專題訓(xùn)練 螞蟻爬行的最短路徑(含答案).doc
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______________________________________________________________________________________________________________ 螞蟻爬行的最短路徑 1.一只螞蟻從原點0出發(fā)來回爬行,爬行的各段路程依次為:+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10. 回答下列問題: (1)螞蟻最后是否回到出發(fā)點0; (2)在爬行過程中,如果每爬一個單位長度獎勵2粒芝麻,則螞蟻一共得到多少粒芝麻. 解:(1)否,0+5-3+10-8-9+12-10=-3,故沒有回到0; (2)(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)×2=114粒 第6題 2. 如圖,邊長為1的正方體中,一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是 . 解:如圖將正方體展開,根據(jù)“兩點之間,線段最短”知,線段AB即為最短路線. AB= . 3.(2006?茂名)如圖,點A、B分別是棱長為2的正方體左、右兩側(cè)面的中心,一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是 cm 4 . 解:由題意得,從點A沿其表面爬到點B的最短路程是兩個棱長的長,即2+2=4. 4.如圖,一只螞蟻從正方體的底面A點處沿著表面爬行到點上面的B點處,它爬行的最短路線是( ) A.A?P?B B.A?Q?B C.A?R?B D.A?S?B 解:根據(jù)兩點之間線段最短可知選A. 故選A. 5.如圖,點A的正方體左側(cè)面的中心,點B是正方體的一個頂點,正方體的棱長為2,一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是( ?。? 解:如圖,AB= .故選C. 6. 正方體盒子的棱長為2,BC的中點為M,一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為( ?。? 解:展開正方體的點M所在的面, ∵BC的中點為M, 所以MC= BC=1, 在直角三角形中AM= = . 7.如圖,點A和點B分別是棱長為20cm的正方體盒子上相鄰面的兩個中心,一只螞蟻在盒子表面由A處向B處爬行,所走最短路程是 cm。 解:將盒子展開,如圖所示: AB=CD=DF+FC= EF+ GF=×20+×20=20cm. 故選C. 第7題 8. 正方體盒子的棱長為2,BC的中點為M,一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為 . 解:將正方體展開,連接M、D1, 根據(jù)兩點之間線段最短, MD=MC+CD=1+2=3, MD1= . 9.如圖所示一棱長為3cm的正方體,把所有的面均分成3×3個小正方形.其邊長都為1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下底面點A沿表面爬行至側(cè)面的B點,最少要用 2.52.5秒鐘. 解:因為爬行路徑不唯一,故分情況分別計算,進行大、小比較,再從各個路線中確定最短的路線. (1)展開前面右面由勾股定理得AB= = cm; (2)展開底面右面由勾股定理得AB= =5cm; 所以最短路徑長為5cm,用時最少:5÷2=2.5秒. 10.(2009?恩施州)如圖,長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是 。 解:將長方體展開,連接A、B, 根據(jù)兩點之間線段最短,AB= =25. 11. 如圖,一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā),沿長方體的表面爬到對角頂點C1處(三條棱長如圖所示),問怎樣走路線最短?最短路線長為 . 解:正面和上面沿A1B1展開如圖,連接AC1,△ABC1是直角三角形, ∴AC1= 12.如圖所示:有一個長、寬都是2米,高為3米的長方體紙盒,一只小螞蟻從A點爬到B點,那么這只螞蟻爬行的最短路徑為 米。 解:由題意得, 路徑一:AB= = ; 路徑二:AB= =5; 路徑三:AB= = ; ∵ >5, ∴5米為最短路徑. 13.如圖,直四棱柱側(cè)棱長為4cm,底面是長為5cm寬為3cm的長方形.一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B.求: (1)螞蟻經(jīng)過的最短路程; (2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一條棱)的最長路程. 解:(1)AB的長就為最短路線. 然后根據(jù) 若螞蟻沿側(cè)面爬行,則經(jīng)過的路程為 (cm); 若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行,則經(jīng)過的路程為 (cm), 或 (cm) 所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是 cm. (2) 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm, 最長路程是30cm. 14.如圖,在一個長為50cm,寬為40cm,高為30cm的長方體盒子的頂點A處有一只螞蟻,它要爬到頂點B處去覓食,最短的路程是多少? 解:圖1中, cm. 圖2中, cm. 圖3中, cm. ∴采用圖3的爬法路程最短,為 cm 15.如圖,長方體的長、寬、高分別為6cm,8cm,4cm.一只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點B.則螞蟻爬行的最短路徑的長是 。 