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《離散數(shù)學(xué)》試題及答案
一、填空題
1 設(shè)集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 則A - B= {3} ; r(A) - r(B)= {3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .
2. 設(shè)有限集合A, |A| = n, 則 |r(A×A)| = .
3. 設(shè)集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 則從A到B的所有映射是a1= {(a,1), (b,1)}, a2= {(a,2), (b,2)},a3= {(a,1), (b,2)}, a4= {(a,2), (b,1)}, 其中雙射的是 a3, a4 .
4. 已知命題公式G=Ø(P®Q)∧R,則G的主析取范式是 (P∧ØQ∧R)
5.設(shè)G是完全二叉樹(shù),G有7個(gè)點(diǎn),其中4個(gè)葉點(diǎn),則G的總度數(shù)為 12 ,分枝點(diǎn)數(shù)為 3 .
6 設(shè)A、B為兩個(gè)集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 則從AÇB= {4} ; AÈB={1,2,3,4};
A-B= {1,2} .
7. 設(shè)R是集合A上的等價(jià)關(guān)系,則R所具有的關(guān)系的三個(gè)特性是 自反性 , 對(duì)稱性
傳遞性 .
8. 設(shè)命題公式G=Ø(P®(QÙR)),則使公式G為真的解釋有 (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)
9. 設(shè)集合A={1,2,3,4}, A上的關(guān)系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 則 R1·R2 = {(1,3),(2,2),(3,1)} , R2·R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _ R12 = {(2,2),(3,3).
10. 設(shè)有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 則| |r(A´B)| = .
11 設(shè)A,B,R是三個(gè)集合,其中R是實(shí)數(shù)集,A = {x | -1≤x≤1, xÎR}, B = {x | 0≤x < 2, xÎR},則A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, xÎR} ,
A∩B = {x | 0≤x≤1, xÎR} , .
13. 設(shè)集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除關(guān)系,則R以集合形式(列舉法)記為
{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .
14. 設(shè)一階邏輯公式G = "xP(x)®$xQ(x),則G的前束范式是 $x(ØP(x)∨Q(x)) .
15.設(shè)G是具有8個(gè)頂點(diǎn)的樹(shù),則G中增加 21 條邊才能把G變成完全圖。(完全圖的邊數(shù),樹(shù)的邊數(shù)為n-1)
16. 設(shè)謂詞的定義域?yàn)閧a, b},將表達(dá)式"xR(x)→$xS(x)中量詞消除 ,寫成與之對(duì)應(yīng)的命題公式是_ (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) _.
17. 設(shè)集合A={1, 2, 3, 4},A上的二元關(guān)系R={(1,1),(1,2),(2,3)}, S={(1,3),(2,3),(3,2)}。則R×S= {(1, 3),(2, 2)} ,
R2= {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
二、選擇題
1 設(shè)集合A={2,{a},3,4},B = {{a},3,4,1},E為全集,則下列命題正確的是( C )。
(A){2}ÎA (B){a}ÍA (C)ÆÍ{{a}}ÍBÍE (D){{a},1,3,4}ÌB.
2 設(shè)集合A={1,2,3},A上的關(guān)系R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)},則R不具備( D ).
(A)自反性 (B)傳遞性 (C)對(duì)稱性 (D)反對(duì)稱性
1
2
3
4
5
6
3 設(shè)半序集(A,≤)關(guān)系≤的哈斯圖如下所示,若A的子集B = {2,3,4,5},則元素6為B的( B )。
(A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不對(duì)
4 下列語(yǔ)句中,( B )是命題。
(A)請(qǐng)把門關(guān)上 (B)地球外的星球上也有人
(C)x + 5 > 6 (D)下午有會(huì)嗎?
5 設(shè)I是如下一個(gè)解釋:D={a,b},
則在解釋I下取真值為1的公式是( D ).
(A)$x"yP(x,y) (B)"x"yP(x,y) (C)"xP(x,x) (D)"x$yP(x,y).
6. 若供選擇答案中的數(shù)值表示一個(gè)簡(jiǎn)單圖中各個(gè)頂點(diǎn)的度,能畫出圖的是( C ).
