1,3后得2,2+d,4+2d是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng), ∴(2+d)2=2(4+2d)?d=±2. ∵an+1＞an,∴d＞0. ∴d=2,∴an=2n-1(n∈N*). 由此可得b1=2,b2=4,q=2,[ ∴bn=2n(n∈N*). (2)Tn= ① 當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n≥2時(shí)， ② ①-②，得. ∴ ∴ ∵(3-)∈［2,3)， ∴滿足條件(c∈Z)恒成立的c的最小整數(shù)值為3.