《創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)》配套學(xué)案離散型隨機(jī)變量及其分布列

第 4 講 離散型隨機(jī)變量及其分布列 [最新考綱] 1．理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà) 隨機(jī)現(xiàn)象的重要性． 2．理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用. 知 識(shí) 梳 理 1．離散型隨機(jī)變量 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變 量，稱為離散型隨機(jī)變量． 2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì) (1)一般地，若離散型隨機(jī)變量 X 可能取的不同值為 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一個(gè)值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，則表 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 稱為離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布列． (2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1 3．常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量 X 服從兩點(diǎn)分布，其分布列為 X P 0 1－p 1 p ，其中 p＝P(X＝1)稱為成功概率． (2)超幾何分布：在含有 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次 CkMCNn－kM ，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， 品，則 P(X＝k)＝ n CN － M≤N，n，M，N∈N *，稱隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布. X P 0 0 n   0 CMCN－ M CnN 1 1 n   1 CMCN－ M CnN … … m n   m CmMCN－ M CnN 學(xué)生用書(shū) 第 188 頁(yè) 辨 析 感 悟 1．離散型隨機(jī)變量 (1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量．(√) (2)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于 1.(×) (3)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．(√) 2．分布列的性質(zhì)及兩個(gè)特殊的概率分布 (4)如果隨機(jī)變量 X 的分布列由下表給出： X 2 5 P 0.3 0.7 則它服從二點(diǎn)分布．(×) (5)從 4 名男演員和 3 名女演員中選出 4 人，其中女演員的人數(shù) X 服從超幾何分 布．(√) i (6)(教材習(xí)題改編 ) 已知隨機(jī)變量 X 的分布列為 P(X ＝ i) ＝ 2a (i ＝ 1,2,3,4) ，則 P(2<X≤4)＝0.7.(√) [感悟· 提升] 1．離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn) 一是在試驗(yàn)之前不能斷言隨機(jī)變量取什么值，即具有隨機(jī)性；二是在大量重復(fù)試 驗(yàn)中能按一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律取值的變量，即存在統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，如(1)、(3)． 2．分布列的兩條性質(zhì) 離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量 X 的取值范圍以及取各值的概率，如(6)； 要理解兩種特殊的概率分布 ——兩點(diǎn)分布與超幾何分布，如 (4)、(5)；并善于靈 活運(yùn)用兩性質(zhì)：一是 pi≥0(i＝1,2，…)；二是 p1＋p2＋…＋pn＝1 檢驗(yàn)分布列的 正誤，如(2)． 考點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì) 【例 1】 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 求隨機(jī)變量 Y＝|X－1|的分布列． 解 由分布列的性質(zhì)，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 列表 X |X－1| 0 1 1 0 2 1 3 2 4 3 ∴P(Y＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(Y＝0)＝P(X＝1)＝0.1， P(Y＝2)＝0.3，P(Y＝3)＝0.3. 因此 Y＝|X－1|的分布列為： Y P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 規(guī)律方法 (1)利用分布列中各概率之和為 1 可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以 保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)． (2)若 X 是隨機(jī)變量，則 Y＝|X－1|仍然是隨機(jī)變量，求它的分布列可先求出相應(yīng) 隨機(jī)變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求 Y 取各值的概率，進(jìn)而寫(xiě)出分布列． 【訓(xùn)練 1】 隨機(jī)變量 X 的分布列如下： X P －1 a 0 b 1 c C12C35＋C22C25 6 C47 ＝  . C3 1            C4 P(X＝1)＝C4＝35，P(X＝2)＝C4＝35， P(X＝3)＝C4＝7，P(X＝4)＝C4＝7. 其中 a，b，c 成等差數(shù)列，則 P(|X|＝1)＝________. ìï2b＝a＋c， 解析 由題意知í ïîa＋b＋c＝1， 1 2 則 2b＝1－b，則 b＝3，a＋c＝3， 2 所以 P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝3. 