解:第一種情況:把我們所看到的前面和上面組成一個平面, 則這個長方形的長和寬分別是12cm和6cm, 則所走的最短線段是 =6 cm; 第二種情況:把我們看到的左面與上面組成一個長方形, 則這個長方形的長和寬分別是10cm和8cm, 所以走的最短線段是 = cm; 第三種情況:把我們所看到的前面和右面組成一個長方形, 則這個長方形的長和寬分別是14cm和4cm, 所以走的最短線段是 =2 cm; 三種情況比較而言,第二種情況最短. 16.如圖是一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為20cm、3cm、2cm.A和B是這個臺階上兩個相對的端點,點A處有一只螞蟻,想到點B處去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為 cm 解:三級臺階平面展開圖為長方形,長為20cm,寬為(2+3)×3cm, 則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長. 可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xcm, 由勾股定理得:x2=202+[(2+3)×3]2=252, 解得x=25. 故答案為25. 17.如圖,是一個三級臺階,它的每一級的長、寬和高分別等于5cm,3cm和1cm,A和B是這個臺階的兩個相對的端點,A點上有一只螞蟻,想到B點去吃可口的食物.請你想一想,這只螞蟻從A點出發(fā),沿著臺階面爬到B點,最短線路是 cm。 解:將臺階展開,如下圖, 因為AC=3×3+1×3=12,BC=5, 所以AB2=AC2+BC2=169, 所以AB=13(cm), 所以螞蟻爬行的最短線路為13cm. 答:螞蟻爬行的最短線路為13cm. 18.(2011?荊州)如圖,長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點,則螞奴爬行的最短路徑長為 13cm. 解: ∵PA=2×(4+2)=12,QA=5 ∴PQ=13. 故答案為:13. 19.如圖,一塊長方體磚寬AN=5cm,長ND=10cm,CD上的點B距地面的高BD=8cm,地面上A處的一只螞蟻到B處吃食,需要爬行的最短路徑是多少? 解:如圖1,在磚的側(cè)面展開圖2上,連接AB, 則AB的長即為A處到B處的最短路程. 解:在Rt△ABD中, 因為AD=AN+ND=5+10=15,BD=8, 所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172. 所以AB=17cm. 故螞蟻爬行的最短路徑為17cm. 20.(2009?佛山)如圖,一個長方體形的木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙),有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處. (1)請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑; (2)當(dāng)AB=4,BC=4,CC1=5時,求螞蟻爬過的最短路徑的長; (3)求點B1到最短路徑的距離. 解:(1)如圖, 木柜的表面展開圖是兩個矩形ABC'1D1和ACC1A1. 故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的A1C'1和AC1.(2分) (2)螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1, 爬過的路徑的長是 .(3分) 螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到C1,爬過的路徑的長是 .(4分) l1>l2,故最短路徑的長是 .(5分) (3)作B1E⊥AC1于E, 則 ? ? 為所求.(8分) 21.有一圓柱體如圖,高4cm,底面半徑5cm,A處有一螞蟻,若螞蟻欲爬行到C處,求螞蟻爬行的最短距離 . 第2題 解:AC的長就是螞蟻爬行的最短距離.C,D分別是BE,AF的中點. AF=2π?5=10π.AD=5π. AC= ≈16cm. 故答案為:16cm. 22.有一圓形油罐底面圓的周長為24m,高為6m,一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物,它爬行的最短路線長為 . 第3題 解:AB=m 23.如圖,一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達A1,若圓柱底面半徑為,高為5,則螞蟻爬行的最短距離為 13 . 解:因為圓柱底面圓的周長為2π×=12,高為5, 所以將側(cè)面展開為一長為12,寬為5的矩形, 根據(jù)勾股定理,對角線長為 =13. 故螞蟻爬行的最短距離為13. 24.如圖,一圓柱體的底面周長為24cm,高AB為9cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,則螞蟻爬行的最短路程是 解:如圖所示: 由于圓柱體的底面周長為24cm, 則AD=24×=12cm. 又因為CD=AB=9cm, 所以AC= =15cm. 故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是15cm. 故答案為:15. 25.(2006?荊州)有一圓柱體高為10cm,底面圓的半徑為4cm,AA1,BB1為相對的兩條母線.在AA1上有一個蜘蛛Q,QA=3cm;在BB1上有一只蒼蠅P,PB1=2cm,蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點吃蒼蠅,最短的路徑是 cm.(結(jié)果用帶π和根號的式子表示) 解:QA=3,PB1=2, 即可把PQ放到一個直角邊是4π和5的直角三角形中, 根據(jù)勾股定理得: QP= 26.同學(xué)的茶杯是圓柱形,如圖是茶杯的立體圖,左邊下方有一只螞蟻,從A處爬行到對面的中點B處,如果螞蟻爬行路線最短,請畫出這條最短路線圖. 問題:某正方體盒子,如圖左邊下方A處有一只螞蟻,從A處爬行到側(cè)棱GF上的中點M點處,如果螞蟻爬行路線最短,請畫出這條最短路線圖. 解:如圖,將圓柱的側(cè)面展開成一個長方形,如圖示,則A、B分別位于如圖所示的位置,連接AB,即是這條最短路線圖. 