2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)熱身訓(xùn)練 2.12定積分

2014年高考一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)熱身訓(xùn)練：2.12定積分 一、選擇題(每小題6分，共36分) 1. （2013·福州模擬)函數(shù)f(x)=x2+2x+m(x,m∈R)的最小值為-1，則f(x)dx等于（ ） (A)2 (B) (C)6 (D)7 2.求曲線y=x2與y=x所圍成圖形的面積，其中正確的是( ) (A)S=(x2-x)dx (B)S=(x-x2)dx (C)S=(y2-y)dy (D)S=(y- )dy 3.若某產(chǎn)品一天內(nèi)的產(chǎn)量是時(shí)間t的函數(shù)，若已知產(chǎn)量的變化率為a=，那么從第3小時(shí)到第6小時(shí)期間內(nèi)的產(chǎn)量為( ) (A) (B)3- (C)6+3 (D)6-3 4.曲線y=sinx與直線x=0、x=、x軸所圍成的圖形的面積為( (A) (B) (C) (D)2 5．求由y=ex,x=2,y=1圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，若選擇x為積分變量，則積分區(qū)間為( ) (A)［0，e2］ (B)［0，2］ (C)［1，2］ (D)［0，1］ 6.給出如下命題： ①dx=dt=b-a(a,b為常數(shù)且a<b)； ②dx=dx= ； ③曲線y=sinx，x∈［0,2π］，與直線y=0圍成的兩個封閉區(qū)域的面積之和為sinxdx.其中真命題的個數(shù)為( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空題(每小題6分，共18分) 7.(2012·許昌模擬)從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為________. 8．(2012·三明模擬)設(shè)y=f(x)為區(qū)間［0,1］上的連續(xù)函數(shù)，且恒有 0≤f(x) ≤1,可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分f(x)dx,先產(chǎn)生兩組(每組N個)區(qū)間［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù)x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N個點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,N),再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得積分f(x)dx的近似值為________. 9．（預(yù)測題）已知t>1,若 (2x+1)dx=t2,則t=__________. 三、解答題(每小題15分，共30分) 10．（易錯題）求曲線y=log2x與曲線y=log2(4-x)以及x軸所圍成的圖形的面積. 11.(2012·佛山模擬)已知y=ax2+bx通過點(diǎn)(1,2),與y=-x2+2x有一個交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1,且a<0.如圖所示: (1)求y=ax2+bx與y=-x2+2x所圍的面積S與a的函數(shù)關(guān)系. (2)當(dāng)a，b為何值時(shí),S取得最小值. 【探究創(chuàng)新】 (16分)在區(qū)間［0,1］上給定曲線y=x2，如圖所示，試在此區(qū)間內(nèi)確定t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小. 答案解析 1. 【解析】選B.f(x)=x2+2x+m=(x+1)2+m-1,最小值為-1，即m-1=-1,∴m=0 2. ∴ 2.【解題指南】根據(jù)定積分的幾何意義，確定積分上、下限和被積函數(shù). 【解析】選B.兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),(1,1)，故積分上限是1，下限是0，由于在［0,1］上，x≥x2，故曲線y=x2與y=x所圍成圖形的面積S=. 3.【解析】選D.所求產(chǎn)量為. 4.【解析】選C.S=. 5．【解析】選B.求出y=ex,x=2,y=1的交點(diǎn)分別為(0,1),(2,1),(2,e2),結(jié)合定積分的幾何意義知，積分區(qū)間為［0，2］. 6.【解析】選B.由定積分的定義知，①不正確；由定積分的幾何意義知,②正確；③中兩個區(qū)域的面積大小相等，用定積分表示時(shí)互為相反數(shù),不正確. 7.【解析】陰影部分的面積為S陰影==1,所以點(diǎn)M取自陰影部分的概率P= ==. 答案： 8．【解題指南】由隨機(jī)模擬想到幾何概型，然后結(jié)合定積分的幾何意義進(jìn)行求解. 【解析】由題意可知，x,y所有取值構(gòu)成的區(qū)域是一個邊長為1的正方形，而滿足yi≤f(xi)的點(diǎn)(xi,yi)落在y=f(x)、y=0以及x=1、x=0圍成的區(qū)域內(nèi)，由幾何概型的計(jì)算公式可知的近似值為. 答案： 9．【解析】 (2x+1)dx=（x2+x）=t2+t-2=t2, ∴t=2. 答案：2 10．【解析】如圖，y=log2x? f(y)=x=2y, y=log2(4-x)? g(y)=x=4-2y, 所求圖形的面積為 S= = =(4y-2×2ylog2e)=4-2log2e. 【方法技巧】求由曲線圍成圖形的面積的一般步驟: (1)根據(jù)題意畫出圖形; (2)找出范圍,確定積分上、下限; (3)確定被積函數(shù); (4)將面積用定積分表示; (5)用微積分基本定理計(jì)算定積分,求出結(jié)果. 【變式備選】求由拋物線y2=8x(y>0)與直線x+y-6=0及y=0所圍成的圖形的面積. 【解析】由題意,作出圖形(如圖所示), 解方程組得或 (舍去), 所以y2=8x(y>0)與直線x+y-6=0的交點(diǎn)為(2,4), 所以所求面積為S=dx+ =× +(6x-x2) =+［(6×6-×62)-(6×2-×22)］ =+8=. 11.【解析】(1)由y=ax2+bx通過點(diǎn)(1,2)可得a+b=2,即b=2-a, 由y=ax2+bx與y=-x2+2x聯(lián)立方程組,解得x1=. 則y=ax2+bx與y=-x2+2x所圍的面積S與a的函數(shù)關(guān)系為 S=［(ax2+bx)-(-x2+2x)］dx =［(ax2+2x-ax)-(-x2+2x)］dx =［(a+1)x3-ax2］ =(a+1)()3-a()2=-. (2)求導(dǎo)可得S′=-· =-·=-· 由S′>0得-3<a<-1,由S′<0得-1<a<0或a<-3, 所以當(dāng)a=-3時(shí)，S取得極小值,即最小值. 此時(shí)b=2-a=5,最小值S(-3)=. 【探究創(chuàng)新】 【解析】面積S1等于邊長為t與t2的矩形的面積去掉曲線y=x2與x軸、直線x=t圍成的面積，即S1=t·t2- =t3.面積S2等于曲線y=x2與x軸、x=t，x=1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2，(1-t)，即 S2= -t2(1-t)= t3-t2+. 所以陰影部分面積S=S1+S2=t3-t2+(0≤t≤1)， 由S′(t)=4t2-2t=4t(t-)=0，得t=0或t=. 經(jīng)驗(yàn)證知，當(dāng)t=時(shí)，S最小.