2 答案 3 考點(diǎn)二 離散型隨機(jī)變量的分布列 【例 2】 (2013· 天津卷)一個(gè)盒子里裝有 7 張卡片，其中有紅色卡片 4 張，編號(hào) 分別為 1,2,3,4；白色卡片 3 張，編號(hào)分別為 2,3,4.從盒子中任取 4 張卡片(假設(shè)取 到任何一張卡片的可能性相同)． (1)求取出的 4 張卡片中，含有編號(hào)為 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為 X，求隨機(jī)變量 X 的分布 列與數(shù)學(xué)期望． 審題路線 (1)編號(hào)為 3 的卡片來(lái)源有兩類，利用古典概型求事件的概率．(2)根 據(jù)任取 4 張卡片的不同情況確定 X 的所有可能取值，然后求出相應(yīng)的概率，進(jìn) 而確定分布列、計(jì)算數(shù)學(xué)期望． 解 (1)設(shè)“取出的 4 張卡片中，含有編號(hào)為 3 的卡片”為事件 A，則 P(A)＝ 7 6 所以取出的 4 張卡片中，含有編號(hào)為 3 的卡片的概率為7. (2)隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 1,2,3,4. 4 7 7 3 3 C5 2 C6 4 7 7 所以隨機(jī)變量 X 的分布列是 X P 1 1 35 2 4 35 3 2 7 4 4 7 且 P(X＝3)＝C3＝42，P(X＝4)＝  C3  ＝21， C42·C15  5         C34 P(X＝5)＝  C3  ＝14，P(X＝6)＝C3＝21. 1 4 2 4 17 隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)＝1×35＋2×35＋3×7＋4×7＝ 5 . 學(xué)生用書(shū) 第 189 頁(yè) 規(guī)律方法 (1)求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：①明確隨機(jī)變量的取值，并確定 隨機(jī)變量服從何種概率分布；②求每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；③列成表格． (2)求出分布列后注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確． 【訓(xùn)練 2】 (2014· 青島質(zhì)檢)已知箱中裝有 4 個(gè)白球和 5 個(gè)黑球，且規(guī)定：取出 一個(gè)白球得 2 分，取出一個(gè)黑球得 1 分．現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回，且每球取到 的機(jī)會(huì)均等)3 個(gè)球，記隨機(jī)變量 X 為取出此 3 球所得分?jǐn)?shù)之和． (1)求 X 的分布列； (2)求 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)． 解 (1)由題意得 X 取 3,4,5,6， 3 1 5 C5 5 C4·C2 10 9 9 1 9 9 所以 X 的分布列為 X P 3 5 42 4 10 21 5 5 14 6 1 21 13 (2)由(1)知 E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝ 3 . 考點(diǎn)三 超幾何分布問(wèn)題 【例 3】 (2014· 哈爾濱調(diào)研)PM2.5 是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小 于或等于 2.5 微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn) GB3095 －2012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在 35 微克/立方 米～75 微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在 75 微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超 標(biāo)． 從某自然保護(hù)區(qū) 2013 年全年每天的 PM2.5 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取 10 天的數(shù)據(jù) 作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示： PM2.5 日 均值(微 克/立方 [25,35]    (35,45]    (45,55]    (55,65]    (65,75]    (75,85] P(A)＝  C3   ＝40. P(X＝k)＝   C3  (k＝0,1,2,3)， ∴P(X＝0)＝ C3  ＝24， P(X＝1)＝ C3  ＝40， P(X＝2)＝ C3  ＝40， P(X＝3)＝ C33  7＝120， 米) 頻數(shù) 3 1 1 1 1 3 (1)從這 10 天的 PM2.5 日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出 3 天，求恰有一天空氣質(zhì)量 達(dá)到一級(jí)的概率； (2)從這 10 天的數(shù)據(jù)中任取 3 天數(shù)據(jù)．記 X 表示抽到 PM2.5 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)， 求 X 的分布列． 審題路線 (1)由頻數(shù)分布表，知 10 天中僅有 3 天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)，利用古典 概型可求第(1)問(wèn)中的概率．(2)超標(biāo)的天數(shù) X 服從超幾何分布．利用超幾何分布 的概率公式代入求解． 解 (1)記“從 10 天的 PM2.5 日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出 3 天，恰有一天空氣 質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件 A，則 1 7 C3·C2 21 10 (2)依據(jù)條件，X 服從超幾何分布，其中 N＝10，M＝3，n＝3，且隨機(jī)變量 X 的 可能取值為 0,1,2,3. k 7   k C3· C3－ 10 0 7 C3C3 7 10 1 7 C3C2 21 10 2 7 C3C1 7 10 C3C0 1 10 因此 X 的分布列為 X P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120 C10   x 7 則 P(A)＝1－ C2－ ＝9， 其中 P(X＝k)＝   C3  ，k＝0,1,2,3. 