初中數(shù)學二次函數(shù)壓軸題.doc

2014年中考數(shù)學沖刺復習資料:二次函數(shù)壓軸題 面積類 1．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點． （1）求拋物線的解析式． （2）點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長． （3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由． 2．如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）． （1）求拋物線的解析式； （2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標； （3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標． 平行四邊形類 3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A（3，0）、B（0，﹣3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t． （1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式． （2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當線段PM最長時，求△ABM的面積． （3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由． 4．如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O． （1）一拋物線經(jīng)過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式； （2）設點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由． （3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì)． 5．如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上． （1）求拋物線頂點A的坐標； （2）設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側(cè)），試判斷△ABD的形狀； （3）在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由． 周長類 6．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B，且頂點在直線x=上． （1）求拋物線對應的函數(shù)關系式； （2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由； （3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得△PBD的周長最小，求出P點的坐標； （4）在（2）、（3）的條件下，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O、B不重合），過點M作∥BD交x軸于點N，連接PM、PN，設OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由． 等腰三角形類 7．如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置． （1）求點B的坐標； （2）求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式； （3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由． 8．在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（﹣1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過點B． （1）求點B的坐標； （2）求拋物線的解析式； （3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由． 9．在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2﹣ax﹣2經(jīng)過點B． （1）求點B的坐標； （2）求拋物線的解析式； （3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由． 綜合類 10．如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）． （1）求直線BC與拋物線的解析式； （2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值； （3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標． 11．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC． （1）求直線CD的解析式； （2）求拋物線的解析式； （3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：△CEQ∽△CDO； （4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由． 12．如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D． （1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標． （2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由． （3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 對應練習 13．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）． （1）求拋物線的解析式； （2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最??？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由； （3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標． 14．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（﹣2，0）． （1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程； （2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式； （3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由； （4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由． 15．如圖，在坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx﹣2的圖象過C點． （1）求拋物線的解析式； （2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？ （3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由． 2014年中考數(shù)學沖刺復習資料:二次函數(shù)壓軸題 面積類 2．如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）． （1）求拋物線的解析式； （2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標； （3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想． 分析：（1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標代入解析式中即可． （2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標． （3）△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M． 解答： 解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑； 所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y=x﹣2； 設直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程： x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直線l：y=x﹣4． 所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有： ，解得：即 M（2，﹣3）． 過M點作MN⊥x軸于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4． 平行四邊形類 3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A（3，0）、B（0，﹣3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t． （1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式． （2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當線段PM最長時，求△ABM的面積． （3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題；存在型． 分析： （1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b，得到關于m、n的兩個方程組，解方程組即可； （2）設點P的坐標是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3），用P點的縱坐標減去M的縱坐標得到PM的長，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到 當t=﹣=時，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計算即可； （3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能；當P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值． 解答： 解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得 解得，所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3． 設直線AB的解析式是y=kx+b， 把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得， 所以直線AB的解析式是y=x﹣3； （2）設點P的坐標是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3）， 因為p在第四象限， 所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t， 當t=﹣=時，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為=， 則S△ABM=S△BPM+S△APM==． （3）存在，理由如下： ∵PM∥OB， ∴當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形， ①當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能有PM=3． ②當P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P點的橫坐標是； ③當P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P點的橫坐標是． 