如圖,將正方體中面ABCD和面CBFG展開成一個長方形,如圖示,則A、M分別位于如圖所示的位置,連接AM,即是這條最短路線圖. 第5題 27.如圖,圓錐的主視圖是等邊三角形,圓錐的底面半徑為2cm,假若點B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行,它要想吃到母線AC的中點P處的食物,那么它爬行的最短路程是 . 解:∵圓錐的底面周長是4π,則4π= , ∴n=180°即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180°, ∴在圓錐側(cè)面展開圖中AP=2,AB=4,∠BAP=90°, ∴在圓錐側(cè)面展開圖中BP= , ∴這只螞蟻爬行的最短距離是 cm. 故答案是: cm. 28.如圖,圓錐的底面半徑R=3dm,母線l=5dm,AB為底面直徑,C為底面圓周上一點,∠COB=150°,D為VB上一點,VD= .現(xiàn)有一只螞蟻,沿圓錐表面從點C爬到D.則螞蟻爬行的最短路程是( ?。? 解: = = , ∴設(shè)弧BC所對的圓心角的度數(shù)為n, ∴ = 解得n=90, ∴∠CVD=90°, ∴CD= =4 , 29.已知圓錐的母線長為5cm,圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示,且∠AOA1=120°,一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發(fā),沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A.則螞蟻爬行的最短路程長為 。 解:連接AA′,作OC⊥AA′于C, ∵圓錐的母線長為5cm,∠AOA1=120°, ∴AA′=2AC=5. 30. 如圖,底面半徑為1,母線長為4的圓錐,一只小螞蟻若從A點出發(fā),繞側(cè)面一周又回到A點,它爬行的最短路線長是 . 第4題 解:由題意知,底面圓的直徑為2, 故底面周長等于2π. 設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°, 根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得,, 解得n=90°, 所以展開圖中圓心角為90°, 根據(jù)勾股定理求得到點A的最短的路線長是:. 31.(2006?南充)如圖,底面半徑為1,母線長為4的圓錐,一只小螞蟻若從A點出發(fā),繞側(cè)面一周又回到A點,它爬行的最短路線長是 。 解:由題意知底面圓的直徑=2, 故底面周長等于2π. 設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°, 根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2π=, 解得n=90°, 所以展開圖中的圓心角為90°, 根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長為. 32.(2009?樂山)如圖,一圓錐的底面半徑為2,母線PB的長為6,D為PB的中點.一只螞蟻從點A出發(fā),沿著圓錐的側(cè)面爬行到點D,則螞蟻爬行的最短路程為 。 解:由題意知,底面圓的直徑AB=4, 故底面周長等于4π. 設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°, 根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得4π= , 解得n=120°, 所以展開圖中∠APD=120°÷2=60°, 根據(jù)勾股定理求得AD= , 所以螞蟻爬行的最短距離為. 33.如圖,圓錐底面半徑為r,母線長為3r,底面圓周上有一螞蟻位于A點,它從A點出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點,請你給它指出一條爬行最短的路徑,并求出最短路徑. 解:把圓錐沿過點A的母線展成如圖所示扇形, 則螞蟻運動的最短路程為AA′(線段). 由此知:OA=OA′=3r, 的長為2πr. ∴2πr= ,n=120°, 即∠AOA′=120°,∠OAC=30°. ∴OC=OA= ∴AC= ∴AA′=2AC=r, 即螞蟻運動的最短路程是r. 34.如圖①,一只螞蟻從圓錐底面的A點出發(fā),沿側(cè)面繞行一周后到達母線SA的中點M.螞蟻沿怎樣的路徑行走最合算?為了解決這一問題,愛動腦筋的銀銀、慧慧與樂樂展開了研究. (1)善于表現(xiàn)的銀銀首先列出了一組數(shù)據(jù):圓錐底面半徑r=10cm,母線SA長為40cm,就這組數(shù)據(jù),請你求出螞蟻所走的最短路程; (2)一向穩(wěn)重的慧慧只給出一個數(shù)據(jù):圓錐的錐角等于60°(如圖②),請問:螞蟻如何行走最合算? (3)通過(1)、(2)的計算與歸納,銀銀、慧慧自認為他們已找到問題的解決方法,可老謀深算的樂樂認為他們考慮欠周, ①請你分析,樂樂為什么認為他們考慮欠周? ②結(jié)合上面的研究,請你給出這一問題的一般性解法. 解:(1)2π?10=nπ?40÷180° n=90°, AM= =20 . (2)∵錐角為60°, ∴底面半徑的長和母線的長相等, 但缺少母線的長.(3)①因為銀銀的數(shù)據(jù)不合理,因為慧慧缺少條件. ②(1)展成平面圖形. (2)知道母線的長,知道扇形的圓心角度數(shù),以及M是SA的中點,根據(jù)三角函數(shù)或者構(gòu)造直角三角形來求解 THANKS !!! 致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議,策劃案計劃書,學(xué)習(xí)課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載,資料僅供參考 -可編輯修改-- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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