（福建專用）2013年高考數(shù)學總復習 第三章第7課時 正弦定理和余弦定理課時闖關（含解析）

（福建專用）2013年高考數(shù)學總復習 第三章第7課時 正弦定理和余弦定理課時闖關（含解析） 一、選擇題 1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB＝(　　) A．－　　　　　　　　　 B. C．－ D. 解析：選D.由正弦定理得＝， ∴sinB＝＝＝. ∵a>b，A＝60°，∴B為銳角． ∴cosB＝＝＝. 2．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，則△ABC是(　　) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形 解析：選A.∵2c2＝2a2＋2b2＋ab， ∴a2＋b2－c2＝－ab， ∴cosC＝＝－<0，即90°<C<180°. ∴△ABC是鈍角三角形．故選A. 3．(2012·福州調(diào)研)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，則＝(　　) A．2 B．2 C. D. 解析：選D.sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA， 即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA， 故sinB＝sinA，所以＝. 4．在△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°.若該三角形有兩個解，則x的取值范圍是(　　) A．x>2 B．x<2 C．2<x<2 D．2<x<2 解析：選C.由題意得b<a，且b>asinB，所以2<x<2. 5．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由S△ABC＝bcsinA，得＝csin60°，所以c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA， 即a2＝1＋16－2×1×4cos60°＝13，所以a＝， 所以＝＝＝. 二、填空題 6．(2012·廈門質(zhì)檢)在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，則a＝________. 解析：由正弦定理， 有＝ ，∴sinB＝. ∵∠C為鈍角， ∴∠B必為銳角，∴∠B＝， ∴∠A＝.∴a＝b＝1. 答案：1 7．a(chǎn)，b，c分別為角A，B，C的對邊，S為△ABC的面積，且S＝c2－(a－b)2，則tanC＝________. 解析：由余弦定理得S＝c2－(a2＋b2)＋2ab＝－2abcosC＋2ab＝2ab(1－cosC)＝absinC，∴＝， 即tan＝，tanC＝. 答案： 8．在△ABC中，給出下列結(jié)論：其中正確結(jié)論的序號為________． ①若a2>b2＋c2，則△ABC為鈍角三角形； ②若a2＝b2＋c2＋bc，則角A為60°； ③若a2＋b2>c2，則△ABC為銳角三角形； ④若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝1∶2∶3. 解析：在①中，cosA＝<0，所以A為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，故①正確；在②中，b2＋c2－a2＝－bc，所以cosA＝＝－＝－，所以A＝120°，故②不正確；在③中，cosC＝>0，故C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故③不正確；在④中A∶B∶C＝1∶2∶3，故A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝1∶∶2，故④不正確． 答案：① 三、解答題 9．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc. (1)求角A的大?。? (2)若sinB·sinC＝sin2A，試判斷△ABC的形狀． 解：(1)由已知得cosA＝＝＝， 又∠A是△ABC的內(nèi)角，∴A＝. (2)由正弦定理，得bc＝a2， 又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴(b－c)2＝0，即b＝c. ∴△ABC是等邊三角形． 10．△ABC中，a，b，c是A，B，C所對的邊，S是該三角形的面積，且＝－. (1)求∠B的大小； (2)若a＝4，S＝5，求b的值． 解：(1)由＝－?＝－ ?2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC ?2sinAcosB＝－sinBcosC－cosBsinC. ∴2sinAcosB＝－sin(B＋C)?2sinAcosB＝－sinA ?cosB＝－，又0＜B＜π，∴B＝π. (2)由a＝4，S＝5有S＝×4acsinB＝×c×?c＝5， b2＝a2＋c2－2accosB?b2＝16＋25＋2×4×5×?b＝. 一、選擇題 1．已知△ABC為銳角三角形，且B＝2A，求的取值范圍(　　) A．(，) B．(，] C．(，2) D．(，2] 解析：選A.在△ABC中，B＝2A，A＋B＋C＝180°， 所以C＝180°－A－B＝180°－3A<90°，A>30°. 又2A<90°，即A<45°.所以30°<A<45°. 所以<cosA<. 由正弦定理得＝＝＝2cosA，所以<<. 2．若鈍角三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的范圍是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：選B.設△ABC三內(nèi)角為A、B、C，其對邊為a、b、c，且A<B<C，由2B＝A＋C，且A＋B＋C＝180°，可得B＝60°，由已知A<30°，m＝＝＝＝·＋＞2. 另解：(幾何法)如右圖，B＝60°，設AB＝2，角C1＝90°， 則BC1＝1，要使角C為鈍角，只須BC<BC1＝1，即m＝＞2. 二、填空題 3．(2011·高考天津卷改編)如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，則sinC的值為________． 解析：設BD＝2，則AB＝AD＝，BC＝4. 在△ABD中，cos∠ADB＝＝＝，∴sin∠BDC＝＝ ＝. 在△BDC中，由正弦定理得＝， 即sinC＝sin∠BDC＝×＝. 答案： 4．在△ABC中，＝，則∠A＝________. 解析：＝，有·＝， 又∵sinB≠0，∴sinAcosB＝sinCcosA－sinBcosA， ∴sin(A＋B)＝sinCcosA，即sinC＝sinCcosA. 又∵sinC≠0，∴cosA＝. ∴∠A＝45°. 答案：45° 三、解答題 5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋c2－b2＝acsinB. (1)求角B的大小； (2)若b＝且A∈，求邊長c的取值范圍． 解：(1)在△ABC中，根據(jù)余弦定理a2＋c2－b2＝2accosB， ∵a2＋c2－b2＝acsinB， ∴2accosB＝acsinB，∴tanB＝. 又∵0＜B＜π，∴B＝. (2)∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－A－B＝－A. 由正弦定理，得：＝＝＝2. ∴c＝2sinC＝2sin. ∵＜A＜，∴＜－A＜， ∴＜sin＜1， ∴1＜c＜2. 6．在△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量m＝，n＝，且m∥n. (1)求銳角B的大??； (2)如果b＝2，求△ABC的面積S△ABC的最大值． 解：(1)m∥n?2sinB＝－cos2B?2sinBcosB＝－cos2B?tan2B＝－. ∵0＜2B＜π，∴2B＝，∴銳角B＝. (2)由tan2B＝－?B＝或. ①當B＝時，已知b＝2，由余弦定理， 得：4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(當且僅當a＝c＝2時等號成立)， ∵△ABC的面積S△ABC＝acsinB＝ac≤， ∴△ABC的面積最大值為. ②當B＝時，已知b＝2，由余弦定理得： 4＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝(2＋)ac(當且僅當a＝c＝－時等號成立)，∴ac≤4(2－)， ∵△ABC的面積S△ABC＝acsinB＝ac≤2－， ∴△ABC的面積最大值為2－.