2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 三角函數(shù)2 理

高考中三角函數(shù)的解題策略與考試趨勢(shì) 摘要：近年來(lái),三角函數(shù)試題在高考中所占的比例基本穩(wěn)定在12%左右,并且大部分試題為基礎(chǔ)題和中檔題.以近5年各地區(qū)高考題為例，三角函數(shù)一般會(huì)作為一道客觀題和一道主觀題。本文主要總結(jié)三角函數(shù)的各種考查題型和解題思路以及它的考試趨勢(shì)。 關(guān)鍵詞：三角函數(shù)，高考解題策略，考試趨勢(shì) Abstract：In recent years, the proportion of of Trigonometric questions in the College entrance examination is basically stable at around 12%,and most of the questions are basic questions and mid-range question.Take the nearly five years of the college entrance examination questions about the various regions for example.The trigonometric functions normally be used as an objective questions and a subjective question.This article summarized the main kinds of questions about the trigonometric and problem-solving ideas and its examination trends. Keywords: The trigonometric functions, The university entrance exam problem-solving strategies, examination trends 1﹒引言 三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，是高考的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)。其考點(diǎn)主要包括: 同角三角關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，三角形中的三角函數(shù)，三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用。 一般設(shè)計(jì)為一道客觀題，一道解答題，約占總分的12% ，多數(shù)是中低檔題。近幾年高考已逐步拋棄了對(duì)復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查、對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查上來(lái)。在考查三角公式進(jìn)行恒等變形的同時(shí)也直接考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換，降低了對(duì)三角函數(shù)恒等變形的要求，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的考查力度。 2.高考中三角函數(shù)考察的題型 2.1三角函數(shù)化簡(jiǎn)與求值 關(guān)于三角函數(shù)的求值，一般是先運(yùn)用它的公式化簡(jiǎn)再求值，公式包括二倍角公式，兩角和與差的三角函數(shù)公式，和差化積公式，積化和差公式，正弦定理和余弦定理等。 例1 △ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．己知 A-C=90°，a+c=b，求C．（2011年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷） 解：由及正弦定理可得 又由于 故 因?yàn)椋? 所以 例2在中，已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 解（Ⅰ）在中，，由正弦定理，得 ． 所以． （Ⅱ）因?yàn)?，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是 ， ． 解析：本種類(lèi)型題主要考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。所以，在對(duì)于這種直接運(yùn)算化簡(jiǎn)的題目，必須記住有關(guān)于三角函數(shù)的有關(guān)公式，主要有： 二倍角公式 ： ; 　 兩角和與差的三角函數(shù)公式 : 和差化積公式： 　　 積化和差公式： 正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.則有 :（R為三角形外接圓的半徑） 　?。?）已知三角形的兩角與一邊，解三角形。 　?。?）已知三角形的兩邊和其中一邊所對(duì)的角，解三角形 　?。?）運(yùn)用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 。 直角三角形的一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做這個(gè)角的正弦。 余弦定理：對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質(zhì) 　 2.2三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 主要包括三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)、函數(shù)、 及的圖象及其性質(zhì)。關(guān)鍵是理解并掌握三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)、三角函數(shù)圖象的變換。 1．三角函數(shù)的圖象及性質(zhì) (1) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象 函數(shù) 性質(zhì) 圖像 定義域 值域 最值 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 既無(wú)最大值也無(wú)最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在 上是增函數(shù)；在 上是減函數(shù) 在 上是增函數(shù)；在 上是減函數(shù) 在 上是增函數(shù) 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)中心 對(duì)稱(chēng)軸 對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸 對(duì)稱(chēng)中心 無(wú)對(duì)稱(chēng)軸 2．