(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).
7. 設(shè)G、H是一階邏輯公式,P是一個(gè)謂詞,G=$xP(x), H="xP(x),則一階邏輯公式G®H是( C ).
(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可滿足的 (D)前束范式.
8 設(shè)命題公式G=Ø(P®Q),H=P®(Q®ØP),則G與H的關(guān)系是( A )。
(A)GÞH (B)HÞG (C)G=H (D)以上都不是.
9 設(shè)A, B為集合,當(dāng)( D )時(shí)A-B=B.
(A)A=B (B)AÍB (C)BÍA (D)A=B=Æ.
10 設(shè)集合A = {1,2,3,4}, A上的關(guān)系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 則R具有( B )。
(A)自反性 (B)傳遞性 (C)對(duì)稱性 (D)以上答案都不對(duì)
11 下列關(guān)于集合的表示中正確的為( B )。
(A){a}Î{a,b,c} (B){a}Í{a,b,c} (C)ÆÎ{a,b,c} (D){a,b}Î{a,b,c}
12 命題"xG(x)取真值1的充分必要條件是( A ).
(A) 對(duì)任意x,G(x)都取真值1. (B)有一個(gè)x0,使G(x0)取真值1.
(C)有某些x,使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不對(duì).
13. 設(shè)G是連通平面圖,有5個(gè)頂點(diǎn),6個(gè)面,則G的邊數(shù)是( A ).
(A) 9條 (B) 5條 (C) 6條 (D) 11條.
14. 設(shè)G是5個(gè)頂點(diǎn)的完全圖,則從G中刪去( A )條邊可以得到樹(shù).
(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.
15. 設(shè)圖G的相鄰矩陣為,則G的頂點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)分別為( D ).
(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.
三、計(jì)算證明題
1.設(shè)集合A={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12},R為整除關(guān)系。
(1) 畫出半序集(A,R)的哈斯圖;
(2) 寫出A的子集B = {3,6,9,12}的上界,下界,最小上界,最大下界;
(3) 寫出A的最大元,最小元,極大元,極小元。
解:(1)
(2) B無(wú)上界,也無(wú)最小上界。下界1, 3; 最大下界是3
(3) A無(wú)最大元,最小元是1,極大元8, 12, 9; 極小元是1
2. 設(shè)集合A={1, 2, 3, 4},A上的關(guān)系R={(x,y) | x, yÎA 且 x ³ y}, 求
(1) 畫出R的關(guān)系圖;
(2) 寫出R的關(guān)系矩陣.
解:(1) (2)
3. 設(shè)R是實(shí)數(shù)集合,s,t,j是R上的三個(gè)映射,s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) = x/4,試求復(fù)合映射s?t,s?s, s?j, j?t,s?j?t.
解:
(1)s?t=s(t(x))=t(x)+3=2x+3=2x+3.
(2)s?s=s(s(x))=s(x)+3=(x+3)+3=x+6,
(3)s?j=s(j(x))=j(luò)(x)+3=x/4+3,
(4)j?t=j(luò)(t(x))=t(x)/4=2x/4 = x/2,
(5)s?j?t=s?(j?t)=j(luò)?t+3=2x/4+3=x/2+3.
▲4. 設(shè)I是如下一個(gè)解釋:D = {2, 3},
a
b
f (2)
f (3)
P(2, 2)
P(2, 3)
P(3, 2)
P(3, 3)
3
2
3
2
0
0
1
1
試求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
(2) "x$y P (y, x).
解:
(1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))
= P(3, 2)∧P(2, 3)
= 1∧0
= 0.
(2) "x$y P (y, x) = "x (P (2, x)∨P (3, x))
= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3))
= (0∨1)∧(0∨1)
= 1∧1
= 1.
5. 設(shè)集合A={1, 2, 4, 6, 8, 12},R為A上整除關(guān)系。
(1) 畫出半序集(A,R)的哈斯圖;
(2) 寫出A的最大元,最小元,極大元,極小元;
(3) 寫出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界,下界,最小上界,最大下界.
