2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點熱身訓(xùn)練 2.7冪函數(shù)

2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點熱身訓(xùn)練：2.7冪函數(shù) 一、選擇題(每小題6分，共36分) 1.(2013·西安模擬)已知冪函數(shù)y=f(x)通過點(2,2)，則冪函數(shù)的解析式為 ( ) ()y=2 ()y= ()y= ()y= 2.函數(shù)y=-x2的圖象關(guān)于( ) ()y軸對稱 ()直線y=-x對稱 ()坐標(biāo)原點對稱 ()直線y=x對稱 3.已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，則實數(shù)m的取值范圍是( ) ()(0，+∞) ()(1，+∞) ()(0，1) ()(-∞,0) 4.已知冪函數(shù)f(x)=xm的部分對應(yīng)值如表，則不等式f(|x|)≤2的解集為( ) x 1 f(x) 1 (){x|0<x≤} (){x|0≤x≤4} (){x|－≤x≤} (){x|－4≤x≤4} 5.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(a)＜1，則實數(shù)a的取值范圍是( ) ()(-∞,-3) ()(1，+∞) ()(-3，1) ()(-∞,-3)∪(1,+∞) 6.(2012·漳州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x3,若0≤θ≤時，f(mcosθ)+f(1-m)＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為( ) ()(-∞,1) ()(-∞, ) ()(-∞,0) ()(0,1) 二、填空題(每小題6分，共18分) 7.(2012·武漢模擬)設(shè)x∈(0,1)，冪函數(shù)y=xa的圖象在直線y=x的上方，則實數(shù)a的取值范圍是__________. 8.已知冪函數(shù)f(x)= ，若f(a+1)＜f(10-2a)，則a的取值范圍是_______. 9.當(dāng)0<x<1時，f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小關(guān)系是_______________. 三、解答題(每小題15分，共30分) 10.(2012·寧德模擬)已知函數(shù)f(x)=xm-且f(4)= . (1)求m的值； (2)判定f(x)的奇偶性； (3)判斷f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性，并給予證明. 11.（易錯題）已知點(2，4)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(，4)在冪函數(shù)g(x)的圖象上. (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)問當(dāng)x取何值時有：①f(x)＞g(x); ②f(x)=g(x);③f(x)＜g(x). 【探究創(chuàng)新】 (16分)已知冪函數(shù)y=f(x)= (p∈Z)在(0,+∞)上是增函數(shù)，且是偶函數(shù). (1)求p的值并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x)； (2)對于(1)中求得的函數(shù)f(x)，設(shè)函數(shù)g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)f(x)+1. 試問：是否存在實數(shù)q(q＜0)，使得g(x)在區(qū)間(-∞,-4]上是減函數(shù)，且在(-4，0)上是增函數(shù)；若存在，請求出來，若不存在，說明理由. 答案解析 1.【解析】選.設(shè)y=xα,則由已知得，2=2α, 即=2α,∴α=,∴f(x)= . 2.【解析】選.因為函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，令y=f(x)= -x2, 則f(-x)= -(-x)2=-x2=f(x), ∴f(x)為偶函數(shù)，故選. 3.【解析】選.因為0＜0.71.3＜0.70=1, 1.30.7＞1.30=1, ∴0＜0.71.3＜1.30.7. 又(0.71.3)m＜(1.30.7)m, ∴函數(shù)y=xm在(0,+∞)上為增函數(shù)，故m＞0. 4.【解題指南】由表中數(shù)值，可先求出m的值，然后由函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，得出不等式，求解即可. 【解析】選.由()m=，得m=，∴f(x)= ∴f(|x|)=, 又∵f(|x|)≤2，∴≤2，即|x|≤4, ∴－4≤x≤4． 