理解函數(shù)圖像中是由函數(shù)怎么變換來(lái)的，當(dāng)取不同值的時(shí)候，對(duì)圖像的影響。 由函數(shù)的圖像到圖像的步驟。 得到在上的圖像 得到在某周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖 得到在某周期的簡(jiǎn)圖 畫(huà)出在[0,2 π] 的簡(jiǎn)圖 步驟5 步驟4 步驟3 步驟2 步驟1 沿x軸 平行移動(dòng) 得到在某周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖 橫坐標(biāo) 伸長(zhǎng)或縮短 縱坐標(biāo) 伸長(zhǎng)或縮短 沿x軸 擴(kuò)展 3.對(duì)于函數(shù)中未知數(shù)的求值，要記得幾個(gè)公式。 ,為值域。 例3：右圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖像，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將的圖象上所有的點(diǎn)（） (A)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變； (B) 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變； (C) 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變； (D) 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變。 解析：從圖中可以得出。所以根據(jù)函數(shù) 的圖像到圖像的步驟便可知選擇答案. 例4：已知函數(shù)，其中的最小正周期為，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，則（ ） A．在區(qū)間上是增函數(shù); B．在區(qū)間上是增函數(shù); C．在區(qū)間上是減函數(shù); D．在區(qū)間上是減函數(shù); 解析：本種類(lèi)型題主要考察有關(guān)的圖像及圖的畫(huà)法。熟記與之間的關(guān)系.同時(shí)記住和的取值對(duì)于圖像的影響。一般地，函數(shù) , 的圖像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲線上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右 (當(dāng)時(shí))平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)時(shí)）的原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)時(shí)）或縮短 （當(dāng)時(shí)）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）。同時(shí)會(huì)利用周期用五點(diǎn)法作圖，以及給了圖像可以從中找出的值。 2.3解三角形 三角形中的三角函數(shù)關(guān)系式歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生更加深刻理解正弦和余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧。 例5在中，角所對(duì)的邊分別為a,b,c． 已知且． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值； （Ⅱ）若角為銳角，求p的取值范圍； （I）解：由題設(shè)并利用正弦定理，得 解得 （II）解：由余弦定理， 因?yàn)椋? 由題設(shè)知 例6如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？ 解：由題意知海里， 在中，由正弦定理得 =（海里）， 又海里， 在中，由余弦定理得 = 30（海里），則需要的時(shí)間（小時(shí)）。 答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)。 解析：本種類(lèi)型題主要考察的內(nèi)容為三角函數(shù)中的正弦余余弦定理，在這類(lèi)題中要考慮角的取值范圍，以及邊的取值范圍。對(duì)于解斜三角形，已知三個(gè)已知量要會(huì)運(yùn)用正弦和余弦定理，求出其他三個(gè)未知量的值。 3.三角函數(shù)常見(jiàn)的錯(cuò)解 在解三角函數(shù)的時(shí)候，同學(xué)們或多或少的都會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤． 對(duì)高中生來(lái)說(shuō)，這部分內(nèi)容雖然公式較多，但規(guī)律性較強(qiáng)，因而學(xué)生容易掌握。同時(shí)，我們可以充分利用單位圓和三角函數(shù)圖象來(lái)學(xué)習(xí)三角函數(shù)性質(zhì)，并解決與三角函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想．現(xiàn)在就三角函數(shù)及其相關(guān)問(wèn)題中易錯(cuò)現(xiàn)象進(jìn)行歸納和分析，以糾正學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)中的誤區(qū)。 誤區(qū)主要包括幾個(gè)方面。 第一，對(duì)于三角函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)不清晰，容易忽視定義域。 例3.1求函數(shù)的值域。 錯(cuò)解：設(shè)，， 則，故。 因?yàn)?，所以? 剖析：上面解法中忽略了對(duì)定義域及變量t取值范圍的討論，由，得，進(jìn)而，故所求函數(shù)的值域應(yīng)為。 第二，忽視相位變換所針對(duì)的對(duì)象。 例3.2已知 錯(cuò)解：由題設(shè)條件得 又則 解得 剖析：上面解法是在的前提下而求的，事實(shí)上，已知條件中含有的情況，此時(shí)也滿足題意，三角變換應(yīng)注意等價(jià)性，不能隨意擴(kuò)大或縮小角的范圍。 第三，忽視周期性。 例6 求函數(shù)的最小正周期 錯(cuò)解 ,即函數(shù)的最小正周期為。 辨析 若有意義，根據(jù)周期函數(shù)的定義只應(yīng)有成立。然而根本無(wú)意義，故不是其周期，錯(cuò)解是由于忽視對(duì)周期函數(shù)的定義的準(zhǔn)確的理解產(chǎn)生的 第四，忽視題目中的隱含條件。 例3.3若，求的取值范圍。 錯(cuò)解： ， 又，所以。 剖析：上面解題時(shí)忽略了條件中隱含的角的范圍限制， ，解得， 所以是錯(cuò)誤的，故 4.高考中三角函數(shù)的考試趨勢(shì) 近幾年高考已逐步拋棄了對(duì)復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查, 而重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查, 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查上來(lái). 