規(guī)律方法 (1)求解本題的關(guān)鍵在于：①?gòu)慕y(tǒng)計(jì)圖表中準(zhǔn)確提取信息；②明確隨機(jī) 變量 X 服從超幾何分布． (2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超 幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若 干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù) X 的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、 摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型． 【訓(xùn)練 3】 一袋中裝有 10 個(gè)大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出 2 個(gè) 7 球，至少得到 1 個(gè)白球的概率是9. (1)求白球的個(gè)數(shù)； (2)從袋中任意摸出 3 個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為 X，求隨機(jī)變量 X 的分布列． 解 (1)記“從袋中任意摸出 2 個(gè)球，至少得到 1 個(gè)白球”為事件 A，設(shè)袋中白球 的個(gè)數(shù)為 x， 2 10 得到 x＝5.故白球有 5 個(gè)． (2)X 服從超幾何分布，其中 N＝10，M＝5，n＝3， k 5 C5C3－k 10 于是可得其分布列為 X P 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12 1．求分布列的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的所有可能值及對(duì)應(yīng)的概率，要注意避 免分類不全面或計(jì)算錯(cuò)誤． 2．注意運(yùn)用分布列的兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)求得分布列的正誤． 3．求概率分布的常見(jiàn)類型 (1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)表求離散型隨機(jī)變量的分布列； (2)由古典概型求離散型隨機(jī)變量的分布列； (3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有 k 次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列． 學(xué)生用書(shū) 第 190 頁(yè) 思想方法 11——分類討論思想在概率中的應(yīng)用 【典例】 在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為 1,2,3 的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中， 有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為 x，y，記 X＝|x－2|＋|y－x|. (1)求隨機(jī)變量 X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率； (2)求隨機(jī)變量 X 的分布列． 解 (1)∵x，y 可能的取值為 1,2,3， ∴|x－2|≤1，|y－x|≤2， ∴X≤3，且當(dāng) x＝1，y＝3 或 x＝3，y＝1 時(shí)，X＝3. 因此，隨機(jī)變量 X 的最大值為 3. ∵有放回地抽兩張卡片的所有情況有 3×3＝9(種)， 2 ∴P(X＝3)＝9. 2 故隨機(jī)變量 X 的最大值為 3，事件“X 取得最大值”的概率為9. (2)X 的所有取值為 0,1,2,3. ∵X＝0 時(shí)，只有 x＝2，y＝2 這一種情況， X＝1 時(shí)，有 x＝1，y＝1 或 x＝2，y＝1 或 x＝2，y＝3 或 x＝3，y＝3 四種情況， X＝2 時(shí)，有 x＝1，y＝2 或 x＝3，y＝2 兩種情況． 1 4 2 ∴P(X＝0)＝9，P(X＝1)＝9，P(X＝2)＝9. 則隨機(jī)變量 X 的分布列為 X P 0 1 9 1 4 9 2 2 9 3 2 9 8C32 因此 P(X＝0)＝ C2 ＝11， 故 P(X＝   2)＝C2 ＝11， [反思感悟] (1)解決本題的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的所有可能值及對(duì)應(yīng)的概率． (2)隨機(jī)變量 X 的值是 x，y 的函數(shù)，所以要對(duì) x，y 的取值進(jìn)行分類討論． (3)分類不全面或計(jì)算錯(cuò)誤是本題易錯(cuò)點(diǎn)． 【自主體驗(yàn)】 (2012· 江蘇卷)設(shè) X 為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為 1 的正方體的 12 條棱中任取兩條， 當(dāng)兩條棱相交時(shí)，X＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，X 的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條 棱異面時(shí)，X＝1.求隨機(jī)變量 X 的分布列． 解 若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體 8 個(gè)頂點(diǎn)中的 1 個(gè)，過(guò)任意 1 個(gè)頂點(diǎn)恰有 3 條棱，所以共有 8C23對(duì)相交棱， 4 12 若兩條棱平行，則它們的距離為 1 或 2，其中距離為 2的共有 6 對(duì)， 6 1 12 4 1 6 于是 P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝ 2)＝1－11－11＝11， 所以隨機(jī)變量 X 的分布列是 X P 0 4 11 1 6 11 2 1 11 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40 分鐘) 一、選擇題 1．(2014· 武漢模擬)從裝有 3 個(gè)白球，4 個(gè)紅球的箱子中，隨機(jī)取出了 3 個(gè)球， 恰好是 2 個(gè)白球，1 個(gè)紅球的概率是 4 A.35 12 C.35 (   )． 6 B.35 36 D.343 問(wèn)題，故所求概率為 P＝  C3  ＝35. 