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1、45分鐘滾動基礎訓練卷(四)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，則a的值為( )
A. B．1
C．－1 D．0
2．曲線y＝x3－2x＋1在點(1，0)處的切線方程為( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
3．[2012·哈爾濱附中月考] 若函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，且b>－a>0，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(－x)的定義域為( )
A．
2、[a，b] B．[－b，－a]
C．[－b，b] D．[a，－a]
4．[2012·銀川一中月考] 過點(0，1)且與曲線y＝在點(3，2)處的切線垂直的直線的方程為( )
A．2x－y＋1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0
D．x－2y＋2＝0
5．設函數(shù)f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
6．[2012·哈爾濱第六中學三模] 函數(shù)y＝f(x)在點(x0，y0)處的切線方程為y＝2x＋1，則 等于( )
A．－4 B．－2
3、
C．2 D．4
7．設f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1處有極值，則下列點中一定在x軸上的是( )
A．(a，b) B．(a，c)
C．(b，c) D．(a＋b，c)
8．[2012·山西四校聯(lián)考] 設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1，1)處的切線與x軸的交點橫坐標為xn，則log2 012x1＋log2 012x2＋…＋log2 012x2011的值為( )
A．－log2 0122 011 B．－1
C．－1＋log2 0122 011 D．1
二、填空題(本大題共3小題，每小題6分，共18分)
9．[2012·福州質(zhì)檢]
4、函數(shù)f(x)＝x3＋ax(x∈R)在x＝1處有極值，則曲線y＝f(x)在原點處的切線方程是________．
10．[2012·課程標準卷] 曲線y＝x(3lnx＋1)在點(1，1)處的切線方程為________．
11．設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為________．
三、解答題(本大題共3小題，每小題14分，共42分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
12．某商品進貨價每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當銷售價格(每件x元)為50＜x≤80時，每天售出的
5、件數(shù)為P＝，若要使每天獲得的利潤最多，銷售價格每件應定為多少元？
13．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax2＋x＋1)．
(1)設a>0，討論f(x)的單調(diào)性；
(2)設a＝－1，證明：對?x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<2.
14．已知函數(shù)f(x)＝ex＋.
(1)當a＝時，求函數(shù)f(x)在x＝0處的切線方程；
(2)當a>1時，判斷方程f(x)＝0實根的個數(shù)．
45分鐘滾動基礎訓練卷(四)
1．B [解析] 因為f′(x)＝2ax，所以f′(1)
6、＝2a＝2，所以a＝1.故選B.
2．A [解析] 因為y′＝3x2－2，切線的斜率為k＝3×12－2＝1，所以切線方程為y＝x－1，故選A.
3．D [解析] 因為函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，且b>－a>0，所以函數(shù)f(－x)的定義域為[－b，－a]，所以g(x)＝f(x)＋f(－x)的定義域為[a，b]∩[－b，－a]＝[a，－a]．故選D.
4．A [解析] y′＝＝，曲線在點(3，2)處的切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝3＝－，所以與該切線垂直的直線的斜率為2，所以所求直線方程為y－1＝2x.故選A.
5．A [解析] 依題意得，g(x)＝x2f(x－1)＝
所以g(x)的遞減
7、區(qū)間為(0，1)．故選A.
6．D [解析] 由導數(shù)的定義得f′(x0)＝ ＝× ＝2，所以 ＝4.
7．A [解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由題意知1，－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0(a≠0)的兩根，∴1－1＝－?b＝0.故選A.
8．B [解析] y′＝(n＋1)xn，曲線在點(1，1)的切線斜率為(n＋1)，切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝，即切線與x軸的交點橫坐標xn＝，所以x1x2…x2 011＝××…×＝，所以log2 012x1＋log2 012x2＋…＋log2 012x2 011＝－1.故選B.
9．3x＋y＝0 [解析] 因為
8、函數(shù)f(x)＝x3＋ax(x∈R)在x＝1處有極值，則f′(1)＝3×12＋a＝0，a＝－3，所求切線的斜率為k＝a＝－3，因此所求切線方程為y＝－3x.
10．y＝4x－3 [解析] y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，故y′|x＝1＝4.故所求切線方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
11．(－∞，－3)∪(0，3) [解析] 由f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0得[f(x)g(x)]′>0，所以F(x)＝f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)．又f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以F(x)＝f(x)g(x)在R上為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)
9、上為增函數(shù)．因為g(－3)＝0，所以F(－3)＝0，F(xiàn)(3)＝0.當x<0時，
f(x)g(x)<0的解集為(－∞，－3)；當x>0時，不等式f(x)·g(x)<0的解集為(0，3)．綜上，不等式的解集為(－∞，－3)∪(0，3)．
12．解：設銷售價格定為每件x元，50＜x≤80，每天獲得的利潤為y元，則y＝(x－50)·P＝，
令x－50＝t，y＝＝
＝≤＝2 500，
所以當且僅當t＝10，即x＝60時，ymax＝2 500.
答：銷售價格每件應定為60元．
13．解：(1)因為f′(x)＝ex(ax2＋x＋1＋2ax＋1)＝ex(x＋2)(ax＋1)．
令f′(x)>0
10、，得(x＋2)(ax＋1)>0，注意到a>0，
所以當a∈0，時，f(x)在－∞，－上遞增，在－，－2上遞減，在(－2，＋∞)上遞增；
當a＝時，f(x)在(－∞，＋∞)上遞增；
當a∈，＋∞時，f(x)在(－∞，－2)上遞增，在－2，－上遞減，在－，＋∞上遞增．
(2)證明：因為a＝－1，由(1)，f′(x)＝－ex(x＋2)(x－1)，
所以f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，
故f(x)在[0，1]的最大值為f(1)＝e，最小值為f(0)＝1.
從而對任意x1，x2∈[0，1]，有|f(x1)－f(x2)|≤e－1<2.
14．解：(1)f(x)＝ex＋，f′(x)＝ex－，
11、f′(0)＝1－.
當a＝時，f′(0)＝－3.又f(0)＝－1.
所以f(x)在x＝0處的切線方程為y＝－3x－1.
(2)函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，a)∪(a，＋∞)．
當x∈(a，＋∞)時，ex>0，>0，所以f(x)＝ex＋>0.
即f(x)在區(qū)間(a，＋∞)上沒有實數(shù)根．
當x∈(－∞，a)時，f(x)＝ex＋＝，
令g(x)＝ex(x－a)＋1.
只要討論g(x)＝0根的個數(shù)即可．
g′(x)＝ex(x－a＋1)，g′(a－1)＝0.
當x∈(－∞，a－1)時，g′(x)<0，g(x)是減函數(shù)；
當x∈(a－1，a)時，g′(x)>0，g(x)是增函數(shù)．
所以g(x)在區(qū)間(－∞，a)上的最小值為g(a－1)＝1－ea－1.
因為a>1時，g(a－1)＝1－ea－1<0，所以g(x)＝0有兩個實根，即f(x)＝0有兩個實根．
（安徽專用）2014屆高考數(shù)學一輪復習方案 滾動基礎訓練卷（4） 文 （含解析）