解:(1) (2)無(wú)最大元,最小元1,極大元8, 12; 極小元是1.
(3) B無(wú)上界,無(wú)最小上界。下界1, 2; 最大下界2.
6. 設(shè)命題公式G = Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R)), 求G的主析取范式。
解:
G = Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R))
= Ø(ØP∨Q)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧ØQ)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧ØQ)∨(Q∧P)∨(Q∧R)
= (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
= (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)
= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).
7. (9分)設(shè)一階邏輯公式:G = ("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x),把G化成前束范式.
解:
G = ("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x)
= Ø("xP(x)∨$yQ(y))∨"xR(x)
= (Ø"xP(x)∧Ø$yQ(y))∨"xR(x)
= ($xØP(x)∧"yØQ(y))∨"zR(z)
= $x"y"z((ØP(x)∧ØQ(y))∨R(z))
9. 設(shè)R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元關(guān)系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},
(1) 求出r(R), s(R), t(R);
(2) 畫出r(R), s(R), t(R)的關(guān)系圖.
解:(1)
r(R)=R∪IA={(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},
s(R)=R∪R-1={(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},
t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)};
(2)關(guān)系圖:
11. 通過(guò)求主析取范式判斷下列命題公式是否等價(jià):
(1) G = (P∧Q)∨(ØP∧Q∧R)
(2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R))
解:
G=(P∧Q)∨(ØP∧Q∧R)
=(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
=m6∨m7∨m3
=å (3, 6, 7)
H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R))
=(P∧Q)∨(Q∧R))∨(ØP∧Q∧R)
=(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
=(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=m6∨m3∨m7
G,H的主析取范式相同,所以G = H.
13. 設(shè)R和S是集合A={a, b, c, d}上的關(guān)系,其中R={(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}, S={(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}.
(1) 試寫出R和S的關(guān)系矩陣;
(2) 計(jì)算R?S, R∪S, R-1, S-1?R-1.
解:
(1)
(2)R?S={(a, b),(c, d)},
R∪S={(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)},
R-1={(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)},
S-1?R-1={(b, a),(d, c)}.
四、證明題
1. 利用形式演繹法證明:{P→Q, R→S, P∨R}蘊(yùn)涵Q∨S。
解:
(1) P∨R P
(2) ØR→P Q(1)
(3) P→Q P
(4) ØR→Q Q(2)(3)
(5) ØQ→R Q(4)
(6) R→S P
(7) ØQ→S Q(5)(6)
(8) Q∨S Q(7)
2. 設(shè)A,B為任意集合,證明:(A-B)-C = A-(B∪C).
解: (A-B)-C =
3. (本題10分)利用形式演繹法證明:{ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蘊(yùn)涵A→D。
解:
(1) A D(附加)
(2) ØA∨B P
(3) B Q(1)(2)
(4) ØC→ØB P
(5) B→C Q(4)
(6) C Q(3)(5)
(7) C→D P
(8) D Q(6)(7)
(9) A→D D(1)(8)
所以 {ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蘊(yùn)涵A→D.
4. (本題10分)A, B為兩個(gè)任意集合,求證:
A-(A∩B) = (A∪B)-B .
解:
4. A-(A∩B)
= A∩~(A∩B)
=A∩(~A∪~B)
=(A∩~A)∪(A∩~B)
=Æ∪(A∩~B)
=(A∩~B)
=A-B
而 (A∪B)-B
= (A∪B)∩~B
= (A∩~B)∪(B∩~B)
= (A∩~B)∪Æ
= A-B
所以:A-(A∩B) = (A∪B)-B.
參考答案
一、填空題
1. {3}; {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2. .
3. a1= {(a,1), (b,1)}, a2= {(a,2), (b,2)},a3= {(a,1), (b,2)}, a4= {(a,2), (b,1)}; a3, a4.
4. (P∧ØQ∧R).
5. 12, 3.
6. {4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}.
7. 自反性;對(duì)稱性;傳遞性.
8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
9. {(1,3),(2,2),(3,1)}; {(2,4),(3,3),(4,2)}; {(2,2),(3,3)}.