所以P點的橫坐標是或． 4．如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O． （1）一拋物線經(jīng)過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式； （2）設點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由． （3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì)． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題． 分析： （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可； （2）利用S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，得出一元二次方程，得出P點坐標即可； （3）利用P點坐標以及B點坐標即可得出四邊形PB′A′B為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可． 解答： 解：（1）△A′B′O是由△ABO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的， 又A（0，1），B（2，0），O（0，0）， ∴A′（﹣1，0），B′（0，2）． 方法一： 設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵拋物線經(jīng)過點A′、B′、B， ∴，解得：，∴滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2． 方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0）， 設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2） 將B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2）， 解得：a=﹣1， 故滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2； （2）∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點， 設P（x，y），則x＞0，y＞0，P點坐標滿足y=﹣x2+x+2． 連接PB，PO，PB′， ∴S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB， =×1×2+×2×x+×2×y， =x+（﹣x2+x+2）+1， =﹣x2+2x+3． ∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面積為：×1×2=1， 假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，則 4=﹣x2+2x+3， 即x2﹣2x+1=0， 解得：x1=x2=1， 此時y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）． ∴存在點P（1，2），使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍． （3）四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2個均可． ①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；②等腰梯形對角線相等； ③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 或用符號表示： ①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 5．如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上． （1）求拋物線頂點A的坐標； （2）設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側(cè)），試判斷△ABD的形狀； （3）在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題；分類討論． 分析： （1）先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點A的橫坐標，然后代入直線l的解析式中即可求出點A的坐標． （2）由A點坐標可確定拋物線的解析式，進而可得到點B的坐標．則AB、AD、BD三邊的長可得，然后根據(jù)邊長確定三角形的形狀． （3）若以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，應分①AB為對角線、②AD為對角線兩種情況討論，即①ADPB、②ABPD，然后結合勾股定理以及邊長的等量關系列方程求出P點的坐標． 解答： 解：（1）∵頂點A的橫坐標為x=﹣=1，且頂點A在y=x﹣5上， ∴當x=1時，y=1﹣5=﹣4， ∴A（1，﹣4）． （2）△ABD是直角三角形． 將A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3， ∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3） 當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3 ∴C（﹣1，0），D（3，0）， BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20， BD2+AB2=AD2， ∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形． （3）存在． 由題意知：直線y=x﹣5交y軸于點E（0，﹣5），交x軸于點F（5，0） ∴OE=OF=5， 又∵OB=OD=3 ∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l，即PA∥BD 則構成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖， 過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點G． 設P（x1，x1﹣5），則G（1，x1﹣5） 則PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1| PA=BD=3 由勾股定理得： （1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4 ∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）， 存在點P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以點A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形． 周長類 6．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B，且頂點在直線x=上． （1）求拋物線對應的函數(shù)關系式； （2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由； （3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得△PBD的周長最小，求出P點的坐標； （4）在（2）、（3）的條件下，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O、B不重合），過點M作∥BD交x軸于點N，連接PM、PN，設OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題． 分析：（1）根據(jù)拋物線y=經(jīng)過點B（0，4），以及頂點在直線x=上，得出b，c即可； （2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點的性質(zhì)得出x=5或2時，y的值即可． （3）首先設直線CD對應的函數(shù)關系式為y=kx+b，求出解析式，當x=時，求出y即可； （4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進而得出，得到ON=，進而表示出△PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可． 解答： 解：（1）∵拋物線y=經(jīng)過點B（0，4）∴c=4， ∵頂點在直線x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣； ∴所求函數(shù)關系式為； （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=， ∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5， ∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）， 當x=5時，y=， 當x=2時，y=， ∴點C和點D都在所求拋物線上； （3）設CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點， 設直線CD對應的函數(shù)關系式為y=kx+b， 則，解得：，∴， 當x=時，y=，∴P（）， （4）∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD， ∴即得ON=， 設對稱軸交x于點F， 則（PF+OM）?OF=（+t）×， ∵， S△PNF=×NF?PF=×（﹣t）×=， S=（﹣）， =﹣（0＜t＜4）， a=﹣＜0∴拋物線開口向下，S存在最大值． 由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+， ∴當t=時，S取最大值是，此時，點M的坐標為（0，）． 等腰三角形類 7．如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置． （1）求點B的坐標； （2）求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式； （3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題；分類討論． 分析： （1）首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點位置，然后過B做x軸的垂線，通過構建直角三角形和OB的長（即OA長）確定B點的坐標． （2）已知O、A、B三點坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式． （3）根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設出P點的坐標，而O、B坐標已知，可先表示出△OPB三邊的邊長表達式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點． 解答： 解：（1）如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2， ∴點B的坐標為（﹣2，﹣2）； （2）∵拋物線過原點O和點A、B，∴可設拋物線解析式為y=ax2+bx， 將A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得 ，解得，∴此拋物線的解析式為y=﹣x2+x （3）存在， 如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點為D，設點P的坐標為（2，y）， ①若OB=OP， 則22+|y|2=42，解得y=±2， 當y=2時，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==， ∴∠POD=60°， ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三點在同一直線上， ∴y=2不符合題意，舍去， ∴點P的坐標為（2，﹣2） ②若OB=PB，則42+|y+2|2=42， 解得y=﹣2， 故點P的坐標為（2，﹣2）， ③若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2， 故點P的坐標為（2，﹣2）， 綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2，﹣2）， 8．