解析 如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個(gè)超幾何分布 4 C23C1 12 7 答案 C 2．設(shè) X 是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為： X P －1 0.5 0 1－2q 1 q2 則 q 等于 A．1 2 C．1－ 2 解析 由分布列的性質(zhì)得： (   )． 2 B．1± 2 2 D．1＋ 2 ïîq＝1±   2. ìï0≤1－2q＜1， í0≤q2＜1， ïî0.5＋1－2q＋q2＝1 2 ìï0＜q≤1， í 2  2 ∴q＝1－ 2 . 答案 C 3．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的 2 倍，用隨機(jī)變量 X 去描述 1 次試驗(yàn)的成功 次數(shù)，則 P(X＝0)等于 1 1 2 A．0 B.2 C.3 D.3 (   )． 解析 由已知得 X 的所有可能取值為 0,1， 且 P(X＝1)＝2P(X＝0)， 1 由 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得 P(X＝0)＝3. 答案 C 4．在 15 個(gè)村莊有 7 個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選 10 個(gè)村莊，用 X 表示這 10 個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于 C10 的是 8 C47C6 15  (   )． A．P(X＝2) C．P(X＝4) B．P(X≤2) D．P(X≤4) 解析   X 服從超幾何分布，故 P(X＝k)＝ C10 ，k＝4. n(n＋1) k 8 C7C10－k 15 答案 C a 5．隨機(jī)變量 X 的概率分布規(guī)律為 P(X＝n)＝ (n＝1,2,3,4)，其中 a 是常數(shù)， 則 Pç2<X<2÷的值為 æ1 5ö è ø  (   )． 2 A.3 4 C.5 解析 因?yàn)?#160;P(X＝n)＝ a n(n＋1) 3 B.4 5 D.6 (n＝1,2,3,4)， 所以    a 1×2  2×3  3×4  4×5 ＝aç1－2＋2－3＋3－4＋4－5÷＝5a. ∴ 5 ＝1，則 a＝4.則 Pç2<X<2÷＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝2＋6＝3a＝6. a a a ＋ ＋ ＋ æ 1 1 1 1 1 1 1ö 4 è ø 4a 5 æ1 5ö a a 2 5 è ø 答案 D 二、填空題 6．(2014· 西安質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量 X 只能取三個(gè)值 x1，x2，x3，其概率依次成等 差數(shù)列，則公差 d 的取值范圍是________． 解析 設(shè) X 取 x1，x2，x3 時(shí)的概率分別為 a－d，a，a＋d， 1 則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，∴a＝3， ïî1＋d≥0， 由 ìï1－d≥0， í3 3  1     1 得－3≤d≤3. 答案   ê－3，3ú 又 P(X＝3)＝C3＝10，P(X＝4)＝C3＝10，P(X＝5)＝C3＝5. é 1 1ù ë û 7．設(shè)隨機(jī)變量 X 等可能取值 1,2,3，…，n，如果 P(X<4)＝0.3，那么 n＝________. 解析 由于隨機(jī)變量 X 等可能取 1,2,3，…，n. 1 所以取到每個(gè)數(shù)的概率均為n. 3 ∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝n＝0.3，∴n＝10. 答案 10 8．口袋中有 5 只球，編號(hào)為 1,2,3,4,5，從中任意取 3 只球，以 X 表示取出的球 的最大號(hào)碼，則 X 的分布列為_(kāi)_______． 解析 X 的取值為 3,4,5. 2 1 1 C3 3 C24 3 5 5 5 ∴隨機(jī)變量 X 的分布列為 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6 答案 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6 三、解答題 9．(2014· 長(zhǎng)沙調(diào)研)某商店試銷某種商品 20 天，獲得如下數(shù)據(jù)： 日銷售量(件) 頻數(shù) 0 1 1 5 2 9 3 5 試銷結(jié)束后 (假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變 )，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有 該商品 3 件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于 2 件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充 至 3 件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率． (1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率； (2)記 X 為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求 X 的分布列． 解 (1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨) 1 5 3 ＝P(當(dāng)天商品銷售量為 0 件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為 1 件)＝20＋20＝10. (2)由題意知，X 的可能取值為 2,3. 5 1 P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為 1 件)＝20＝4； P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為 0 件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為 2 件)＋P(當(dāng)天商 1 9 5 3 品銷售量為 3 件)＝20＋20＋20＝4. 所以 X 的分布列為 X P 2 1 4 3 3 4 10.