在考查三角公式進(jìn)行恒等變形的同時(shí), 也直接考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換, 降低了對(duì)三角函數(shù)恒等變形的要求, 加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的考查力度。在2011年的高考題中大多不在單一的考察關(guān)于三角函數(shù)的公式，而是與三角形結(jié)合起來(lái)考察，運(yùn)用正弦和余弦定理找尋三角函數(shù)與三角形之間的關(guān)系，一般求解圍三角形的面積或者是其中某個(gè)未知數(shù)的值，在考慮三角形中的三角函數(shù)要考慮三角函數(shù)中的角在三角形中的取值范圍，懂得舍角。同樣的，在其他省份高考題中有關(guān)于三角函數(shù)的題目主要有求最值和利用圖像解三角函數(shù)。 4.1 求最值 求三角函數(shù)的最值是研究三角函數(shù)性質(zhì)的重要手段之一，也是高考的?？键c(diǎn)。求三角函數(shù)的最值，常用方法如下： 1.形如型，利用三角輔助角公式 來(lái)完成。 例4.1若函數(shù)，則f()的最大值為( ) A、1 B、2 C、 D、 分析：將切化弦，化簡(jiǎn)成型。 解： 因?yàn)?，所以時(shí)，f()取最大值2，故選. 2.形如型，通過(guò)二倍角公式轉(zhuǎn)化成型，再利用三角輔助角公式來(lái)完成。 例4.2求函數(shù)的最小值、最大值及最小值、最大值時(shí)的集合。 解法1： 解法2： 評(píng)注：兩種解法分別運(yùn)用了不同的三角變換，但殊途同歸，都是利用的有界性求值，顯然這是一種求三角函數(shù)最值的基本方法。 3.形如型， 令sinx=t或cosx=t,轉(zhuǎn)化成的二次函數(shù)型。 例4.3已知函數(shù)。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值和最小值。 解：（I） （II） = =, 因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取最大值6； 當(dāng)時(shí)，取最小值。 4.形如型，可利用分離常數(shù)法或來(lái)解決 例4.4函數(shù) 解析1： 故選C. 解析2：由得 即 解得 故選 5.型如可利用斜率公式或分離常數(shù)來(lái)解決。 分析：（1）可通過(guò)恒等變形，變成的形式，再利用來(lái)解決， （2）結(jié)合函數(shù)式點(diǎn)特點(diǎn)及直線的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合而確定最值。 例4.5 求函數(shù)的最大值和最小值。 分析：（1）可通過(guò)恒等變形，變成的形式，再利用來(lái)解決， （2）結(jié)合函數(shù)式點(diǎn)特點(diǎn)及直線的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合而確定最值。 解析1：原函數(shù)變形為 解得 即 解析2：可看作是定點(diǎn)（2,2）與單位圓上的 點(diǎn)（cosx,sinx）的連線的斜率，依據(jù)圖形可知，當(dāng)連線與圓相切時(shí) 取得最值，解得 評(píng)注： 通過(guò)適當(dāng)?shù)娜亲儞Q，結(jié)合化歸和轉(zhuǎn)化，應(yīng)用函數(shù)和方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想，是解決三角函數(shù)最值問(wèn)題的有效辦法。 4.2 圖像 在三角函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中,經(jīng)常會(huì)遇到給定一段圖像確定三角函數(shù)解析式的問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題主要用“五點(diǎn)作圖法”來(lái)確定其中的系數(shù),其中A。由圖像往往比較容易確定,甲值的確定比較困難,一般用“起始點(diǎn)法”、“最值法”、“待定系數(shù)法”等來(lái)確定。 例：某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的處，并以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)小時(shí)與輪船相遇． （1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ （2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由． 解：（1）如圖設(shè)小艇的速度為，時(shí)間為相遇， 則由余弦定理得： 即=400+900-1200tcos600=900t2-600t+400= 當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，。 （2）要用時(shí)最小，則首先速度最高，即為：30海里/小時(shí)，則由（1）可得： 即： 解得：，此時(shí) 此時(shí)，在△OAB中，，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇． 本題主要考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，主要涉及了余弦定理，二次函數(shù)法求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想． 5 結(jié)語(yǔ) 對(duì)于高考中三角函數(shù)的解題策略與考試趨勢(shì)，大多為熟記三角函數(shù)的有關(guān)公式，圖像以及定義。近年來(lái)，各省市自治區(qū)考三角函數(shù)的趨勢(shì)逐漸與幾何圖形，三角應(yīng)用題和在三角形中解三角函數(shù)，主要考察正弦和余弦定理的應(yīng)用，對(duì)于2012年各地?cái)?shù)學(xué)理科高考題關(guān)于三角函數(shù)的考察，我覺(jué)得會(huì)與生活中應(yīng)用的圖象結(jié)合，考察三角應(yīng)用題，使用正弦與余弦定理來(lái)解題。同樣的對(duì)于客觀題，函數(shù)的圖像以及圖像的畫(huà)法會(huì)比較重要，可能會(huì)考圖像的變換，若要加重難度就是將函數(shù)圖像的起點(diǎn)改變，從而迷惑考生，因此，考生在做相關(guān)題目時(shí)要注意好圖像中給的信息，不要當(dāng)成起始點(diǎn)從原點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算。 參考文獻(xiàn) [1] 曹吉龍 .例析三角函數(shù)問(wèn)題的幾種別解方法[J].《新課程學(xué)習(xí)(學(xué)術(shù)教育)》,2011年,第1期 ：132～133. 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