2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)熱身訓(xùn)練 2.9函數(shù)與方程

2014年高考一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)熱身訓(xùn)練：2.9函數(shù)與方程 一、選擇題(每小題6分，共36分) 1.(2011·福建高考)若關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) (A)(-1，1) (B)(-2，2) (C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞) 2.函數(shù)f(x)=-+log2x的一個(gè)零點(diǎn)落在下列哪個(gè)區(qū)間( ) (A)(0，1) (B)(1，2) (C)(2，3) (D)(3，4) 3.（2013·福州模擬）下列圖象表示的函數(shù)能用二分法求零點(diǎn)的是（ ） 4.（預(yù)測(cè)題）設(shè)函數(shù)f(x)=n-1,x∈［n,n+1),n∈N，函數(shù)g(x)=log2x，則方程f(x)=g(x)的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.(2012·揭陽模擬)若函數(shù)y=()|1-x|+m的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( ) (A)m≤-1 (B)m≥1 (C)-1≤m<0 (D)0<m≤1 6.已知函數(shù)f(x)=()x-log2x，正實(shí)數(shù)a,b,c依次成公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且滿足f(a)·f(b)·f(c)<0，若實(shí)數(shù)d是方程f(x)=0的一個(gè)解，那么下列四個(gè)判斷：①d<a;②d>b;③d<c;④d>c中有可能成立的個(gè)數(shù)為( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空題(每小題6分，共18分) 7.函數(shù)f(x)= 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_______. 8.(2012·衡水模擬)已知函數(shù)f(x)=3x+x-5的零點(diǎn)x0∈［a,b］,且b-a=1,a,b∈N*，則a+b=_________. 9.（易錯(cuò)題）若函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值集合是_________. 三、解答題(每小題15分，共30分) 10.(2012·長(zhǎng)沙模擬)已知y=f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈［0,+∞)時(shí)，f(x)=x2-2x. (1)寫出函數(shù)y=f(x)的解析式； (2)若方程f(x)=a恰有3個(gè)不同的解，求a的取值范圍. 11.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c. (1)若a>b>c且f(1)=0，試證明f(x)必有兩個(gè)零點(diǎn)； (2)若對(duì)x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)= ［f(x1)+f(x2)］有兩個(gè)不等實(shí)根，證明必有一實(shí)根屬于(x1,x2). 【探究創(chuàng)新】 (16分)已知二次函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a (1)判斷命題“對(duì)于任意的a∈R(R為實(shí)數(shù)集)，方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”的真假，并寫出判斷過程； (2)若y=f(x)在區(qū)間(-1，0)及(0，)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍. 答案解析 1.【解析】選C.∵方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，需判別式Δ=m2-4>0，解得m>2或m<-2. 2.【解析】選B.∵f(1)=-1+log21=-1<0, f(2)=-+log22=>0, ∴f(1)·f(2)<0,故選B. 3.【解析】選C.能用二分法求零點(diǎn)，必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào). 4.【解題指南】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解. 【解析】選C.畫出f(x)和g(x)的圖象，如圖所示，從圖中不難看出方程f(x)=g(x)有3個(gè)零點(diǎn). 5.【解析】選C.由已知函數(shù)y=()|1-x|+m有零點(diǎn)，即方程()|1-x|+m=0有解，此時(shí)m=-()|1-x|. ∵|1-x|≥0,∴0<()|1-x|≤1, ∴m∈［-1,0). 6.【解析】選C.由題意，f(x)=()x-log2x在(0,+∞)上是減函數(shù)， ∵正數(shù)a,b,c依次成公差為正數(shù)的等差數(shù)列， ∴a<b<c,∴f(a)>f(b)>f(c), 又f(a)·f(b)·f(c)<0, ∴f(c)<0,又f(d)=0, ∴d<c,③正確， 若f(a)>0,f(b)>0,則a<d,b<d;故②正確. 若f(a)<0,f(b)<0,則a>d,b>d.故①正確. 綜上，有可能成立的為3個(gè). 【變式備選】已知函數(shù)f(x)=()x-log2x,若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)=0的解，且0<x1<x0,則f(x1)( ) (A)恒為正值 (B)等于0 (C)恒為負(fù)值 (D)不大于0 【解析】選A.∵f(x)=()x-log2x在(0，+∞)上為減函數(shù)，并且f(x0)=0,0<x1<x0,∴f(x1)>f(x0)=0. 7.【解題指南】作出函數(shù)f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解. 【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象，從圖象中可知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有4個(gè). 答案：4 8.【解析】由已知x0∈［a,b］,且b-a=1,a,b∈N*， ∴a,b的可能取值為a=1,b=2,或a=2,b=3，… 又f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0， ∴f(1)f(2)<0,故a=1,b=2符合要求. 又∵f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x取大于或等于2的整數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都大于0， ∴a=1,b=2. ∴a+b=1+2=3. 答案：3 9.【解析】當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=4x-1=0，得x=,符合要求. 當(dāng)m≠1時(shí)，依題意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得:m=-3或m=0， ∴m的取值集合是{-3，0，1}. 答案：{-3,0,1} 【誤區(qū)警示】本題求解過程中易忽視m=1而失誤.根據(jù)原式將f(x)誤認(rèn)為二次函數(shù). 10.【解析】(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，-x∈(0,+∞), ∵y=f(x)是奇函數(shù)， ∴f(x)=-f(-x)=-［(-x)2-2(-x)］ =-x2-2x, ∴f(x)= (2)當(dāng)x∈［0,+∞)時(shí)，f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小為-1； 當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值為1. ∴據(jù)此可作出函數(shù)y=f(x)的圖象(如圖所示)，根據(jù)圖象得，若方程f(x)=a恰有3個(gè)不同的解，則a的取值范圍是(-1，1). 11.【證明】(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0. 又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0. 又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根，∴函數(shù)f(x)必有兩個(gè)零點(diǎn). (2)令g(x)=f(x)-［f(x1)+f(x2)］，則g(x1)=f(x1)- ［f(x1)+f(x2)］= , g(x2)=f(x2)- ［f(x1)+f(x2)］ = . ∴g(x1)g(x2)=［］·［］ =- ［f(x1)-f(x2)］2. ∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)g(x2)<0. ∴g(x)=0在(x1,x2)內(nèi)必有一實(shí)根. 即f(x)= ［f(x1)+f(x2)］必有一實(shí)根屬于(x1,x2). 【探究創(chuàng)新】 【解析】(1)“對(duì)于任意的a∈R(R為實(shí)數(shù)集)，方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”是真命題. 依題意：f(x)=1有實(shí)根，即x2+(2a-1)x-2a=0有實(shí)根， ∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0對(duì)于任意的a∈R(R為實(shí)數(shù)集)恒成立，即x2+(2a-1)x-2a=0必有實(shí)根，從而f(x)=1必有實(shí)根. (2)依題意：要使y=f(x)在區(qū)間(-1，0)及(0，)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)， 只需 即 解得.