5.【解題指南】分a＜0,a≥0兩種情況分類求解. 【解析】選.當(dāng)a＜0時，()a-7＜1, 即2-a＜23, ∴a＞-3,∴-3＜a＜0. 當(dāng)a≥0時，＜1,∴0≤a＜1, 綜上可得:-3＜a＜1. 6.【解題指南】求解本題先由冪函數(shù)性質(zhì)知f(x)=x3為奇函數(shù)，且在R上為單調(diào)增函數(shù)，將已知不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m與cosθ的不等式恒成立求解. 【解析】選.因為f(x)=x3為奇函數(shù)且在R上為單調(diào)增函數(shù)， ∴f(mcosθ)+f(1-m)＞0? f(mcosθ)＞f(m-1)? mcosθ＞m-1? mcosθ-m+1＞0恒成立， 令g(cosθ)=mcosθ-m+1, 又0≤θ≤,∴0≤cosθ≤1, 則有：即解得：m＜1. 7.【解析】由冪函數(shù)的圖象知a∈(-∞,1). 答案：(-∞,1) 8.【解析】由于f(x)= 在(0，+∞)上為減函數(shù) 且定義域為(0，+∞)，則由f(a+1)＜f(10-2a)得 解得：3＜a＜5. 答案：(3,5) 9.【解題指南】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出三個函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解. 【解析】畫出三個函數(shù)的圖象易判斷f(x)<g(x)<h(x). 答案:f(x)<g(x)<h(x) 10.【解析】(1)因為f(4)= ,所以4m-=.所以m=1. (2)因為f(x)的定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱, 又f(-x)=-x- =-(x-)=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù). (3)方法一：設(shè)x1＞x2＞0，則f(x1)-f(x2)= x1--(x2-)=(x1-x2)(1+), 因為x1＞x2＞0,所以x1-x2＞0,1+＞0. 所以f(x1)＞f(x2). 所以f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù). 方法二：∵f(x)=x-, ∴f′(x)=1+ ＞0在(0,+∞)上恒成立， ∴f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù). 11.【解析】(1)設(shè)f(x)=xα, ∵點(2，4)在f(x)的圖象上， ∴4=2α，∴α=2，即f(x)=x2. 設(shè)g(x)=xβ,∵點(，4)在g(x)的圖象上， ∴4=()β，∴β=-2，即g(x)=x-2 (2)∵f(x)-g(x)=x2-x-2=x2- = (*) ∴當(dāng)-1＜x＜1且x≠0時，(*)式小于零， 即f(x)＜g(x)； 當(dāng)x=±1時，(*)式等于零，即f(x)=g(x)； 當(dāng)x＞1或x＜-1時，(*)式大于零，即f(x)＞g(x). 因此，①當(dāng)x＞1或x＜-1時，f(x)＞g(x)； ②當(dāng)x=±1時，f(x)=g(x)； ③當(dāng)-1＜x＜1且x≠0時，f(x)＜g(x). 【誤區(qū)警示】本題(2)在求解中易忽視函數(shù)的定義域{x|x≠0}而失誤.失誤原因：將分式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式時，忽視了等價性而致誤. 【探究創(chuàng)新】 【解析】(1)∵冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上是增函數(shù)時,α＞0, ∴-p2+p+＞0,即p2-2p-3＜0,解得-1＜p＜3，又p∈Z,∴p=0,1,2. 當(dāng)p=0時，y=不是偶函數(shù)； 當(dāng)p=1時,f(x)=x2是偶函數(shù)； 當(dāng)p=2時,f(x)=不是偶函數(shù)， ∴p=1，此時f(x)=x2. (2)由(1)得g(x)=-qx4+(2q-1)x2+1,設(shè)x1＜x2,則g(x1)-g(x2)=q()+(2q-1)·()=()[q()-(2q-1)]. 若x1＜x2≤-4,則＜0且＞32, 要使g(x)在(-∞,-4]上是減函數(shù)， 必須且只需q()-(2q-1)＜0恒成立. 即2q-1＞q()恒成立. 由＞32且q＜0， 得q()＜32q， 只需2q-1≥32q成立， 則2q-1＞q()恒成立. ∴當(dāng)q≤-時,g(x)在(-∞,-4]上是減函數(shù),同理可證 當(dāng)q≥-時,g(x)在(-4,0)上是增函數(shù), ∴當(dāng)q=-時,g(x)在(-∞,-4]上是減函數(shù)，在(-4,0)上是增函數(shù).