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1、山西省朔州市平魯區(qū)李林中學高三數(shù)學第一輪復習 函數(shù)應用 理
題型一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型
例1 某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元)．
(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).
①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？
②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？
探究提高 (1)在實際問題中，有很多
2、問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)，構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖像與單調(diào)性求解．
(2)有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等．構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖像與單調(diào)性解決．
(3)在解決二次函數(shù)的應用問題時，一定要注意定義域．
變式訓練1用一根長為12 m的鋁合金條做成一個“目”字形窗戶的框架(不計損耗)，要使這個窗戶通過的陽光最充足，則框架的高與寬應各為多少？
題型二 分段函數(shù)模型
例2 為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，新上了
3、把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為
y＝且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為200元，若該項目不獲利，國家將給予補償．
(1)當x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？
(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
探究提高 本題的難點是函數(shù)模型是一個分段函數(shù)，由于月處理量在不同范圍內(nèi)，處理的成本對應的函數(shù)解析式也不同，故此類最值的求解必須先求出每個區(qū)間內(nèi)的最值，然后將這些區(qū)間
4、內(nèi)的最值進行比較確定最值．
變式訓練2 某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元．某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)．
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；
(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費．
題型三 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型
例3 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答以下問題：
(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；
(3)計
5、算大約多少年以后，該城市人口將達到120萬人(精確到1年)；
(4)如果20年后該城市人口總數(shù)不超過120萬人，年自然增長率應該控制在多少？
(參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)
探究提高 此類增長率問題，在實際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型y＝N(1＋p)x(其中N是基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)和冪函數(shù)模型y＝a(1＋x)n(其中a為基礎數(shù)，x為增長率，n為時間)的形式．解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意與已知表格中給定的值對應求解．
變式訓練
6、3 已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．
(1)如果m＝2，求經(jīng)過多少時間，物體的溫度為5攝氏度；
(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．
函數(shù)建模及函數(shù)應用問題的一般程序：
第一步：審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；
第二步：建?！獙⑽淖终Z言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；
第三步：求?！蠼鈹?shù)學模型，得到數(shù)學結(jié)論；
第四步：還原——將用數(shù)學方法得到的結(jié)論還原為實際問題的意義．
第五步：反思回顧——對于數(shù)學模型得到的數(shù)學解， 必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性．
方法與技巧
解答數(shù)學應用題關(guān)鍵有兩點：一是認真審題，讀懂題意，理解問題的實際背景，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；二是靈活運用數(shù)學知識和方法解答問題，得到數(shù)學問題中的解，再把結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案．
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