在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（﹣1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過點B． （1）求點B的坐標； （2）求拋物線的解析式； （3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題． 分析： （1）根據(jù)題意，過點B作BD⊥x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標； （2）根據(jù)拋物線過B點的坐標，可得a的值，進而可得其解析式； （3）首先假設存在，分A、C是直角頂點兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案． 解答： 解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠BCD=∠CAO，（1分） 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BCD≌△CAO，（2分） ∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分） ∴點B的坐標為（﹣3，1）；（4分） （2）拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過點B（﹣3，1）， 則得到1=9a﹣3a﹣2，（5分） 解得a=， 所以拋物線的解析式為y=x2+x﹣2；（7分） （3）假設存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形： ①若以點C為直角頂點； 則延長BC至點P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分） 過點P1作P1M⊥x軸， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC．（10分） ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點P1（1，﹣1）；（11分） ②若以點A為直角頂點； 則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分） 過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，（13分） ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點P2（2，1），（14分） 經(jīng)檢驗，點P1（1，﹣1）與點P2（2，1）都在拋物線y=x2+x﹣2上．（16分） 9．在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2﹣ax﹣2經(jīng)過點B． （1）求點B的坐標； （2）求拋物線的解析式； （3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題． 分析： （1）首先過點B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點B的坐標； （2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式； （3）分別從①以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案． 解答： 解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BDC≌△COA， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴點B的坐標為（3，1）； （2）∵拋物線y=ax2﹣ax﹣2過點B（3，1）， ∴1=9a﹣3a﹣2， 解得：a=， ∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2； （3）假設存在點P，使得△ACP是等腰直角三角形， ①若以AC為直角邊，點C為直角頂點， 則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，如圖（1）， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1， ∴P1（﹣1，﹣1），經(jīng)檢驗點P1在拋物線y=x2﹣x﹣2上； ②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，如圖（2）， 同理可證△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1， ∴P2（﹣2，1），經(jīng)檢驗P2（﹣2，1）也在拋物線y=x2﹣x﹣2上； ③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC， 得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3H⊥y軸，如圖（3）， 同理可證△AP3H≌△CAO， ∴HP3=OA=2，AH=OC=1， ∴P3（2，3），經(jīng)檢驗P3（2，3）不在拋物線y=x2﹣x﹣2上； 故符合條件的點有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）兩點． 綜合類 10．如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）． （1）求直線BC與拋物線的解析式； （2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值； （3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題． 分析：（1）設直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入，運用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點∑的坐標代入y=x2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式； （2）MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個關于MN的長和M點橫坐標的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值； （3）先求出△ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30．再設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3，過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=BD=6，求出E的坐標為（﹣1，0），運用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1，然后解方程組，即可求出點P的坐標． 解答： 解：（1）設直線BC的解析式為y=mx+n， 將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入， 得，解得，所以直線BC的解析式為y=﹣x+5； 將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入y=x2+bx+c， 得，解得，所以拋物線的解析式為y=x2﹣6x+5； （2）設M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），則N（x，﹣x+5）， ∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+， ∴當x=時，MN有最大值； （3）∵MN取得最大值時，x=2.5， ∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）． 解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∴AB=5﹣1=4， ∴△ABN的面積S2=×4×2.5=5， ∴平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30． 設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD． ∵BC=5， ∴BC?BD=30， ∴BD=3． 過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形． ∵BC⊥BD，∠OBC=45°， ∴∠EBD=45°， ∴△EBD為等腰直角三角形，BE=BD=6， ∵B（5，0）， ∴E（﹣1，0）， 設直線PQ的解析式為y=﹣x+t， 將E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1 ∴直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1． 解方程組，得，， ∴點P的坐標為P1（2，﹣3）（與點D重合）或P2（3，﹣4）． 11．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC． （1）求直線CD的解析式； （2）求拋物線的解析式； （3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：△CEQ∽△CDO； （4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題． 分析： （1）利用待定系數(shù)法求出直線解析式； （2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； （3）關鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形； （4）如答圖②所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度． 利用軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短可以證明此時△PCF的周長最?。? 如答圖③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長度，即△PCF周長的最小值． 解答： 解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D點坐標為（1，0）． 設直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0）， 將C（0，1），D（1，0）代入得：， 解得：b=1，k=﹣1， ∴直線CD的解析式為：y=﹣x+1． （2）設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+3， 將C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=． ∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1． （3）證明：由題意可知，∠ECD=45°， ∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，∠ODC=45°， ∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x軸，則點C、E關于對稱軸（直線x=2）對稱， ∴點E的坐標為（4，1）． 如答圖①所示，設對稱軸（直線x=2）與CE交于點M，則M（2，1）， ∴ME=CM=QM=2，∴△QME與△QMC均為等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°． 