10. 2m´n.
11. {x | -1≤x < 0, xÎR}; {x | 1 < x < 2, xÎR}; {x | 0≤x≤1, xÎR}.
12. 12; 6.
13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14. $x(ØP(x)∨Q(x)).
15. 21.
16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).
17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
二、選擇題
1. C. 2. D. 3. B. 4. B.
5. D. 6. C. 7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
13. A. 14. A. 15. D
三、計(jì)算證明題
1.
(1)
(2) B無(wú)上界,也無(wú)最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.
(3) A無(wú)最大元,最小元是1,極大元8, 12, 90+; 極小元是1.
2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)
(2)
3. (1)s?t=s(t(x))=t(x)+3=2x+3=2x+3.
(2)s?s=s(s(x))=s(x)+3=(x+3)+3=x+6,
(3)s?j=s(j(x))=j(luò)(x)+3=x/4+3,
(4)j?t=j(luò)(t(x))=t(x)/4=2x/4 = x/2,
(5)s?j?t=s?(j?t)=j(luò)?t+3=2x/4+3=x/2+3.
4. (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))
= P(3, 2)∧P(2, 3)
= 1∧0
= 0.
(2) "x$y P (y, x) = "x (P (2, x)∨P (3, x))
= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3))
= (0∨1)∧(0∨1)
= 1∧1
= 1.
5. (1)
(2) 無(wú)最大元,最小元1,極大元8, 12; 極小元是1.
(3) B無(wú)上界,無(wú)最小上界。下界1, 2; 最大下界2.
6. G = Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R))
= Ø(ØP∨Q)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧ØQ)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧ØQ)∨(Q∧P)∨(Q∧R)
= (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
= (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)
= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).
7. G = ("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x)
= Ø("xP(x)∨$yQ(y))∨"xR(x)
= (Ø"xP(x)∧Ø$yQ(y))∨"xR(x)
= ($xØP(x)∧"yØQ(y))∨"zR(z)
= $x"y"z((ØP(x)∧ØQ(y))∨R(z))
9. (1) r(R)=R∪IA={(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},
s(R)=R∪R-1={(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},
t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)};
(2)關(guān)系圖:
11. G=(P∧Q)∨(ØP∧Q∧R)
=(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
=m6∨m7∨m3
=å (3, 6, 7)
H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R))
=(P∧Q)∨(Q∧R))∨(ØP∧Q∧R)
=(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
=(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=m6∨m3∨m7
=å (3, 6, 7)
G,H的主析取范式相同,所以G = H.
13. (1)
(2)R?S={(a, b),(c, d)},
R∪S={(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)},
R-1={(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)},
S-1?R-1={(b, a),(d, c)}.
四 證明題
1. 證明:{P→Q, R→S, P∨R}蘊(yùn)涵Q∨S
(1) P∨R P
(2) ØR→P Q(1)
(3) P→Q P
(4) ØR→Q Q(2)(3)
(5) ØQ→R Q(4)
(6) R→S P
(7) ØQ→S Q(5)(6)
(8) Q∨S Q(7)
2. 證明:(A-B)-C = (A∩~B)∩~C
= A∩(~B∩~C)
= A∩~(B∪C)
= A-(B∪C)
3. 證明:{ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蘊(yùn)涵A→D
(1) A D(附加)
(2) ØA∨B P
(3) B Q(1)(2)
(4) ØC→ØB P
(5) B→C Q(4)
(6) C Q(3)(5)
(7) C→D P
(8) D Q(6)(7)
(9) A→D D(1)(8)
所以 {ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蘊(yùn)涵A→D.
5. 證明:A-(A∩B)
= A∩~(A∩B)
=A∩(~A∪~B)
=(A∩~A)∪(A∩~B)
=Æ∪(A∩~B)
=(A∩~B)
=A-B
而 (A∪B)-B
= (A∪B)∩~B
= (A∩~B)∪(B∩~B)
= (A∩~B)∪Æ
= A-B
所以:A-(A∩B) = (A∪B)-B.
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