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數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題.ppt

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數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題.ppt

一、一維齊次方程的初值問題,考慮無限長弦的自由振動問題:,達(dá)朗貝爾(DAlembert)公式,二、無界弦的受迫振動和齊次化原理,由疊加原理可知,,齊次方程,非齊次初始條件,則,是初值問題(10)(11)的解。,非齊次方程,齊次初始條件,一維非齊次波動方程初值問題的Kirchhoff 公式,定理1(齊次化原理或Duhamel原理),設(shè),若 滿足:,三、半無界弦的振動問題,對稱延拓法的理論依據(jù):,如果自由項,初始數(shù)據(jù),和,是,奇(偶)函數(shù),則由表達(dá)式(19)所定義的函數(shù),是,的奇(偶)函數(shù)。,的,端點(diǎn)固定,,端點(diǎn)自由,,奇延拓,偶延拓,四、三維波動方程,三維波動方程初值問題解的泊松公式,,非齊次方程的初值問題和推遲勢,其中,Kirchhoff公式,五、二維齊次波動方程的初值問題,二維波動方程初值問題的Poisson公式,二維非齊次波動方程的初值問題,利用疊加原理和齊次化原理,可以得到其解為,五、依賴區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域,1維,我們稱區(qū)域 K為區(qū),間,的決定區(qū)域。,在區(qū)間,上給定初值,,就可以在決定區(qū)域 K,中決定初值問題的解。,因此該擾動的影響范圍是 ,,我們把,稱為區(qū)間,的影響區(qū)域。,平面上的區(qū)域,依賴區(qū)域,在二維情形下,,任取一點(diǎn),由,二維齊次波動方程的初值問題解的泊松公式得,2維、3維,由此可見,解,在,上的值依賴于初值函,數(shù),在圓域,上的值,而與,在圓外的值無關(guān)。,圓域,稱為點(diǎn),的依賴區(qū)域。,它可看作錐體,與平面,相交截得的圓域。,在三維情形下,,任取一點(diǎn),由三,維齊次波動方程的初值問題解,的泊松公式可知,它的依賴,區(qū)域是球面,它可看作錐面,與超平面,相交所截得的球面。,決定區(qū)域,在二維情形下,,對于錐體,中任何一點(diǎn),其解,的依賴區(qū)域,都包含在圓域,內(nèi)。,因此圓域,就決定了錐體,中每一點(diǎn)上解,的值。,錐體,稱為圓域,的決定區(qū)域。,類似地,在三維情形下,給定球域,我們稱,空間的錐體域,為球域,的決定區(qū)域。,解在錐體域,內(nèi)任何一點(diǎn)的,值,都由球域,上的初值所決定。,影響區(qū)域,在二維情形下,我們在初始平面,任取一點(diǎn),作一錐體域,錐體域,中任何一點(diǎn),其依賴區(qū)域都包括點(diǎn),即,解受到,上定義的初值,和,的影響,,而,外任何一點(diǎn)的依賴區(qū)域都不包含,點(diǎn),稱錐體域,為點(diǎn),的影響區(qū)域。,類似地,,錐面,稱為點(diǎn),的影響區(qū)域,,即點(diǎn),處給定,的初值只影響到解,在,上的點(diǎn)的取值,而不影響解,在,外的點(diǎn)的取值。,特征錐,以點(diǎn),為頂點(diǎn)的圓錐面,稱為二維波動方程的特征錐。,以點(diǎn),為頂點(diǎn)的圓錐面,稱為三維波動方程的特征錐。,從以上可以看出,特征錐在波動方程初值問題解的,依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域中起著重要作用。,

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