又∵△OCD為等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°， ∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°， ∴△CEQ∽△CDO． （4）存在． 如答圖②所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度． （證明如下：不妨在線段OD上取異于點F的任一點F′，在線段QE上取異于點P的任一點P′，連接F′C″，F(xiàn)′P′，P′C′． 由軸對稱的性質(zhì)可知，△P′CF′的周長=F′C″+F′P′+P′C′； 而F′C″+F′P′+P′C′是點C′，C″之間的折線段， 由兩點之間線段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″， 即△P′CF′的周長大于△PCE的周長．） 如答圖③所示，連接C′E， ∵C，C′關于直線QE對稱，△QCE為等腰直角三角形， ∴△QC′E為等腰直角三角形， ∴△CEC′為等腰直角三角形， ∴點C′的坐標為（4，5）； ∵C，C″關于x軸對稱，∴點C″的坐標為（0，﹣1）． 過點C′作C′N⊥y軸于點N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6， 在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===． 綜上所述，在P點和F點移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為． 12．如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D． （1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標． （2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由． （3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題． 分析： （1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式； （2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷； （3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求解． 解答： 解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c 由拋物線與y軸交于點C（0，3），可知c=3．即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3． 把點A（1，0）、點B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2 ∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3． ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4 ∴頂點D的坐標為（﹣1，4）； （2）△BCD是直角三角形． 理由如下：解法一：過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F． ∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3， ∴BC2=OB2+OC2=18 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1， ∴CD2=DF2+CF2=2 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2， ∴BD2=DE2+BE2=20 ∴BC2+CD2=BD2 ∴△BCD為直角三角形． 解法二：過點D作DF⊥y軸于點F． 在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3 ∴OB=OC∴∠OCB=45° ∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1 ∴DF=CF ∴∠DCF=45° ∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90° ∴△BCD為直角三角形． （3）①△BCD的三邊，==，又=，故當P是原點O時，△ACP∽△DBC； ②當AC是直角邊時，若AC與CD是對應邊，設P的坐標是（0，a），則PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，則P的坐標是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立； ③當AC是直角邊，若AC與BC是對應邊時，設P的坐標是（0，b），則PC=3﹣b，則=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）時，則△ACP∽△CBD一定成立； ④當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設P的坐標是（d，0）． 則AP=1﹣d，當AC與CD是對應邊時，=，即=，解得：d=1﹣3，此時，兩個三角形不相似； ⑤當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設P的坐標是（e，0）． 則AP=1﹣e，當AC與DC是對應邊時，=，即=，解得：e=﹣9，符合條件． 總之，符合條件的點P的坐標為：． 對應練習 13．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）． （1）求拋物線的解析式； （2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最?。咳舸嬖?，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由； （3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題． 分析： （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可； （2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點D； （3）根據(jù)直線AC的解析式，設出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標，并求出該直線與x軸的交點F的坐標，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解． 解答： 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0），點C（4，3）， ∴，解得，所以，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3； （2）∵點A、B關于對稱軸對稱， ∴點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小， 設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）， 則，解得， 所以，直線AC的解析式為y=x﹣1， ∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴拋物線的對稱軸為直線x=2， 當x=2時，y=2﹣1=1， ∴拋物線對稱軸上存在點D（2，1），使△BCD的周長最??； （3）如圖，設過點E與直線AC平行線的直線為y=x+m， 聯(lián)立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0， △=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0， 即m=﹣時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大， 此時x=，y=﹣=﹣， ∴點E的坐標為（，﹣）， 設過點E的直線與x軸交點為F，則F（，0）， ∴AF=﹣1=， ∵直線AC的解析式為y=x﹣1， ∴∠CAB=45°， ∴點F到AC的距離為×=， 又∵AC==3， ∴△ACE的最大面積=×3×=，此時E點坐標為（，﹣）． 14．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（﹣2，0）． （1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程； （2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式； （3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由； （4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題． 分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對稱軸方程； （2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標；令y=0，可求出點B坐標．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式； （3）根據(jù)，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB； （4）本問為存在型問題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解． 解答： 解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+4的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0）， ∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0， 解得：b=，∴拋物線解析式為 y=﹣x2+x+4， 又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴對稱軸方程為：x=3． （2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）； 令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（8，0）． 設直線BC的解析式為y=kx+b， 把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得： ，解得k=，b=4， ∴直線BC的解析式為：y=x+4． （3）可判定△AOC∽△COB成立． 理由如下：在△AOC與△COB中， ∵OA=2，OC=4，OB=8， ∴， 又∵∠AOC=∠BOC=90°， ∴△AOC∽△COB． （4）∵拋物線的對稱軸方程為：x=3， 可設點Q（3，t），則可求得： AC===， AQ==， CQ==． i）當AQ=CQ時， 有=， 25+t2=t2﹣8t+16+9， 解得t=0， ∴Q1（3，0）； ii）當AC=AQ時， 有=， t2=﹣5，此方程無實數(shù)根， ∴此時△ACQ不能構成等腰三角形； iii）當AC=CQ時， 有=， 整理得：t2﹣8t+5=0， 解得：t=4±， ∴點Q坐標為：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）． 綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）． 15．如圖，在坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx﹣2的圖象過C點． （1）求拋物線的解析式； （2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？ （3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由． 考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有 專題：壓軸題． 分析： 如解答圖所示： （1）首先構造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點C的坐標；然