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1、4.3 頻率采樣法,工程上，常給定頻域上的技術指標，所以采用頻域設計更直接。 一、基本思想 使所設計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點上的值準確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。,,,,內插公式,關鍵點：求h(n)、H(z)及其頻率響應 約束條件對H(k)的取值影響,二.設計方法,1）從頻域出發(fā)，對理想頻響加以等間隔采樣 ，并以此作為實際FIR的頻率特性的離散樣本，確定 2）通過IDFT，求有限長序列h(n)，為 3）利用N個頻域的離散樣本H(k)，同樣求出H(z)及其頻響。,三、約束條件,為了設計線性相位的FIR濾波器，采樣值 H（k
2、）要滿足一定的約束條件。 前已指出,具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應h(n)是實序列，且滿足 ，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對H(k)的約束。（表4.1）。 例如，要設計第一類線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)，h(n)偶對稱，則 幅度函數(shù)H()應具有偶對稱性：,,令 則 必須滿足偶對稱性： 而 必須取為：,同樣，若要設計第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)，h(n)偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的，,因此，Hk 也必須滿足奇對稱性： 相位關系同上， 其它兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設計，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。,四、逼近誤差,由
3、 或 H(z)。 由上述設計過程得到的 與 的逼近程度 ，以及 與H（k）的關系？ 由,,令 ，則,單位圓上的頻響為：,這是一個內插公式。,式中 為內插函數(shù) 令 則,,內插公式表明： 在每個采樣點上， 逼近誤差為零，頻響 嚴格地與理想頻響的采樣值 H(k)相等；,在采樣點之間，頻響由各采樣點的內插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應的曲線形狀有關，理想特性平滑，則誤差小；反之，誤差大。在理想頻率響應的不連續(xù)點附近， 會產(chǎn)生肩峰和波
4、紋。 N增大，則采樣點變密，逼近誤差減小。,圖 頻率采樣的響應,例3：設計一個FIR數(shù)字 LP 濾波器，其理想特性為 采樣點數(shù) N=33，要求線性相位。 解：根據(jù)P.142的表4.1，能設計低通線性相位數(shù)字濾波器的只有1、2兩種，因N為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。 即 h(n)=h(N-1-n)， 幅頻特性關于偶對稱，也即 HK 偶對稱。 利用 HK 的對稱性,求2區(qū)間的頻響采樣值。,根據(jù)指標要求，在02內有33個取樣點，所以第k點對 應頻率為 而截止頻率 0.5位于 之間 ，所以，k=08時，取樣值為1；根據(jù)對稱性， 故 k=2532時，取樣值也為1，因 k=33 為下一周
5、期，所以0區(qū)間有9個值為 1的采樣點，2區(qū)間有8個值為 1 的采樣點，因此：,,,將 代入內插公式，求H(ej)：,考慮到8
6、的H(ej)見圖4.12(c)，其阻帶衰減增加到約 -40dB。,,,2）過渡帶的優(yōu)化設計 根據(jù)H(ej)的表達式，H(ej)是Hk的線性函數(shù)，因此還可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設定一個過渡帶值）。 例如，本例中可以用簡單的梯度搜索法來選擇H9、H24,使通帶或阻帶內的最大絕對誤差最小化。,要求使阻帶內最大絕對誤差達到最小（也即最小衰減達到最大），可計算得H9=0.3904。對應的 H(ej)的幅頻特性，比H9=0.5時 的阻帶衰減大大改善,衰減約-50dB。如果還要進一步改善阻帶衰減，可以進一步加寬過渡區(qū)，添上第二個甚至第三個不等于
7、0的頻率取樣值，當然也可用線性最優(yōu)化求取這些取樣值。,,3）增大N 如果要進一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點數(shù)N。 例如，同樣邊界頻率c=0.5 , 以N=65采樣，并在k=17和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計算得到的采樣值H17=H48=0.5886,在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計算獲得的采樣值H18=H47=0.1065 , 這時得到的 H(ej)， 過渡帶為6/65，而阻帶衰減增加了20多分貝，達-60dB以上，當然，代價是濾波器階數(shù)增加，運算量增加。,N=65;k=0:(N-1)/2; Wm=2*pi*k./N; Ad(1:(N+1)/2)=1; %
8、幅值 Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0; Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm); Hd=Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) ); %相位在取后半部分時的值要加共軛,幅度要偶對稱 h=real(ifft(Hd)); w=linspace(0,pi-0.1,1000); H=freqz(h,1,w); plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid;,例2、用頻率采樣法設計一個線性相位低通濾波器，N=11，,，邊沿上設計一點過渡帶,試求各點采樣值H(k)。 解：N=11為奇數(shù)，只能是第一種
9、類型濾波器。 頻率間隔為,，而,（在k=2,3之間）。 為保證通帶指標取k=3,8為過渡點（因為必須滿足,）。從而有,頻率采樣法設計FIR濾波器函數(shù)： h=fir2(M,f,A) f和A分別是指定頻率及其預期的幅度響應 f在0,1，1相應于奈奎斯特頻率，所以是除以pi,小結： 頻率采樣設計法優(yōu)點： 直接從頻域進行設計，物理概念清楚，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設計，這時頻率響應只有少數(shù)幾個非零值。 典型應用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達接收機，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測目標的運動速度； 缺點：截止頻率難以控制。 因頻率取樣點都局限在2/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板。 充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復雜性增加。,
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