(2013· 重慶卷)某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中， 摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有 3 個(gè)紅球與 4 個(gè)白球的袋中任意摸出 3 個(gè)球，再?gòu)难b有 1 個(gè)藍(lán)球 與 2 個(gè)白球的袋中任意摸出 1 個(gè)球．根據(jù)摸出 4 個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、 二、三等獎(jiǎng)如下： 獎(jiǎng)級(jí) 摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)  獲獎(jiǎng)金額 一等獎(jiǎng) 二等獎(jiǎng) 三等獎(jiǎng) 3 紅 1 藍(lán) 3 紅 0 藍(lán) 2 紅 1 藍(lán) 200 元 50 元 10 元 其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)． (1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到 1 個(gè)紅球的概率； (2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望 E(X)． C31C42 (1)恰好摸到 1 個(gè)紅球的概率為 P(A1)＝  C3  ＝35. P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝C3· 3＝105； P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝C3· 3＝105， P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝  C3  · 3＝35， 解 設(shè) Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到 i 個(gè)紅球，Bj(j＝0,1)表示摸到 j 個(gè)藍(lán)球，則 Ai 與 Bj 獨(dú)立． 18 7 (2)X 的所有可能值為：0,10,50,200，且 C3 1 1 7 C3 2 2 7 2 1 C3C4 1 4 7 1 2 4 6 P(X＝0)＝1－105－105－35＝7. 綜上知，獲獎(jiǎng)金額 X 的分布列為 X P 0 6 7 10 4 35 50 2 105 200 1 105 6 4 2 1 從而有 E(X)＝0×7＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25 分鐘) 一、選擇題 1．(2014· 蘭州模擬)從 4 名男生和 2 名女生中任選 3 人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變 量 X 表示所選 3 人中女生的人數(shù)，則 P(X≤1)等于 (   )． 1 A.5 3 C.5 2 B.5 4 D.5 C41C22 解   P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－  C3  ＝5. 4 6 答案 D 2．設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P    a    1 3 1 6 F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng) x 的取值范圍是[1,2)時(shí)，F(xiàn)(x)等于 (   )． 1 A.3 1 C.2 1 B.6 5 D.6 1 1 1 解 ∵a＋3＋6＝1，∴a＝2. ∵x∈[1,2)， 1 1 5 ∴F(x)＝P(X≤x)＝2＋3＝6. 答案 D 二、填空題 3．(2014· 青島調(diào)研)為質(zhì)檢某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取 5 件，測(cè)量產(chǎn)品中微量元素 x， y 的含量(單位：毫克)，測(cè)量數(shù)據(jù)如下： 編號(hào) x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 P(X＝0)＝C2＝0.3， 如果產(chǎn)品中的微量元素 x，y 滿足 x≥175 且 y≥75 時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．現(xiàn) 從上述 5 件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取 2 件，則抽取的 2 件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù) X 的分布列 為_(kāi)_______． 解析 5 件抽測(cè)品中有 2 件優(yōu)等品，則 X 的可能取值為 0,1,2. 2 C3 5 C31·C12 C52 P(X＝1)＝ ＝0.6， P(X＝2)＝C2＝0.1. C2 5 ∴優(yōu)等品數(shù) X 的分布列為 X P 0 0.3 1 0.6 2 0.1 答案 X P 0 0.3 1 0.6 2 0.1 三、解答題 4．(2014· 廣州質(zhì)檢)某班 50 位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示， 其中成績(jī)分組區(qū)間是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． C9 6            C1· C1 P(X＝0)＝C2 ＝11，P(X＝1)＝  C2   ＝22， C32 P(X＝2)＝C2 ＝22. (1)求圖中 x 的值； (2)從成績(jī)不低于 80 分的學(xué)生中隨機(jī)選取 2 人，該 2 人中成績(jī)?cè)?#160;90 分以上(含 90 分)的人數(shù)記為 X，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望． 解 (1)由頻率分布直方圖知 (0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得 x＝ 0.018. (2)由頻率分布直方圖知成績(jī)不低于 80 分的學(xué)生人數(shù)為 (0.018 ＋ 0.006)×10×50 ＝ 12 ， 成 績(jī) 在 90 分 以 上 ( 含 90 分 ) 的 人 數(shù) 為 0.006×10×50＝3. 因此 X 可能取 0,1,2 三個(gè)值． 9 12 12 1 12 X 的分布列為 X P 0 6 11 1 9 22 2 1 22 6 9 1 1 故 E(X)＝0×11＋1×22＋2×22＝2. 學(xué)生用書(shū) 第 191 頁(yè)