山西省朔州市平魯區(qū)李林中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)應(yīng)用 理

山西省朔州市平魯區(qū)李林中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)應(yīng)用 理 題型一　一次函數(shù)、二次函數(shù)模型 例1　某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元)． 　 (1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式； (2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn). ①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？ ②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？ 探究提高　(1)在實(shí)際問題中，有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)，構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖像與單調(diào)性求解． (2)有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等．構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖像與單調(diào)性解決． (3)在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí)，一定要注意定義域． 變式訓(xùn)練1用一根長為12 m的鋁合金條做成一個(gè)“目”字形窗戶的框架(不計(jì)損耗)，要使這個(gè)窗戶通過的陽光最充足，則框架的高與寬應(yīng)各為多少？ 題型二　分段函數(shù)模型 例2　為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為 y＝且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，國家將給予補(bǔ)償． (1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？ (2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？ 探究提高　本題的難點(diǎn)是函數(shù)模型是一個(gè)分段函數(shù)，由于月處理量在不同范圍內(nèi)，處理的成本對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式也不同，故此類最值的求解必須先求出每個(gè)區(qū)間內(nèi)的最值，然后將這些區(qū)間內(nèi)的最值進(jìn)行比較確定最值． 變式訓(xùn)練2 某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時(shí)，每噸為1.80元，當(dāng)用水超過4噸時(shí)，超過部分每噸3.00元．某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)． (1)求y關(guān)于x的函數(shù)； (2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi)． 題型三　指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型 例3　某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答以下問題： (1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式； (2)計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)； (3)計(jì)算大約多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年)； (4)如果20年后該城市人口總數(shù)不超過120萬人，年自然增長率應(yīng)該控制在多少？ (參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9) 探究提高　此類增長率問題，在實(shí)際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型y＝N(1＋p)x(其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間)和冪函數(shù)模型y＝a(1＋x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長率，n為時(shí)間)的形式．解題時(shí)，往往用到對(duì)數(shù)運(yùn)算，要注意與已知表格中給定的值對(duì)應(yīng)求解． 變式訓(xùn)練3 已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時(shí)間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)． (1)如果m＝2，求經(jīng)過多少時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度； (2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍． 函數(shù)建模及函數(shù)應(yīng)用問題的一般程序： 第一步：審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系； 第二步：建?！獙⑽淖终Z言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； 第三步：求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論； 第四步：還原——將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義． 第五步：反思回顧——對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)解， 必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對(duì)實(shí)際問題的合理性． 方法與技巧 解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是認(rèn)真審題，讀懂題意，理解問題的實(shí)際背景，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；二是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解答問題，得到數(shù)學(xué)問題中的解，再把結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的答案．