（廣東專用）2013高考數(shù)學總復習第二章第十一節(jié) 課時跟蹤訓練 理

課時知能訓練 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，2)　　　　　　　B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 【解析】　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令f′(x)＞0，解得x＞2. 【答案】　D 2．(2012·梅州調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(0，) 【解析】　f′(x)＝3x2－6b，且f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值． ∴f′(x)＝0在(0,1)內(nèi)有解， 易知b＞0且0＜＜1，解之得0＜b＜. 【答案】　D 3．對于在R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－a)f′(x)≥0，則必有(　　) A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a) C．f(x)＞f(a) D．f(x)＜f(a) 【解析】　由(x－a)f′(x)≥0知， 當x＞a時，f′(x)≥0；當x＜a時，f′(x)≤0. ∴當x＝a時，函數(shù)f(x)取得最小值，則f(x)≥f(a)． 【答案】　A 4．(2011·浙江高考)設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，則下列圖象不可能為y＝f(x)的圖象是(　　) 【解析】　設h(x)＝f(x)ex，則 h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex ＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex. 由x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點． 因此ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a. ∴f(x)＝ax2＋bx＋a. 若方程ax2＋bx＋a＝0有兩根x1，x2，則 x1x2＝＝1，D中圖象一定不滿足該條件． 【答案】　D 5．(2012·東莞調(diào)研)函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)＝在區(qū)間(1，＋∞)上一定(　　) A．有最小值 B．有最大值 C．是減函數(shù) D．是增函數(shù) 【解析】　由函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范圍為a＜1， ∴g(x)＝＝x＋－2a，則g′(x)＝1－. 易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)＞0，所以g(x)為增函數(shù)． 【答案】　D 二、填空題 6．已知f(x)＝mx2＋ln x－2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為________． 【解析】　f′(x)＝mx＋－2≥0對一切x＞0恒成立， ∴m≥－()2＋. 令g(x)＝－()2＋＝－(－1)2＋1， 當＝1，即x＝1時，g(x)有最大值1，故m≥1. 【答案】　[1，＋∞) 7．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則f(2)＝________. 【解析】　f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 由題意即 消去b，得a＝4或a＝－3. 但當a＝－3時，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在極值． ∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18. 【答案】　18 8．給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在(0，)上是凸函數(shù)的是________．(把你認為正確的序號都填上) ①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x； ③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex. 【解析】　在定義域(0，)內(nèi)，由f″(x)＝－sin x－cos x＜0，得①是凸函數(shù)； 由f″(x)＝－＜0，得②是凸函數(shù)； 由f″(x)＝－6x＜0，得③是凸函數(shù)； 由f″(x)＝2ex＋xex＞0，得④不是凸函數(shù)． 【答案】?、佗冖? 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1. (1)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍； (2)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由． 【解】　(1)∵f(x)＝ex－ax－1， ∴f′(x)＝ex－a. ∵f(x)在R上單調(diào)遞增 ∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立． ∵x∈R時，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0. (2)由已知f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增可知，f(0)是f(x)的極小值． ∴f′(0)＝e0－a＝0?a＝1，經(jīng)檢驗，a＝1符合要求． ∴存在a＝1滿足條件． 10．(2012·肇慶調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bln x在x＝1處有極值. (1)求a，b的值； (2)判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間． 【解】　(1)f′(x)＝2ax＋，又f(x)在x＝1處有極值. ∴即 解之得a＝且b＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x， 其定義域是(0，＋∞)， 且f′(x)＝x－＝. 當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 極小值  所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)增區(qū)間是(1，＋∞)． 11．設函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)． (1)當a＝1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在(0,1]上的最大值為，求a的值． 【解】　 函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)，f′(x)＝－＋a. (1)當a＝1時，f′(x)＝， 令f′(x)＞0，由于0＜x＜2，得2－x2＞0， ∴0＜x＜，此時函數(shù)f(x)是增函數(shù)． 令f′(x)＜0，由0＜x＜2，得2－x2＜0， ∴＜x＜2，此時，f(x)是減函數(shù)． 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, )，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)． (2)當x∈(0,1]時，f′(x)＝＋a， ∵a＞0. ∴≥0，＋a＞0，f′(x)＞0. 所以，f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增， 故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a， 因此a＝.