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1、第五章 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和
一、選擇題
1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前 n項和為Sn，若S3＝9，S5＝20，則a7＋a8＋a9＝( )
A．63 B．45
C．36 D．27
2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a8＝15－a5，則S9等于( )
A．18 B．36
C．45 D．60
3．在等差數(shù)列{an}中，an＜0，a＋a＋2a3a8＝9，那么S10等于( )
A．－9 B．－11
C．－13 D．－15
4．一個首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前6項
2、均為正數(shù)，第7項起為負數(shù)，則它的公差為( )
A．－2 B．－3
C．－4 D．－6
5．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
6．數(shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，則a8＝( )
A．0 B．3
C．8 D．11
二、填空題
7．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝37，則a2＋a4＋a6＋a8＝________.
8．等差數(shù)列
3、{an}前9項的和等于前4項的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________.
9．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＋a5＝13，則a5＋a6＋a7＝________.
三、解答題
10．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a2＋a4＝14，S7＝70.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝，則數(shù)列{bn}的最小項是第幾項？并求出該項的值．
11．設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范圍．
4、
12．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn滿足關(guān)系式2Sn＝Sn－1－()n－1＋2(n≥2，n為正整數(shù))，a1＝.
(1)令bn＝2nan，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)在(1)的條件下，求Sn的取值范圍．
詳解答案
一、選擇題
1．解析：由S3＝9，S5＝20，得d＝1，a1＝2，∴a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝3×9＝27.
答案：D
2．解析：∵{an}為等差數(shù)列，a2＋a8＝15－a5
∴3a5＝15，即a5＝5.
∴S9＝＝9a5＝45.
答案：C
3．解析：由a＋a
5、＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an＜0，
∴a3＋a8＝－3，∴S10＝＝5(a3＋a8)＝5×(－3)＝－15.
答案：D
4．解析：an＝23＋(n－1)d，由題意知，，
即，解得－＜d＜－，
又d為整數(shù)，所以d＝－4.
答案：C
5．解析：依題意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5.
答案：D
6．解析：因為{bn}是等差數(shù)列，且b3＝－2，b10＝12，
故公差d＝＝2.于是b1＝－6，
且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8，
所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋
6、2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.
答案：B
二、填空題
7．解析：依題意得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.
答案：74
8．解析：設(shè){an}的公差為d，由S9＝S4及a1＝1，
得9×1＋d＝4×1＋d，
所以d＝－.又ak＋a4＝0，
所以[1＋(k－1)×(－)]＋[1＋(4－1)×(－)]＝0.
即k＝10.
答案：10
9．解析：由a1＋a6＝a2＋a5得a6＝11.
則a5＋a6＋a7＝3a6＝33.
答案：33
三、解答題
10．解：(1)設(shè)公差為d，則有，
即解
7、得.
所以an＝3n－2.
(2)Sn＝[1＋(3n－2)]＝
所以bn＝＝3n＋－1≥2 －1＝23.
當且僅當3n＝，即n＝4時取等號，
故數(shù)列{bn}的最小項是第4項，該項的值為23.
11．解：(1)由題意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5.
所以a6＝－3－5＝－8，
所以，
解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)因為S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0.
兩邊同乘以8，得16a＋72a1d＋80d2＋8＝0，
化簡得(4a1＋9d)2＝d2－8.
所以d2≥8.
故d的取值范圍
8、為d≤－2或d≥2.
12．解：(1)由2Sn＝Sn－1－()n－1＋2，得2Sn＋1＝Sn－()n＋2，兩式相減得2an＋1＝an＋()n，
上式兩邊同乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1＝bn＋1，所以bn＋1－bn＝1，故數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，
且公差為1，又因為b1＝2a1＝1，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n，因此2nan＝n，從而an＝n·()n.
(2)由于2Sn＝Sn－1－()n－1＋2，所以2Sn－Sn－1＝2－()n－1，即Sn＋an＝2－()n－1，Sn＝2－()n－1－an，而an＝n·()n，所以Sn＝2－()n－1－n·()n＝2－(n＋2)·()n.
所以Sn＋1＝2－(n＋3)·()n＋1，且Sn＋1－Sn＝＞0，所以Sn≥S1＝，又因為在Sn＝2－(n＋2)·()n中，(n＋2)·()n＞0，故Sn＜2，
即Sn的取值范圍是[，2)．
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