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1、第五章 剛體力學基礎,Foundation of Rigid Body Mechanics,5-1 剛體的運動,5-2 定軸轉動定律,5-3 定軸轉動的功和能,5-5 進動,5-4 定軸轉動的角動量定理 和角動量守恒定律,5-1 剛體的運動,Motion of a Rigid Body,1.剛體,內部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不變的物體，即運動過程中不發(fā)生形變的物體。,剛體是實際物體的一種理想的模型,剛體可視為由無限多個彼此間距離保持不變的質元組成的質點系。,2.1 平動：運動過程中剛體內任意一條直線在運動過程中始終保持方向不變。,特點：剛體內所有質元具有相同的位移、速度和加速度。,
2、2.剛體的運動,2.2 轉動：剛體上所有質點都繞同一軸線作圓周運動。若轉軸固定不變，則稱為定軸轉動。,特點：剛體內所有點具有相同的角位移、角速度和角加速度。,3.剛體定軸轉動的描述,3.1 定軸轉動的角量描述,角位置：,角位移：,,角速度：,角加速度：,角速度和角加速度均為矢量，定軸轉動中其方向沿轉軸的方向并滿足右手螺旋定則。,角量的單位為rad,rad/s,rad/s2。 質點作勻變速曲線運動時，其角量的變化規(guī)律與勻變速直線運動中線量的規(guī)律相似，表示如下：,3.2 角量和線量的關系,,,質元轉過的圓弧長：,5-2 定軸轉動定律,Law of Fixed-Axis Rotation,1.力對轉
3、軸的力矩,力對轉軸上參考點O的力矩矢量:,力對轉軸的力矩矢量,一般情況,,結論：,力對轉軸的力矩等于在轉動平面內的外力 F 的大小和 F 與軸之間的垂直距離 d 的乘積。,2剛體對轉軸的角動量,2.1 質點對轉軸的角動量：,質點對轉軸上參考點O的角動量矢量:,,,,,,對轉軸的角動量,一般情況,,結論：,對轉軸的角動量等于在轉動平面內的動量p 的大小和 p與軸之間的垂直距離 d 的乘積。,2.2 剛體對轉軸的角動量,組成剛體的所有質元對轉軸的角動量的和:,,,剛體對轉軸的轉動慣量：,剛體對轉軸的角動量：,3剛體定軸轉動定律,,,連續(xù)體：,4.2 轉動慣量的計算,4轉動慣量,4.1 轉動慣量的物
4、理意義：剛體定軸轉動慣性大小 的量度。,分立體：,計算轉動慣量的三個要素:(1)總質量 (2)質量分布 (3)轉軸的位置,(1) I 與剛體的總質量有關,例如兩根等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉動慣量,,,,L,z,O,,x,dx,M,,4轉動慣量,(2) I 與質量分布有關,例如圓環(huán)繞中心軸旋轉的轉動慣量,例如圓盤繞中心軸旋轉的轉動慣量,,O,,,,L,,x,dx,M,z,,,,,L,O,,x,dx,M,z,(3) I 與轉軸的位置有關,,,4.3 平行軸定理與垂直軸定理,平行軸定理：,垂直軸定理:,,解：（1）對對稱軸,例 求質量均勻分布的半圓形薄板對（1）它的對稱軸；（2）它的直邊；（3
5、）通過質心平行于直邊的軸的轉動慣量。設圓弧直徑為 ，質量為 。,取半圓上 窄條為 。,（2）對直邊,設 為整圓對直徑的轉動慣量。,因 和,故有,（3）對通過C且平行于直邊（2）,應用平行軸定理： ，先求質心位置：,5.轉動定律的應用,解題要點:,(1) 飛輪的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速,解 (1),(2),,兩者區(qū)別,,,,例,求,一輕繩繞在半徑 r =20 cm 的飛輪邊緣，在繩端施以F=98 N 的拉力，飛輪的轉動慣量 J=0.5 kgm2，飛輪與轉軸間的摩擦不計， (見圖),圓盤以 0 在桌面上轉動,受摩擦力而靜止,解,,例,
6、求 到圓盤靜止所需時間,取一質元,由轉動定律,,摩擦力矩,,例 一個剛體系統(tǒng)，如圖所示，,已知，轉動慣量,，現有一水平力作用于距軸為 l 處,求 軸對棒的作用力（也稱軸反力）。,解,設軸對棒的作用力為 N,,由質心運動定理,,,,,打擊中心,質心運動定理與轉動定律聯用,,,,,,,質點系,,,由轉動定律,5-3 定軸轉動的功和能,Work and Energy of Fixed Axis Rotation,1.力矩的功和功率,,1.1 力矩的功,,,2.2 力矩的功率,2剛體的轉動動能與重力勢能,2.1 剛體的轉動動能,2.2 剛體的重力勢能,,3.剛體定軸轉動的動能定理,剛體定軸轉動時合外力
7、矩對剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量,解：,5-4 定軸轉動的角動量定理,與角動量守恒定律,Theorem of Angular Momentum and Law of Conservation,of Angular Momentum for Fixed Axis Rotation,,1.剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律,,,剛體定軸轉動的角動量守恒定律,角動量守恒現象舉例,例 如圖，長為l，質量為M的均勻細棒可饒過O點的轉軸在豎直面內自由轉動。一質量為m的質點以初速v0沿水平方向運動，與靜止在豎直位置的細棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求 （1）碰撞后瞬間兩者一起上
8、擺的角速度； （2）兩者一起上擺的最大角度。,例: 半徑R、質量M 的水平均勻圓盤可繞通過圓心的光滑豎直軸自由轉動，其邊緣有一質量m 的人，二者最初相對地面靜止 求: 當人繞盤一周時，盤對地面轉過的角度？,解：（人+盤）關于轉軸O 的外力矩為零， （人+盤）角動量守恒,5-5 進動,Procession,進動: 高速自旋的物體的自轉軸在空間旋進的運動,高速自轉的陀螺在陀螺重力對支點O 的力矩作用下發(fā)生進動,陀螺的角動量近似為, 進動角速度,所以,,以上只是近似討論，只適用高速自轉，即,homework,練習冊：本章選擇題及填空題都做 教材課后：5.2, 5.6, 5.7, 5.8, 5.11, 5.15, 5.16, 5.18,
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